弹性函数的经济学意义精选(五篇)
发布时间：2023-10-05 10:22:48
序言：作为思想的载体和知识的探索者，写作是一种独特的艺术，我们为您准备了不同风格的5篇弹性函数的经济学意义，期待它们能激发您的灵感。
篇1
许凤娇（1989-），女，汉族，安徽池州人，金融硕士，单位：南京财经大学金融学院，研究方向：商业银行经营管理。
摘要：在宏观经济学和经济增长理论中， CES生产函数得到了越来越多的应用。本文对普遍运用的CES函数进行了标准化。Klump和Grandville提供了在可获得必要参数的情况下，对CES生产函数参数校准的一种简单方法。标准CES生产函数的运用存在一些误区，本文列举了正确的用法。
关键词：CES生产函数；替代弹性；标准化
1.引言
近年来，CES生产函数获得了宏观经济学和增长经济学更多的应用。CES函数是柯布-道格拉斯生产函数最为普遍的替代选项，并且可以处理比C-D函数应用范围更为广泛的问题。但是，并不总是能够明确确定特定选择的CES函数参数或者检验他们的含义。Klump和Grandville（2000）注意到了这个问题，并且概述了明确“标准化”这个生产函数的步骤。
尽管CES生产函数看起来简单明了，但是数学上的简单形式是具有欺骗性的。Klump和La Grandville强调过，应当小心对待CES生产函数的经济解释。他们特别指出对于分析理论结果为不同的替代弹性时使用“标准”CES函数，替代弹性的变化只能由标准化来分离出来。标准CES生产函数已经被多位学者应用于理论研究，而且这些理论研究成果已经被学者用来作为实证分析的框架。Klump对这项工作的大部分进行了研究，提供了进一步的资料并使得相关文献更为广泛的应用。这些论文发展或重新解释了标准化这一概念。
2.标准化
阐述基本问题的最简单方法就是设想两个公司的生产率比较，它们的生产函数分别是AF（K， L）和BG（K， L）。由于生产技术不同，直接比较A和B的相对大小的经济意义是有限的。两家公司规模的不同，使得采用数学的对称性会误导经济内容的比较。
如果允许替代弹性变化，就相当于把方程从F（K， L）变为另一个方程G（K， L）。这就引出了这样一个问题，其他技术参数是否保持和之前一样的经济解释，还有当保持其他参数不变时，变化的替代弹性在经济方面的含义是什么。
为简单起见，假定只有两个输入量资本和劳动，规模报酬不变的情况下进行讨论。
最简单的标准化解释是把资本和劳动输入量看作指数，那样可以与任意选择的基准价值进行比较。ACMS形式可以被视为函数的标准化，因此分布参数b就是资本-劳动比一致时的资本份额。从这个意义上，标准化是不可避免的。给定的参数使得标准化得以明确，在理论分析中，能帮助区分独立于其他参数变化的替代弹性的变化。默认假设能够进行这种区分的想法可能是不正确的。
分布参数不能用来独立定义资本和劳动的度量单位。如果想研究不同替代参数的影响，会遇到用任意基准资本-劳动比来标准化函数的问题，而且这样的任意选择会影响变化替代弹性如何改变生产面的表现形式。
在经济学中，“标准化”这个术语经常用于一个系统或者模型的特定参数或数量是不变的正式性质的情况下。基准资本-劳动比的选择将决定生产率如何随替代弹性的增加而变动。如果经济处在基准位置附近，弹性的变动对生产率的影响将很小。由于前面的原因，选择某一个标准化或基准资本-劳动比能被看作比其他的更缜密和自然，是毫无意义的。这意味着，无法确定替代弹性改变的影响程度，有时甚至连符号都不能确定。我们采用特定数量或参数的水平是任意的且能自由选择的观点。
3.标准化的使用
考虑这样一个问题，研究一个传统动态增长模型，其包含以ACMS形式写的CES生产函数。研究者该如何选择分布参数b？一般来说，这是被用来解释为当替代弹性不变时的资本份额。当资本-劳动比不变时，ACMS的分布参数可以解释为资本份额。
当研究者有多个要素份额和要素比率的观察值时，就可以用标准方法分析数据，估算出分布和替代参数。当分布和替代参数被视为数据估算的固定常量是，就不存在标准化问题。
在实证研究和政策模拟中，CES生产函数的标准化形式相对于其他形式有时候是有用的，尽管益处有时是适度的。标准化避免估计分布参数，而是需要用资本份额的观察值估计技术是一致的（至少是平均水平上）。在其最简单的形式中，这个过程需要额外假设边际生产率要素定价和利润最大化。从严格的计量经济学角度来看，学者建议的方法所获得的好处并不是主要来自标准化，而是来自强加一个参数而非去估计它，额外的假设能对参数加以限制。
Klump和La Grandville认为选择的替代弹性，TFP参数和分布参数最好看作相互依赖的。如果研究者模拟一个增长模型是改变了替代弹性，他也应该改变TFP和分布参数。他们的建议是把TFP参数和分布参数表达为替代弹性的函数，那样随着弹性的改变，生产函数在一个特定的资本-劳动比上总是服从相同的人均产量和边际技术替代率。换句话说，这个过程迫使不同替代弹性的生产面沿着特定线K=k0L相切，其中k0是资本-劳动比的基线。
4.结论
最近发表的各种论文已经注意到了CES技术的潜在重要性。他们的研究也表明，当研究者用CES技术研究或校准模型时，保持分布参数固定，同时改变替代弹性是有负面影响的。以这种方式进行，意味着资本份额的变化适用于特定的资本产出比。当特定资本产出比上的资本份额数据是可得的，用和数据保持一致的方式校准CES生产函数是有意义的，因为替代弹性是变化的。特别是，Klump和La Grandville建议的方法，能以最自然的方式校准分布参数。他们的步骤也承认，如果一个技术参数改变，其他参数的意义也会改变。这些对我们理解CES技术都是有用的，对未来的文献应该会有显著的影响。（作者单位：南京财经大学）
参考文献：
篇2
关键词：边际分析 弹性分析 课堂设计
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）02（b）-0193-02
18世纪全世界数学史取得最大突破的时期，从传统常量数学转移到变量数学，诞生了微积分这一数学史上最辉煌的学术。并且很快被应用在各个学科领域，比如：经济学家把微积分学术去思考困扰他们多的的经济学的难题，并取得了辉煌成就。在19世纪中后期相关经济学专家把微积分的基础概念和效用概念结合到一起，从而诞生了边际效用，后期经济学家把此次经济学改革命名为“边际革命”。致使微积分的思想和概念，逐渐渗透到经济学的方方面面。
在边际分析和弹性分析的教学课堂中，教师要注重启发学生对边际分析和弹性分析概念的理解和认识，让学生从本质上理解和掌握边际分析和弹性分析，避免死记硬背。该文通过查询大量文献，并结合理论实践，深入分析和探讨了边际分析和是弹性分析的思想、步骤，从而提高课堂设计的合理性和有效性。
1 教学设计
1.1 边际分析法产生的历史背景――课程引入
在教学设计中，要首先介绍边际分析法的历史由来，在边际革命推行的后期，分析边际方法的发展方向；其次，由于边际分析是在微积分的基础概念上引进而来，所以在具体教学过程中，要把微积分思想落实到每位的学生身上；最后，分析边际分析法在经济学领域中的具体应用。
除此之外，要通过探究式教学让学生掌握数学的发展史，同时把科学家研究边际分析和弹性分析艰苦过程的进行介绍，提高学生不怕困难勇于探索的学习精神。
1.2 提出引例，引导学生建立数学模型――重点的引入
提出是否增加航班问题的引例。要求学生思考，假如你是一个航空公司经理，长假来临，你想Q定是否增加新的航班，如果纯粹是从财务角度出发，你该如何决策。换句话说，如果该航班能给公司挣钱，则应该增加。因此，你需要考虑有关的成本和收入，关键是增加航班的附加成本是大于还是小于该航班所产生的附加收入，这种附加成本和收入称为边际成本和边际收益。
联系数学建模，引导学生建立模型，并要求学生展开分组讨论，并由小组代表描述建立数学模型的过程。
最后由教师总结归纳，详细并逐步讲解、得出相应模型：
我们所面对的学生，在数学课程的学习中，其形象思维、小组合作以的实践能力毫不逊色于本科程度的学生。以上通过“提出问题、分组讨论、小组代表回答、教师总结归纳”这一师生互动过程来引入该次课程的内容：边际分析。此做法源于著名的教育心理学家桑代克的“变化引起注意”一法，通过不断变换教学手段，让学生充分参与、亲自体验理论的归纳过程。
1.3 边际经济函数（边际成本函数、边际利润函数）的定义――重点的介绍
介绍边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数的定义。
并通过举例讲解，引导学生学会利用所学知识解决实际经济问题。
例题1：设某产品的需求函数为：p= 20-q/5，其中p 为价格，q 为销售量，求边际收益函数，以及q= 20、50、70时的边际收益，并说明其经济意义。并由该例题引导学生思考在经济活动中，如何根据经济函数求最大的利润点？
1.4 最大利润原则的介绍
设总收益函数R（q）、总成本函数C（q）和总利润函数L（q）均为可导函数。提问学生取得最大利润的充分条件、必要条件。并归纳总结：取得最大利润的必要条件是：边际收益等于边际成本。取得最大利润的充分条件是：边际收益的变化率小于边际成本的变化率。
课堂练习，并要求学生板演：
练习1：某工厂生产的某种产品，固定成本为400万元，多生产一个单位产品成本增加10万元，设该产品产销平衡，且需求函数为q=1000-50p（q为产量，p为价格），问该厂生产多少单位产品时，可获得最大利润？最大利润是多少？并验证是否符合最大利润原则。
1.5 弹性分析的介绍――重、难点的突出
引导学生思考：在边际分析中，我们讨论的函数变化率与函数改变量均属于绝对数范围内的问题，是否仅仅使用绝对数的概念就能深入分析所有的问题呢？例如：甲商品的单价是10元，乙商品的单价是100元。若甲、乙商品都涨价1元，两种商品单价的绝对改变量都是1元，但是涨幅不同，甲商品的涨幅为10%，乙商品的涨幅为1%，显然甲商品的涨幅比乙商品的涨幅大，这就说明，我们仅有绝对变化率的概念还很不够，因此，有必要研究函数的相对改变量和相对变化率，而这就是弹性分析的内容。
设市场上某商品的需求量q是价格p的函数，即q=q（p）。当价格p在某处取得增量p时，需求量相应地取得增量q，称p与q为绝对增量，
如果需求函数q=q（p）可导，且当p0时，极限存在，
称价格为p时，需求量对价格的弹性，简称为需求弹性，
根据经济理论，需求函数是单调减少函数，所以需求弹性一般取负值。
需求弹性的经济意义是：当价格P在某处改变1%时，需求改变
引导学生平行推广，对成本函数、收益函数、供给函数分别进行弹性分析，得出成本弹性、收入弹性。
讲解例题2：设某商品的需求函数为：求：p = 3，p = 5时的需求弹性，并说明其经济意义。
课堂练习，并要求学生板演：
练习2：已知某产品的供给函数为F（p）= ―2 + 2 p ，求价格 p = 5时的供给价格弹性，并说明其经济意义。
1.6 总结――再次围绕重难点
完成了每节课的教学内容后，在教师的引导下，师生共同归纳总结，目的是让学生在头脑中更深刻更清晰地留下思维的痕迹，调动学生的学习积极性和主动参与意识，符合教学论中的继发性原则。
先让小组代表进行总结，并由其余组员进行补充。
（1）边际分析：
①边际分析的定义。
②常用的边际函数及其经济意义。
（2）最大利润原则：
取得最大利润的必要条件：边际收益等于边际成本。
取得最大利润的充分条件是：边际收益的变化率小于边际成本的变化率。
（3）弹性分析：
①弹性的定义。
②常用的弹性及其经济意义。
归根结底，该堂课重点是边际分析、弹性分析在经济中的应用，难点是弹性分析的应用。
1.7 作业
作业是课堂教学中不可缺少的环节，配合每次课的教学内容，布置相应的作业，通过作业反馈本节课知识掌握的情况，以便下节课查漏补缺，这符合教学论中的程序原则和反馈原则。
2 结语
该章节内容，通过这样的教学设计方式，通过创设情境，实例引出问题，以思路为引线，进行基本概念、理论、方法、应用等内容的介绍与阐述，处理抽象的数学概念；调动学生的学习、思考的主动性与积极性，并通过启发，引导学生进行联想、类比和推理。对成本函数、收入函数分别进行弹性分析，得出成本弹性、收入弹性。通过小组合作学习，让学生分工合作共同达成学习目标。该节课在课堂活动中把学生分成6人一小组的学习小组，让他们围绕着课堂任务分工合作，发展他们的F队协作能力；通过小组间比赛，提高学生的合作和竞争能力。促使学生学会体验实践、参与合作与交流的学习方式。这种学法将更有利于发展学生的实际运用能力，使数学学习的过程成为学生形成积极的情感态度、主动思维和大胆实践的过程。使学生掌握边际分析、弹性分析的基本概念，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析和解决问题的能力，使学生在学习知识的同时注意与实际生活相结合，学以致用。
参考文献
篇3
【关键词】导数边际分析弹性分析最优化分析
一个企业或者一个商店最关心的是如何以最小成本达到利润最大。经济学中常用到边际概念分析一个变量y关于另一个变量x的变化情况。边际概念是当x在某一给定值的附近发生微小变化时y的变化情况,它发映了y的瞬间的变化,而刻画这种瞬间微小变化的数学工具便是导数。
一、导数的概念
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在点x0处取得增量Δx(点x0+Δx仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δ)-f(x0);如果Δy与Δx之比当Δx0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f'(x0),即
f'(x0)==。
若函数y=f(x)在某区间内每一点都可导,则称y=f(x)在该区间内可导,记f'(x)为y=f(x)在该区间内的可导函数(简称导数)。
二、经济分析中常用的函数
1、需求函数与供给函数
(1)需求函数。设Q表示某种商品的需求量,P表示此种商品的价格,则用Q=f(P)表示对某种商品的需求函数。一般来说,对某种商品的需求量Q随价格减少而增加,随价格增加而减少,所以需求函数是单调减少的函数。
(2)供给函数。站在卖方的立场上,设Q表示对某种商品的供给量,P表示此种商品的价格,则用Q=F(P)表示某种商品的供给函数。一般来说,作为卖方,对某种商品的供给量Q是随价格P的增加而增加,随价格P的减少而减少,所以供给函数是单调增加的函数。
2、成本函数与平均成本函数
(1)成本函数。产品的成本一般有两类:一类随产品的数量变化,如需要的劳动力,消耗的原料等;这种生产成本称为可变成本。另一类成本无论生产水平如何都固定不变,如房屋、设备的折旧费、保险费等,称为固定成本。设Q为某种产品的产量,C为生产此种产品的成本,生产每个单位产品的成本为a,固定成本为C0,则成本函数为C=C(Q)=aQ+C0。
(2)平均成本函数。用C=C(Q)=表示每单位的平均成本函数。
3、价格函数、收入函数和利润函数
(1)价格函数。在厂商理论中,强调的是既定需求下的价格。在这种情况下,价格是需求量的函数,表示为P=P(Q)。要注意的是需求函数Q=f(P)与价格函数P=P(Q)是互为反函数的关系。
(2)收入函数。在商业活动中,一定时期内的收益,就是指商品售出后的收入,记为R。因此,收入函数为R=R(Q)=PQ。其中Q表示销售量,P表示价格。
(3)利润函数。利润是指收入扣除成本后的剩余部分,记为L。则L=L(Q)=R(Q)-C(Q)。其中Q表示产品的的数量,R(Q)表示收入,C(Q)表示成本。
三、导数的经济学意义及其在经济分析中的应用
1、边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念,通常指经济变量的变化率。利用导数研究经济变量的边际变化的方法,即边际分析方法,是经济理论中的一个重要分析方法。
一般地,设函数y=f(x)可导,则导数f'(x)叫做边际函数。成本函数C=C(Q)的导数C'(Q)叫做边际成本,其经济意义为当产量为Q时再生产一个单位的产品所增加的总成本;收入函数R=R(Q)的导数R'(Q)叫做边际收入,其经济意义为当销售量为Q时再多销售一个单位产品所增加的销售总收入;利润函数L=L(Q)的导数L'(Q)叫做边际利润,其经济意义近似等于产量(或销售量)为Q时再多生产(或多销售)一个单位产品所增加(或减少)的利润。
例如:某企业每月生产的总成本C(千元)是产量Q(吨)的函数C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解:因为利润函数为:L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-10Q+20)=-Q2+30Q-20。所以边际利润为L'(Q)=(-Q2+30Q-20)'=-2Q
+30。于是L'(8)=-2×8+30=14(千元/吨),L'(10)=-2×10+30=10(千元/吨),L'(15)=-2×15+30=0(千元/吨),L'(20)=-2×20+30=-10(千元/吨)。
以上结果表明:当月产量为8吨时,再生产1吨,利润将增加14000元;当月产量为10吨时,再生产1吨,则利润将增加1万元;当月产量为15吨时,再生产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再生产1吨,利润反而减少1万元。实际上,该题的边际利润函数L'(Q)=-2Q+30在Q>15时小于0,所以利润函数是单调减少的,随着产量的增加,利润将减少。显然,该企业不能完全依靠增加产量来提高利润,搞得不好,还会造成生产越多,亏损越大的局面。那么保持怎样的产量才能使该企业获得最大利润呢?由微观经济学的知识可知:在该题中当R'(Q)=C'(Q),即L'(Q)=0,Q=15时,也就是该企业把月产量定在15吨,此时的总利润最大为:L(15)=-152+30×15-20=205(万元)。
2、弹性分析
弹性概念是经济学中的另一个重要概念,用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度。或者说,一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几。
(1)弹性的定义。设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比,当?驻x0时的极限称为函数y=f(x)在点处的相对变化率,或称为弹性函数。记为Ex=f'(x)。
(2)需求价格弹性的概念。经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性。记为E=Q'(P)。由于需求函数是价格的递减函数,所以需求弹性E一般为负值。其经济意义为:当某种商品的价格下降(或上升)1%时,其需求量将增加(或减少)|E|%。当E=-1(即|E|=1)时,称为单位弹性。即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等,例如报纸。当E1)时,称为富有弹性。即商品需求量的相对变化大于价格的需求变化,此时价格的变化对需求量的影响较大。换句话说,适当降价会使需求量有较大幅度上升,从而增加收入。例如空调、汽车等高档生活用品,包括旅游和专业服务等。需求富有弹性的商品价格下降而总收益增加,就是我们一般所说的“薄利多销”的原因所在。“薄利”就是降价,降价能“多销”, “多销”则会增加总收益,所以,能够作到薄利多销的商品是需求富有弹性的商品。需求富有弹性的商品价格上升而总收益减少,说明了这类商品如果调价不当,则会带来损失。例如,1979年我国农副产品调价,猪肉上调20%左右,在当时我国人民的生活水平下,猪肉的需求富有弹性,猪肉涨价后人们的部分购买力转向其他代用品,猪肉的需求量迅速下降。国家不得不将一些三、四级猪肉降价出售,加上库存积压,财政损失20多亿;再加上农副产品提价后给职工的补助20多亿,财政支出增加40多亿。当-1
在商品经济中,商品经营者关心的是提价(?驻p>0)或降价(?驻p
例如:(2004年考研题)设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格P∈(0,20),Q为需求量。
①求需求量对价格的弹性E(E>0)。
②推导=Q(1-E)(其中R为收益),并用弹性E说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加。
解:①由Q=100-5P知Q'(P)=-50,所以:
E=×Q'=×(-5)==。
②由R=PQ得=Q+PQ'=Q(1+Q')=Q(1-E)。又由E==1,得P=10。于是,当10
总之,企业在制定或变动产品价格时,一定要考虑到自己产品需求价格弹性的大小,这样才能更好地利用价格策略增强竞争力。
3、优化分析
最优化问题是经济管理活动的核心,通常是利用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题。例如:(1997年考研题)一商家销售某种商品的价格满足关系P=7-0.2x(万元/吨),销售量(单位:吨),商品的成本函数是C=3x+1(万元)。
(1)若每销售1吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获得最大利润时的销售量;
(2)t为何值时,政府税收总额最大?
解:(1)设T为总税额,则T=tx。商品销售总收入为R=Px
=(7-0.2x)x=7x-0.2x2。于是得利润为L=R-C-T=7x-0.2x2-
3x-1-tx=-0.2x2+(4-t)x-1。求导,得L'=-0.4+4-t,L"=-0.4。令L'=0,解得x=(4-t)。
因为L"
(2)将x=(4-t)代入T=t,得T=t×=10t-t2。
由T'(t)=10-5t=0,得唯一驻点t=2,又T"(t)=-5
综上所述,对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将导数作为分析工具,可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角。
【参考文献】
[1] 万解秋:试论需求效用学说对我国价格制度改革的作用[J].世界经济文汇,1985(4).
[2] 彭文学:经济数学基础[M].武汉:武汉大学出版社,1997.
篇4
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1672-3198（2008）09-0139-02
1 导数在经济分析中的应用
1.1 边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1 边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q'=f'(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2 边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C'=C'(Q)．C'(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C''(Q0)个单位。
1.1.3 边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R'=R'(Q)．
R'(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R'(Q0)个单位。
1.1.4 边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L'=L'(Q)=R'(Q)-C'(Q).L'(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L'(Q0)个单位。
例1 某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L'(Q)=(-Q2+30Q-20)'=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L'(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L'(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L'(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2 弹性在经济分析中的应用
1.2.1 弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f'(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f'(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2 需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f'(p)pf(p)
例2 设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f'(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3 收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R'=f(p)+pf'(p)=f(p)(1+f'(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R'(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1） 若η0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2） 若η>1，则EREP
（3） 若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3 最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1 最低成本问题
例3 设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C'=2mx-n
令C'，得x=n2m，而C''(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C'(x)=3mx2-2nx+p，C'(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2 最大利润问题
例4 设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L'(Q)=-1500Q+40,令L'(Q)=0得Q=20000
L''(Q)=-1500
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2 积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L'=400-2x，令L'=0，得x=200，因为L''(200)
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［M］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）.
［2］顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［J］.职业圈，2007,（4）.
篇5
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大，L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
