弹性函数的经济学意义精选(十四篇)
发布时间：2023-10-05 10:22:48
序言：作为思想的载体和知识的探索者，写作是一种独特的艺术，我们为您准备了不同风格的14篇弹性函数的经济学意义，期待它们能激发您的灵感。
篇1
许凤娇（1989-），女，汉族，安徽池州人，金融硕士，单位：南京财经大学金融学院，研究方向：商业银行经营管理。
摘要：在宏观经济学和经济增长理论中， CES生产函数得到了越来越多的应用。本文对普遍运用的CES函数进行了标准化。Klump和Grandville提供了在可获得必要参数的情况下，对CES生产函数参数校准的一种简单方法。标准CES生产函数的运用存在一些误区，本文列举了正确的用法。
关键词：CES生产函数；替代弹性；标准化
1.引言
近年来，CES生产函数获得了宏观经济学和增长经济学更多的应用。CES函数是柯布-道格拉斯生产函数最为普遍的替代选项，并且可以处理比C-D函数应用范围更为广泛的问题。但是，并不总是能够明确确定特定选择的CES函数参数或者检验他们的含义。Klump和Grandville（2000）注意到了这个问题，并且概述了明确“标准化”这个生产函数的步骤。
尽管CES生产函数看起来简单明了，但是数学上的简单形式是具有欺骗性的。Klump和La Grandville强调过，应当小心对待CES生产函数的经济解释。他们特别指出对于分析理论结果为不同的替代弹性时使用“标准”CES函数，替代弹性的变化只能由标准化来分离出来。标准CES生产函数已经被多位学者应用于理论研究，而且这些理论研究成果已经被学者用来作为实证分析的框架。Klump对这项工作的大部分进行了研究，提供了进一步的资料并使得相关文献更为广泛的应用。这些论文发展或重新解释了标准化这一概念。
2.标准化
阐述基本问题的最简单方法就是设想两个公司的生产率比较，它们的生产函数分别是AF（K， L）和BG（K， L）。由于生产技术不同，直接比较A和B的相对大小的经济意义是有限的。两家公司规模的不同，使得采用数学的对称性会误导经济内容的比较。
如果允许替代弹性变化，就相当于把方程从F（K， L）变为另一个方程G（K， L）。这就引出了这样一个问题，其他技术参数是否保持和之前一样的经济解释，还有当保持其他参数不变时，变化的替代弹性在经济方面的含义是什么。
为简单起见，假定只有两个输入量资本和劳动，规模报酬不变的情况下进行讨论。
最简单的标准化解释是把资本和劳动输入量看作指数，那样可以与任意选择的基准价值进行比较。ACMS形式可以被视为函数的标准化，因此分布参数b就是资本-劳动比一致时的资本份额。从这个意义上，标准化是不可避免的。给定的参数使得标准化得以明确，在理论分析中，能帮助区分独立于其他参数变化的替代弹性的变化。默认假设能够进行这种区分的想法可能是不正确的。
分布参数不能用来独立定义资本和劳动的度量单位。如果想研究不同替代参数的影响，会遇到用任意基准资本-劳动比来标准化函数的问题，而且这样的任意选择会影响变化替代弹性如何改变生产面的表现形式。
在经济学中，“标准化”这个术语经常用于一个系统或者模型的特定参数或数量是不变的正式性质的情况下。基准资本-劳动比的选择将决定生产率如何随替代弹性的增加而变动。如果经济处在基准位置附近，弹性的变动对生产率的影响将很小。由于前面的原因，选择某一个标准化或基准资本-劳动比能被看作比其他的更缜密和自然，是毫无意义的。这意味着，无法确定替代弹性改变的影响程度，有时甚至连符号都不能确定。我们采用特定数量或参数的水平是任意的且能自由选择的观点。
3.标准化的使用
考虑这样一个问题，研究一个传统动态增长模型，其包含以ACMS形式写的CES生产函数。研究者该如何选择分布参数b？一般来说，这是被用来解释为当替代弹性不变时的资本份额。当资本-劳动比不变时，ACMS的分布参数可以解释为资本份额。
当研究者有多个要素份额和要素比率的观察值时，就可以用标准方法分析数据，估算出分布和替代参数。当分布和替代参数被视为数据估算的固定常量是，就不存在标准化问题。
在实证研究和政策模拟中，CES生产函数的标准化形式相对于其他形式有时候是有用的，尽管益处有时是适度的。标准化避免估计分布参数，而是需要用资本份额的观察值估计技术是一致的（至少是平均水平上）。在其最简单的形式中，这个过程需要额外假设边际生产率要素定价和利润最大化。从严格的计量经济学角度来看，学者建议的方法所获得的好处并不是主要来自标准化，而是来自强加一个参数而非去估计它，额外的假设能对参数加以限制。
Klump和La Grandville认为选择的替代弹性，TFP参数和分布参数最好看作相互依赖的。如果研究者模拟一个增长模型是改变了替代弹性，他也应该改变TFP和分布参数。他们的建议是把TFP参数和分布参数表达为替代弹性的函数，那样随着弹性的改变，生产函数在一个特定的资本-劳动比上总是服从相同的人均产量和边际技术替代率。换句话说，这个过程迫使不同替代弹性的生产面沿着特定线K=k0L相切，其中k0是资本-劳动比的基线。
4.结论
最近发表的各种论文已经注意到了CES技术的潜在重要性。他们的研究也表明，当研究者用CES技术研究或校准模型时，保持分布参数固定，同时改变替代弹性是有负面影响的。以这种方式进行，意味着资本份额的变化适用于特定的资本产出比。当特定资本产出比上的资本份额数据是可得的，用和数据保持一致的方式校准CES生产函数是有意义的，因为替代弹性是变化的。特别是，Klump和La Grandville建议的方法，能以最自然的方式校准分布参数。他们的步骤也承认，如果一个技术参数改变，其他参数的意义也会改变。这些对我们理解CES技术都是有用的，对未来的文献应该会有显著的影响。（作者单位：南京财经大学）
参考文献：
篇2
关键词：边际分析 弹性分析 课堂设计
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）02（b）-0193-02
18世纪全世界数学史取得最大突破的时期，从传统常量数学转移到变量数学，诞生了微积分这一数学史上最辉煌的学术。并且很快被应用在各个学科领域，比如：经济学家把微积分学术去思考困扰他们多的的经济学的难题，并取得了辉煌成就。在19世纪中后期相关经济学专家把微积分的基础概念和效用概念结合到一起，从而诞生了边际效用，后期经济学家把此次经济学改革命名为“边际革命”。致使微积分的思想和概念，逐渐渗透到经济学的方方面面。
在边际分析和弹性分析的教学课堂中，教师要注重启发学生对边际分析和弹性分析概念的理解和认识，让学生从本质上理解和掌握边际分析和弹性分析，避免死记硬背。该文通过查询大量文献，并结合理论实践，深入分析和探讨了边际分析和是弹性分析的思想、步骤，从而提高课堂设计的合理性和有效性。
1 教学设计
1.1 边际分析法产生的历史背景――课程引入
在教学设计中，要首先介绍边际分析法的历史由来，在边际革命推行的后期，分析边际方法的发展方向；其次，由于边际分析是在微积分的基础概念上引进而来，所以在具体教学过程中，要把微积分思想落实到每位的学生身上；最后，分析边际分析法在经济学领域中的具体应用。
除此之外，要通过探究式教学让学生掌握数学的发展史，同时把科学家研究边际分析和弹性分析艰苦过程的进行介绍，提高学生不怕困难勇于探索的学习精神。
1.2 提出引例，引导学生建立数学模型――重点的引入
提出是否增加航班问题的引例。要求学生思考，假如你是一个航空公司经理，长假来临，你想Q定是否增加新的航班，如果纯粹是从财务角度出发，你该如何决策。换句话说，如果该航班能给公司挣钱，则应该增加。因此，你需要考虑有关的成本和收入，关键是增加航班的附加成本是大于还是小于该航班所产生的附加收入，这种附加成本和收入称为边际成本和边际收益。
联系数学建模，引导学生建立模型，并要求学生展开分组讨论，并由小组代表描述建立数学模型的过程。
最后由教师总结归纳，详细并逐步讲解、得出相应模型：
我们所面对的学生，在数学课程的学习中，其形象思维、小组合作以的实践能力毫不逊色于本科程度的学生。以上通过“提出问题、分组讨论、小组代表回答、教师总结归纳”这一师生互动过程来引入该次课程的内容：边际分析。此做法源于著名的教育心理学家桑代克的“变化引起注意”一法，通过不断变换教学手段，让学生充分参与、亲自体验理论的归纳过程。
1.3 边际经济函数（边际成本函数、边际利润函数）的定义――重点的介绍
介绍边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数的定义。
并通过举例讲解，引导学生学会利用所学知识解决实际经济问题。
例题1：设某产品的需求函数为：p= 20-q/5，其中p 为价格，q 为销售量，求边际收益函数，以及q= 20、50、70时的边际收益，并说明其经济意义。并由该例题引导学生思考在经济活动中，如何根据经济函数求最大的利润点？
1.4 最大利润原则的介绍
设总收益函数R（q）、总成本函数C（q）和总利润函数L（q）均为可导函数。提问学生取得最大利润的充分条件、必要条件。并归纳总结：取得最大利润的必要条件是：边际收益等于边际成本。取得最大利润的充分条件是：边际收益的变化率小于边际成本的变化率。
课堂练习，并要求学生板演：
练习1：某工厂生产的某种产品，固定成本为400万元，多生产一个单位产品成本增加10万元，设该产品产销平衡，且需求函数为q=1000-50p（q为产量，p为价格），问该厂生产多少单位产品时，可获得最大利润？最大利润是多少？并验证是否符合最大利润原则。
1.5 弹性分析的介绍――重、难点的突出
引导学生思考：在边际分析中，我们讨论的函数变化率与函数改变量均属于绝对数范围内的问题，是否仅仅使用绝对数的概念就能深入分析所有的问题呢？例如：甲商品的单价是10元，乙商品的单价是100元。若甲、乙商品都涨价1元，两种商品单价的绝对改变量都是1元，但是涨幅不同，甲商品的涨幅为10%，乙商品的涨幅为1%，显然甲商品的涨幅比乙商品的涨幅大，这就说明，我们仅有绝对变化率的概念还很不够，因此，有必要研究函数的相对改变量和相对变化率，而这就是弹性分析的内容。
设市场上某商品的需求量q是价格p的函数，即q=q（p）。当价格p在某处取得增量p时，需求量相应地取得增量q，称p与q为绝对增量，
如果需求函数q=q（p）可导，且当p0时，极限存在，
称价格为p时，需求量对价格的弹性，简称为需求弹性，
根据经济理论，需求函数是单调减少函数，所以需求弹性一般取负值。
需求弹性的经济意义是：当价格P在某处改变1%时，需求改变
引导学生平行推广，对成本函数、收益函数、供给函数分别进行弹性分析，得出成本弹性、收入弹性。
讲解例题2：设某商品的需求函数为：求：p = 3，p = 5时的需求弹性，并说明其经济意义。
课堂练习，并要求学生板演：
练习2：已知某产品的供给函数为F（p）= ―2 + 2 p ，求价格 p = 5时的供给价格弹性，并说明其经济意义。
1.6 总结――再次围绕重难点
完成了每节课的教学内容后，在教师的引导下，师生共同归纳总结，目的是让学生在头脑中更深刻更清晰地留下思维的痕迹，调动学生的学习积极性和主动参与意识，符合教学论中的继发性原则。
先让小组代表进行总结，并由其余组员进行补充。
（1）边际分析：
①边际分析的定义。
②常用的边际函数及其经济意义。
（2）最大利润原则：
取得最大利润的必要条件：边际收益等于边际成本。
取得最大利润的充分条件是：边际收益的变化率小于边际成本的变化率。
（3）弹性分析：
①弹性的定义。
②常用的弹性及其经济意义。
归根结底，该堂课重点是边际分析、弹性分析在经济中的应用，难点是弹性分析的应用。
1.7 作业
作业是课堂教学中不可缺少的环节，配合每次课的教学内容，布置相应的作业，通过作业反馈本节课知识掌握的情况，以便下节课查漏补缺，这符合教学论中的程序原则和反馈原则。
2 结语
该章节内容，通过这样的教学设计方式，通过创设情境，实例引出问题，以思路为引线，进行基本概念、理论、方法、应用等内容的介绍与阐述，处理抽象的数学概念；调动学生的学习、思考的主动性与积极性，并通过启发，引导学生进行联想、类比和推理。对成本函数、收入函数分别进行弹性分析，得出成本弹性、收入弹性。通过小组合作学习，让学生分工合作共同达成学习目标。该节课在课堂活动中把学生分成6人一小组的学习小组，让他们围绕着课堂任务分工合作，发展他们的F队协作能力；通过小组间比赛，提高学生的合作和竞争能力。促使学生学会体验实践、参与合作与交流的学习方式。这种学法将更有利于发展学生的实际运用能力，使数学学习的过程成为学生形成积极的情感态度、主动思维和大胆实践的过程。使学生掌握边际分析、弹性分析的基本概念，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析和解决问题的能力，使学生在学习知识的同时注意与实际生活相结合，学以致用。
参考文献
篇3
【关键词】导数边际分析弹性分析最优化分析
一个企业或者一个商店最关心的是如何以最小成本达到利润最大。经济学中常用到边际概念分析一个变量y关于另一个变量x的变化情况。边际概念是当x在某一给定值的附近发生微小变化时y的变化情况,它发映了y的瞬间的变化,而刻画这种瞬间微小变化的数学工具便是导数。
一、导数的概念
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在点x0处取得增量Δx(点x0+Δx仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δ)-f(x0);如果Δy与Δx之比当Δx0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f'(x0),即
f'(x0)==。
若函数y=f(x)在某区间内每一点都可导,则称y=f(x)在该区间内可导,记f'(x)为y=f(x)在该区间内的可导函数(简称导数)。
二、经济分析中常用的函数
1、需求函数与供给函数
(1)需求函数。设Q表示某种商品的需求量,P表示此种商品的价格,则用Q=f(P)表示对某种商品的需求函数。一般来说,对某种商品的需求量Q随价格减少而增加,随价格增加而减少,所以需求函数是单调减少的函数。
(2)供给函数。站在卖方的立场上,设Q表示对某种商品的供给量,P表示此种商品的价格,则用Q=F(P)表示某种商品的供给函数。一般来说,作为卖方,对某种商品的供给量Q是随价格P的增加而增加,随价格P的减少而减少,所以供给函数是单调增加的函数。
2、成本函数与平均成本函数
(1)成本函数。产品的成本一般有两类:一类随产品的数量变化,如需要的劳动力,消耗的原料等;这种生产成本称为可变成本。另一类成本无论生产水平如何都固定不变,如房屋、设备的折旧费、保险费等,称为固定成本。设Q为某种产品的产量,C为生产此种产品的成本,生产每个单位产品的成本为a,固定成本为C0,则成本函数为C=C(Q)=aQ+C0。
(2)平均成本函数。用C=C(Q)=表示每单位的平均成本函数。
3、价格函数、收入函数和利润函数
(1)价格函数。在厂商理论中,强调的是既定需求下的价格。在这种情况下,价格是需求量的函数,表示为P=P(Q)。要注意的是需求函数Q=f(P)与价格函数P=P(Q)是互为反函数的关系。
(2)收入函数。在商业活动中,一定时期内的收益,就是指商品售出后的收入,记为R。因此,收入函数为R=R(Q)=PQ。其中Q表示销售量,P表示价格。
(3)利润函数。利润是指收入扣除成本后的剩余部分,记为L。则L=L(Q)=R(Q)-C(Q)。其中Q表示产品的的数量,R(Q)表示收入,C(Q)表示成本。
三、导数的经济学意义及其在经济分析中的应用
1、边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念,通常指经济变量的变化率。利用导数研究经济变量的边际变化的方法,即边际分析方法,是经济理论中的一个重要分析方法。
一般地,设函数y=f(x)可导,则导数f'(x)叫做边际函数。成本函数C=C(Q)的导数C'(Q)叫做边际成本,其经济意义为当产量为Q时再生产一个单位的产品所增加的总成本;收入函数R=R(Q)的导数R'(Q)叫做边际收入,其经济意义为当销售量为Q时再多销售一个单位产品所增加的销售总收入;利润函数L=L(Q)的导数L'(Q)叫做边际利润,其经济意义近似等于产量(或销售量)为Q时再多生产(或多销售)一个单位产品所增加(或减少)的利润。
例如:某企业每月生产的总成本C(千元)是产量Q(吨)的函数C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解:因为利润函数为:L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-10Q+20)=-Q2+30Q-20。所以边际利润为L'(Q)=(-Q2+30Q-20)'=-2Q
+30。于是L'(8)=-2×8+30=14(千元/吨),L'(10)=-2×10+30=10(千元/吨),L'(15)=-2×15+30=0(千元/吨),L'(20)=-2×20+30=-10(千元/吨)。
以上结果表明:当月产量为8吨时,再生产1吨,利润将增加14000元;当月产量为10吨时,再生产1吨,则利润将增加1万元;当月产量为15吨时,再生产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再生产1吨,利润反而减少1万元。实际上,该题的边际利润函数L'(Q)=-2Q+30在Q>15时小于0,所以利润函数是单调减少的,随着产量的增加,利润将减少。显然,该企业不能完全依靠增加产量来提高利润,搞得不好,还会造成生产越多,亏损越大的局面。那么保持怎样的产量才能使该企业获得最大利润呢?由微观经济学的知识可知:在该题中当R'(Q)=C'(Q),即L'(Q)=0,Q=15时,也就是该企业把月产量定在15吨,此时的总利润最大为:L(15)=-152+30×15-20=205(万元)。
2、弹性分析
弹性概念是经济学中的另一个重要概念,用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度。或者说,一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几。
(1)弹性的定义。设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比,当?驻x0时的极限称为函数y=f(x)在点处的相对变化率,或称为弹性函数。记为Ex=f'(x)。
(2)需求价格弹性的概念。经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性。记为E=Q'(P)。由于需求函数是价格的递减函数,所以需求弹性E一般为负值。其经济意义为:当某种商品的价格下降(或上升)1%时,其需求量将增加(或减少)|E|%。当E=-1(即|E|=1)时,称为单位弹性。即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等,例如报纸。当E1)时,称为富有弹性。即商品需求量的相对变化大于价格的需求变化,此时价格的变化对需求量的影响较大。换句话说,适当降价会使需求量有较大幅度上升,从而增加收入。例如空调、汽车等高档生活用品,包括旅游和专业服务等。需求富有弹性的商品价格下降而总收益增加,就是我们一般所说的“薄利多销”的原因所在。“薄利”就是降价,降价能“多销”, “多销”则会增加总收益,所以,能够作到薄利多销的商品是需求富有弹性的商品。需求富有弹性的商品价格上升而总收益减少,说明了这类商品如果调价不当,则会带来损失。例如,1979年我国农副产品调价,猪肉上调20%左右,在当时我国人民的生活水平下,猪肉的需求富有弹性,猪肉涨价后人们的部分购买力转向其他代用品,猪肉的需求量迅速下降。国家不得不将一些三、四级猪肉降价出售,加上库存积压,财政损失20多亿;再加上农副产品提价后给职工的补助20多亿,财政支出增加40多亿。当-1
在商品经济中,商品经营者关心的是提价(?驻p>0)或降价(?驻p
例如:(2004年考研题)设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格P∈(0,20),Q为需求量。
①求需求量对价格的弹性E(E>0)。
②推导=Q(1-E)(其中R为收益),并用弹性E说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加。
解:①由Q=100-5P知Q'(P)=-50,所以:
E=×Q'=×(-5)==。
②由R=PQ得=Q+PQ'=Q(1+Q')=Q(1-E)。又由E==1,得P=10。于是,当10
总之,企业在制定或变动产品价格时,一定要考虑到自己产品需求价格弹性的大小,这样才能更好地利用价格策略增强竞争力。
3、优化分析
最优化问题是经济管理活动的核心,通常是利用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题。例如:(1997年考研题)一商家销售某种商品的价格满足关系P=7-0.2x(万元/吨),销售量(单位:吨),商品的成本函数是C=3x+1(万元)。
(1)若每销售1吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获得最大利润时的销售量;
(2)t为何值时,政府税收总额最大?
解:(1)设T为总税额,则T=tx。商品销售总收入为R=Px
=(7-0.2x)x=7x-0.2x2。于是得利润为L=R-C-T=7x-0.2x2-
3x-1-tx=-0.2x2+(4-t)x-1。求导,得L'=-0.4+4-t,L"=-0.4。令L'=0,解得x=(4-t)。
因为L"
(2)将x=(4-t)代入T=t,得T=t×=10t-t2。
由T'(t)=10-5t=0,得唯一驻点t=2,又T"(t)=-5
综上所述,对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将导数作为分析工具,可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角。
【参考文献】
[1] 万解秋:试论需求效用学说对我国价格制度改革的作用[J].世界经济文汇,1985(4).
[2] 彭文学:经济数学基础[M].武汉:武汉大学出版社,1997.
篇4
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1672-3198（2008）09-0139-02
1 导数在经济分析中的应用
1.1 边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1 边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q'=f'(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2 边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C'=C'(Q)．C'(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C''(Q0)个单位。
1.1.3 边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R'=R'(Q)．
R'(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R'(Q0)个单位。
1.1.4 边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L'=L'(Q)=R'(Q)-C'(Q).L'(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L'(Q0)个单位。
例1 某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L'(Q)=(-Q2+30Q-20)'=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L'(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L'(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L'(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2 弹性在经济分析中的应用
1.2.1 弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f'(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f'(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2 需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f'(p)pf(p)
例2 设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f'(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3 收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R'=f(p)+pf'(p)=f(p)(1+f'(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R'(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1） 若η0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2） 若η>1，则EREP
（3） 若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3 最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1 最低成本问题
例3 设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C'=2mx-n
令C'，得x=n2m，而C''(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C'(x)=3mx2-2nx+p，C'(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2 最大利润问题
例4 设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L'(Q)=-1500Q+40,令L'(Q)=0得Q=20000
L''(Q)=-1500
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2 积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L'=400-2x，令L'=0，得x=200，因为L''(200)
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［M］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）.
［2］顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［J］.职业圈，2007,（4）.
篇5
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大，L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
篇6
关键词：需求价格函数；模糊数；回归模型
中图分类号：O174 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2013）11-0-02
一、引言
自1965年美国控制论专家L.A.Zadeh[1]提出模糊集理论以来，利用模糊集理论来解决经济类的问题已经越来越常见，1992Buckley[2]讨论了经济学和金融学的一些方程的求解问题，1990年Yao和Wu[3]考虑了模糊环境下的需求过剩和生产过剩问题，巩增泰[4]求解了模糊环境下需求价格函数的逼近算法等。
在社会经济领域，经济学家用弹性来衡量一个变量对另一个变量的变动的反映程度，所以需求弹性等于需求数量的变动百分比除以价格的变动百分[5]，即。市场需求与价格之间总存在一定的对应关系，本文讨论在需求弹性恒定的条件下，商品需求数量和价格之间的函数关系，此时，需求价格函数可以表示为y=axb （其中x表示商品的价格，y表示商品的需求数量，b表示弹性，a为正数，b为负数[6]，其图形一般如下图所示）
但是由于经济系统的复杂性和人的认识、思维及判断所固有的模糊性，对于许多的经济现象，有时很难用精确的数值来描述其数量特征，因此对于需求价格问题，把需求函数表示为价格的模糊形式更为客观合理，即，而对于参数的回归模型问题，前人已经做了不少研究同时取得一定的成果[7-10]。本文主要在模糊环境下建立需求价格函数的回归模型，同时进行一定的实证分析。
二、原理及背景知识
五、总结
本文主要讨论在模糊条件下，一类需求弹性恒定的商品的需求数量和价格之间的函数关系，并建立起相应的回归模型加以分析。在社会经济中，我们不但需要利用回归模型验证已有的一些实际数据，更重要的利用所求模型来预测未来的变化情况，经济市场中商品的价格是非常不稳定的，是不断波动变化的，与之对应的商品需求数量也在不断变化，但是具体价格，数量为多少，很难由精确数字给出，而模糊数却很好的解决了这类问题，因此考虑模糊环境下的需求价格函数，并尝试利用此模型来解决现实的问题，是非常具有讨论研究价值的。
参考文献：
[1]Zadeh.L.A，Fuzzy sets，Information and Control[J].1965，8（1）：338-353.
[2]Buckleyjj.Solving fuzzy equations in economics and finance[J]，Fuzzy Sets and Systems.1992，48：289-296.
[3]Yao.J.S，Wu.k.consumer surplus and producer surplus for fuzzy demand and supply[J].Fuzzy Sets and Systems.1990，103：405-419.
[4]巩增泰.模糊需求价格函数：背景、应用及逼近算法[J].西北师范大学学报，2006，42（1）：1-4.
[5]Michael Parkin.微观微观经济学[M].北京：人民邮电出版社，2009，3.
[6]B.Douglas，Bembeim.微观经济学[M].北京：北京大学出版社，2010，1.
[7]梁艳.模糊线性回归模型的参数估计[D].宁夏大学，2006，3.
[8]胡良剑，宗云南.模糊数据的线性回归模型[J].模糊系统与数学，2002，16（1）：87-95.
[9]许若宁.拟合模糊观测数据的线性回归模型[J].纯粹数学与应用数学，1997（13）：37-43.
[10]许若宁.带模糊回归参数的线性回归模型[J].模糊系统与数学，1998，12（2）：70-77.
篇7
随着我国经济的飞速发展，金融经济获得了良好的发展平台。金融经济分析中离不开经济数学的应用，其能够提高金融经济分析的准确性，有助于金融经济的良好发展。经济数学的应用，对于金融经济分析具有重要价值。文章分析了数学建模、极限理论、导数、微分方程等经济数学理论在金融经济分析中的应用。
关键词:
金融经济;经济数学;极限;导数
近些年，我国金融经济取得了良好的发展。金融经济分析过程中，单单依靠经济的定量分析是远远不够的，还要有机结合定量分析。经济数学是数学的一门分支学科，其在金融经济分析中的应用比较广泛。经济数学理论的应用可以有效解决金融经济分析中的实际问题，利用经济数学理论，很多难以解决的金融经济问题将得到很好的处理。因此，经济数学理论对于金融经济分析具有重要的价值。
一、函数模型在金融经济分析中的应用
数学的基础理论就是函数，而函数也是金融经济分析中的基础。通过函数建模，可以将金融经济问题转化为数学关系，通过函数关系进而简化分析的过程。比如在研究市场的供需关系时，将问题转化成数学函数关系，将可以使分析更加明确。供需关系的影响因素有价格、商品的可替代性、消费者的价值取向、消费者的购买力等。其中，价格是最为重要的影响因素，那么在分析供需问题时，就可以通过价格为基础，建立有效的函数关系。常用的函数关系有需求函数、供给函数两种。需求函数是一种减函数，需求量随着价格的上涨而逐渐降低。供给函数是一种增函数，供给量随着价格的上涨而不断增加。需求关系变化过程中形成的价格，可以平衡两者之间的关系，进而保证成交的顺利进行。在研究产量和成本之间的关系时，就要利用成本函数进行分析，假设产品生产时的技术和价格不变，产量和成本之间就会存在一定的关系。商品的生产过程中，需要考虑成本与收益之间的关系，收益分析就会用到收益函数。经济数学中的函数关系对于金融经济分析具有重要价值，可以将复杂的问题通过函数关系简化，进而提高金融经济分析的效率。
二、极限理论在金融经济分析中的应用
极限理论是数学中的重要内容之一，其是很多数学理论的基础。极限理论在金融和经济管理、经济分析中的应用比较广泛。极限理论能够反映出事物的增长和衰减的规律，主要体现在人口增长、设备折旧、细胞繁殖等方面。极限理论在金融经济中的应用，主要体现在计算储蓄的连续复利上。极限理论可以计算储蓄连续复利中的本金和利息总和。
三、导数在金融经济分析中的应用
导数理论是数学中比较常用的理论之一，而导数与经济学之间关系密切。通过边际概念构建导数关系，就能将变量替代常量，进而进行经济学研究。导数是经济学中的常用理论，边际需求函数、边际成本函数、边际收益函数等都是经济学分析中的常用理论。导数能够反映出自变量的细微变化，通过自变量变化分析因变量的变化，进而研究函数的变化率。成本函数研究时，商品在固定的产量下，可以计算出边际成本，该成本就是重新生产相同产品的成本，此时可以将平均成本和边际成本对比，进而决定该商品的产量变化。如果边际成本小于平均成本，该商品的产量就要增加。如果边际成本大于平均成本，该商品的产量就要减少。弹性研究是导数应用的另一个方面，函数的变化率需要使用弹性研究。商品的价格和需求量的关系就可以利用弹性研究。利用弹性能够得出一个价格值，商品价格提高的比率要大于需求量减少的比率，则价格提高企业可以获得更多的收益。如果商品的价格比该价格高时，商品价格提高的比率要小于需求量减少的比率，则企业提高价格后收益就会减少。经济最优化是经济分析的重要内容，其也可以利用导数理论进行分析。导数的最值和求极值等知识，能够很好的解决最大利润、最优收入、最佳资源配置等问题。
四、微分方程在金融经济分析中的应用
微分方程是含有函数、微分、自变量的方程，其是解决复杂经济问题时常用的数学知识。如果研究中的自变量较多，可以通过假设一个自变量为常量进行计算，也就是偏导数理论。金融经济分析中常用的还有求近似值的方法，这种计算也会用到微分的理论。数学方法的应用，能够解决金融和经济中的很多实际问题。经济分析中会涉及复杂的经济现象，而其中的很多因素难以量化，需要经济数学中的理论和方法来进行分析。
五、总结
随着经济的不断发展，经济分析成为促进经济发展的关键。经济数学理论在经济分析中的应用，能够将复杂的经济问题通过数学关系进行简化。通过函数建模、极限理论、导数理论和微分方程理论，可以将实际的经济问题转化成数学问题，进而通过数学关系计算出相应的结果，数学的应用对于经济分析具有重要意义，未来我们应该加强数学和经济的交叉，使其能够更好的为金融经济分析服务。
参考文献:
［1］曾金红．浅析金融经济分析中经济数学的应用［J］．吉林广播电视大学学报，2015(04)．
［2］吴清雾．关于数学在经济问题计算中的应用分析［J］．企业改革与管理，2014(20)．
篇8
关键词：高等数学微积分经济应用分析
高等数学逐渐被广泛应用在经济领域中，不仅为经济研究奠定了良好的基础，还成为一种具有科学性、合理性的技术，在日常生活中起着不容小觑的作用。数学知识不仅贯穿于人们生产生活的发展始终，还被深入应用于各大科技领域。高等数学中的微积分应用较为宽广，可以将其应用于物理、经济、交通以及工程相关领域中。因此，在经济飞速发展的今天，将数学价值充分发挥出来成为一项重要任务，让学生全面利用与高等数学相关的知识分析社会中存在的经济现象成为一项关键内容。
一、高等数学教学中存在的缺陷
高等数学中最显著的特征是抽象性、逻辑性、应用性。目前我国大学生普遍存在不爱学习高等的现象，没有兴趣进行以后的高等数学学习。高校数学老师在考试前会为学生圈出重点内容，帮助学生简单了解重点内容，导致学生难以对其进行深入学习，学生经常抱着60分万岁的心态，严重缺乏积极主动性。
二、高等数学中微积分的经济应用
1.采用微积分进行边际分析
经济学经常会出现边际问题，主要包括边际成本、边际收益、边际利润等内容。边际问题的实质是问题中涉及经济函数的变化率。如果一个函数用f(x)表示，那么其导函数就可以用f'(x)表示，导函数就成为该函数的边际函数。对边际函数中某一个点求值时，这个值就成为这个边际函数的边际值。在实际问题中经常会给出总成本函数来求出边际成本。边际成本的求法是对总成本函数的产量进行求导，阐释的经济内涵为：当产量为q时再生产一个单位所导致总成本增加的值；边际收益的求法是对总收益函数中的销售量来求导，表达的经济内涵是销售量为q时，再销售一个单位所导致总收益增加的量；边际利润是对总利润函数中的销售量来求导，包含的主要内容是当销售量为q时，对其销售一个单位时，总利润所增加的值。例如，某产品的需求函数为P=80-0.1x，成本函数为C(x)=5000+20x（元）。求边际利润函数L'(x)，分别求x=150和x=400时的边际利润并说出所表达的经济含义。解：根据已知题意，利润函数L(x)=需求量×价格-成本函数=x(80-0.1x)-(5000+20x)=-0.1x2+60x-5000，所以若想求出边际利润函数就要对利润函数L(x)进行求导工作，最终得出边际利润函数L'(x)=-0.2x+60，故L'(x)丨(x=150)=-0.2×150+60=30，L'(x)丨(x=400)=-0.2×400+60=-20。当x=150时，表达的经济含义为：当需求量为150时，再增加一件利润将会增加30元。当x=400时，表达的经济含义为：当需求量为400时，再增加一件利润将会亏损20元。该例题可以全面反映出并不是消费者的需求量增高就使企业获得的利润额度一同升高，相反企业很有可能出现亏损。虽然例题中边际利润、边际成本、边际收益等相关问题的求解方式较简单，但将其应用于实际生活中较难理解，而且在实际生活之中与边际相关的问题解决方式起着重要的作用。边际革命在西方经济理论之中具有较高的价值意义，同时也是一种新的发展趋势。分析价值意义时，可以广泛应用边际效用学说以及计算边际效益的方式，促使研究人员能够对价值效益进行深入认识与研究，全方面了解产品价值与边际效用之间的直接联系。对边际概念进行深入了解时，可以采用高等数学中的微积分理念，使个人获得最大收益以及能够妥善处理经济均衡点，最终促使边际学说被广泛应用于经济学理论的各大分支之中。边际分析体现的实质内容是经济学家对数学以及心理学的全面整合，即微积分，充分利用微积分深入研究经济学相关理论内容。因此，在从事相关经济工作时，相关工作人员要采用合理且科学的措施处理相关边际问题，帮助企业决策人员做出正确的经济决策，为企业带来良好的经济收益。
2.采用微积分开展弹性分析
实际生活之中，我们不仅要对边际绝对改变量以及绝对变化率进行分析，还要对经济函数中的相对改变量以及变化率进行深入研究。弹性分析主要研究的内容是一项经济变量变动百分之几会对另一项经济变量带来哪种影响，实际就是反映出两者发生变化时对两者敏感程度造成的影响。弹性分析不仅广泛应用于经济分析之中，在日常生活之中也被广泛应用。弹性公式为：E=数量的相对变动÷价格的相对变动。由于经济函数不同，弹性也不相同，而且弹性种类较多，较为常见的就是需求价格弹性。在实际经济分析过程中，合理确定需求价格弹性有助于预测市场的走向趋势以及定价策略的制定。若需求函数为Q=Q(p)，则需求弹性为Ed=-dQ/dP×P/Q。当需求弹性大于1时，说明商品需求富含弹性，即商品的需求量变化程度较高且高于价格的变动，这时可以采取降低价格的方式增加收入和需求量。当需求弹性等于1时，说明商品需求弹性为单位弹性，表明商品需求量与价格变化同步，采取何种方式都不会对收入带来影响。当需求弹性小于1时，说明商品需求缺乏弹性，表明商品的需求量变化比价格变化程度低，这时可以采取提升价格的方式增加收入。根据需求弹性所表示的经济含义，商品需求弹性较高时，需求量与价格之间发生变动的程度较为敏感，销售方可以采用降低价格的方式促进消费者消费，为企业带来经济利益。当商品需求组弹性较低时，两者之间的相互影响较为缓慢，销售者可以适当提升商品价格，降低因销售量减少而对整体经济效益产生的不利影响。根据相关调查显示，日常生活中必需品的需求价格弹性较低，而奢侈品、轿车等商品的需求价格弹性较高。
3.充分利用微积分求最值
在实际生活中对经济情况进行分析时经常会出现最大收益、最佳成本等相关问题，在数学领域内可以将这一系列的问题归类为函数最值问题，即求出边际函数上边际点的极值。最优化理论不仅是经济决策者做出最优方案的依据，同时还是开展经济分析时常用的原理。最优化位置就是一切经济活动均处于巅峰位置，在这一点的周围均处于下滑趋势，因此必须用微积分中导数为零这一数学理论。例如，某厂每批生产A商品X台的费用为C(x)=5x+200（万元），所得收入为R(x)=10x-0.01x（万元），问每批生产多少台，才能使得利润达到最大？解：设利润为L(x)，则L(x)=R(x)-C(x)=5x-0.01x-200，其次对L(x)求导，得出L'(x)=5-0.02x，另L'(x)=0，得出X=250台，由于L''(x)=-0.02＜0，因此，L(250)=425（万元）即为驻点和极大值，同时也就是最大值，当X=250时，最大利润为425万元。计算过程充分利用了微积分相关内容来求出极值点。在实际生活之中，大幅度增加产量并不一定会增加利润，只有确定恰当的生产量才可以为企业带来最佳利润。因此，一名优秀的生产经营者要全面掌握数学相关原理以及计算方式，在经营决策过程中为相关工作人员提出合理意见，帮助其做出正确的经济决策。
4.采用微积分方式分析经济总量及其变动
对经济进行深入分析时，相关研究人员经常采用微积分的方式综合评价经济总量，帮助企业决策者制定正确的决策策略。例如，某类产品的边际成本为C'(x)=6+0.5x（万元吨），固定成本C(0)=5万元，边际收入为R'(x)=12-x（万元吨），求得最大利润时的产量以及利润？解：总成本C(x)=C(0)+∫(6+0.5x)dx=0.25x+6x+5，总收益函数R(x)=R(0)+∫(12-x)dx=-0.5x+12x，所以总利润L(X)=R(X)-C(x)=-0.75x+6x-5，所以对利润函数求导L'(x)=-1.5x+6，并且将导函数另为0，得出x=4，因此得出唯一驻点，其就是极值点以及最值点，最大利润L(4)=7（万元）这道试题将微积分中定积分方式与经济函数最大值问题相联系起来，类似例题中的相关情景经常会出现在日常生活之中。学生要全面把握微积分相关知识，一旦遇到类似问题，可以及时选取合适的数学方式予以解决，而且数学知识的合理运用可以为经济发展注入积极力量。
篇9
内容摘要：本文通过测算，指出陕西省1985-2008年能源消费对于经济增长的贡献不可忽视，其产出弹性为0.26663，对于经济增长的贡献率也在波动中不断增加，并且陕西省经济产出属于规模报酬递增型。
关键词：生产函数 产出弹性 贡献率 规模报酬
测定贡献率的常用方法是先确定生产函数， 再根据生产函数来测算进步率， 最后根据进步率和发展速度测定出贡献率。柯布-道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家保罗•道格拉斯（PaulH.Douglas）共同探讨投入和产出的关系时创造的，并以他们的名字命名的函数，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位，也是确定生产函数的最直接，并且也是最有效的方法。能源系统作为社会大系统的重要组成部分，为社会经济发展提供动力，在国民经济中的地位日益重要。因此，本文采用生产函数改进的三要素形式，在原有劳动和资本两要素生产要素投入中加入能源消费这一因素，建立陕西投入产出生产函数模型，计算能源消耗对陕西省GDP的贡献。
计量经济模型选择及数据处理
（一）计量经济模型选择及设定
能源消费与经济增长关系分析可在如下三要素生产函数的框架内进行：
Y=f（K，L，E）
其中Y为实际的GDP，L为劳动投入量，K为资本投入量，E为能源消耗量。在能源消费与经济增长关系分析中，以C-D生产函数模型最为典型。因此，本研究选择包含能源消费多要素C-D生产函数模型，假设资本K、劳动L和能源消耗E互相之间的替代弹性都为1，则产出量Y与投入要素组合之间的关系可以用如下形式的模型描述：
Y=ALαKβEγ
式中：A表示除要素投入以外其它影响经济增长的因素，α为劳动产出弹性，β为资本产出弹性，γ为能源消耗产出弹性。
根据C-D函数性质：
Y(λL,λK,λE)=A(λL)α(λK)β(λE)γ=λα+β+γALαKβEγ
于是弹性系数的取值有三种情况：
当α+β+γ>1时，Y(λL,λK,λE)>λALαKβEγ，即有：Y(λL,λK,λE)>λY(L,K,E)，形成规模报酬递增，即投入要素增加后，产出量以更大的比例增加。
当α+β+γ=1时，Y(λL,λK,λE)=λALαKβEγ，即有：Y(λL,λK,λE)=λY(L,K,E)，形成规模报酬不变，即当所有投入要素增加若干倍时，产出量也增加相同的倍数。
当α+β+γ
其中：表示经济产出增长率；表示除要素投入以外其它影响经济增长的因素增长率；表示劳动力投入增长率；表示资本投入增长率；表示能源消费增长率。
于是三种投入要素对于经济增长的贡献率如下：
劳动力投入对经济增长的贡献率：
资本投入对经济增长的贡献率：
能源消费对经济增长的贡献率：
（二）数据来源及处理
研究中的数据通过陕西省统计年鉴取得，由于统计年鉴的限制，并且有些数据并不符合经济模型中的要求。因此研究中的数据序列取得及处理如下：
数据序列。由于陕西省统计年鉴中能源消耗有1978年、1980年及1985-2008年数据，因此，研究数据的年度数据序列取1985-2008年。
数据获取及货币指标转换处理。经济产出GDP和能源消耗量E直接从年鉴中获得相应的数据；劳动投入量L取年鉴中的就业人员数量；对于资本投入量取统计年鉴中的资本形成总额。由于GDP和资本投入量K为货币指标，因此将对这些货币指标以1978年为基点的GDP平减指数进行转换，将其转化为不变币值。进行以上处理后得到的数据序列如表1所示。
计量经济模型处理
（一）计量模型C-D函数参数估计
为了求出C-D函数 Y= ALαKβEγ中的参数值，对C-D函数两边取对数，可以得到：
LN（Y）=LN（A）+α*LN（L）+β*LN（K）+γ*LN（E）
利用Eviews对表1中的数据进行处理，得到有关参数估计结果如表2所示。
于是C-D 生产函数为：
LN（GDP）=-5.19926+0.79800*LN（L）+0.53659*LN（K）+0.26663*LN（E）
t＝ （4.296490）
（13.75337） （3.573791）
R2=0.995882 R2=0.995264
从表2所示的结果可以看出，回归系数α=0.79800，β=0.53659，γ=0.26663，回归系数的符号是合理的，同时符合经济意义，而且系数都通过了1%的显著性检验。
于是有：GDP=e-5.199264L0.7980K0.5366
E0.2666=0.002601 L0.7980K0.5366E0.2666
（二）回归系数约束检验
从上面的回归结果可以看出，C-D生产函数中劳动投入L、资本投资K和能源消耗E的回归系数的和为：
α+ β + γ=0.79800+0.53659+0.26663=
1.60122
即L、K和E的回归系数的和是大于1的，说明C-D生产函数并不满足规模报酬不变，而是形成规模报酬递增，即投入要素增加后，产出量可以以更大的比例增加。这一结论的验证过程为：
假设C-D生产函数中L、K和E的回归系数相加为1。利用Eviews进行检验，得到表3。
从表3中可以看到，P值很小，没有超过1%，所以可以拒绝原假设，即规模报酬不变不成立。
（三）L、K和E对GDP的贡献率
利用前面三种投入要素对于经济增长的贡献率，可以计算得到：1985-2008年陕西省资本、劳动力、能源对于经济增长的贡献率，如图1所示。从图中可以看出，陕西省能源消耗对经济增长的贡献在波动中不断增长；资本投入对陕西省经济的贡献较大，并且在较为剧烈的波动中呈现下降趋势，同时劳动投入对经济增长的贡献率比较低。
结论及建议
（一）重视能源消费对于经济增长的贡献
在陕西经济增长中，能源消费E产出弹性γ=0.26663，表明资本投入1％的增长，可以导致其GDP增长0.26663％。与劳动投入L和资本投入K产出弹性0.79800和0.53659相比，能源消费对于经济增长的贡献是不可忽视的。
（二）陕西省经济产出属于规模报酬递增型
由于陕西省C-D生产函数中劳动投入L、资本投资K和能源消耗E的弹性系数之和α+β+γ大于1，即陕西省经济产出属于规模报酬递增型。因此，陕西可以增加经济中的要素投入，以促进产出量更大的比例增加。
（三）重视能源节约且注重能源供给
陕西省能源消耗对于经济增长的贡献率在波动中不断增加，而资本投资对经济增长的贡献则不断下降，也预示着未来陕西经济增长中将会依赖更多的能源投入，由此，陕西经济增长中必须注重节约能源，并同时注重能源的供给。
参考文献：
1.林清泉.计量经济学.中国人民大学出版社，2006
2.李子奈，潘文卿.计量经济学.高等教育出版社，2008
3.曾胜.基于C-D模型分析我国能源消费结构与经济增长的关系.中国能源，2008.11
作者简介：
杨惠贤，女，1966年生，河南新安人，经济学硕士，西安石油大学经济管理学院副教授，硕士生导师。主要从事石油、天然气财务与会计问题研究。
董杰，男，1974年生，浙江宁波人，西安石油大学经济管理学院研究生。
篇10
导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用。看如何运用导数解决中学数学中相关问题：如函数单调性、最值等函数问题；在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函数的图象；应用导数解题的一般方法证明某些不等式的成立和解决数列的有关问题，再根据导数所具有的几何意义对切线相关问题及平行问题等几何问题进行了一些探讨，并最终运用导数解决实际问题中的最值；甚至在解决应用问题，物理问题，经济学问题有起到了举足轻重的作用！
1 用导数求函数的切线
例：求曲线y=xx-2过点(1，－1)处的切线方程。
分析：根据导数的几何意义求解。
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0， y=f(x0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x0， y=f(x0)）处的切线的斜率是f′(x0) ，相应的切线方程为y-y0= f′(x0)(x-x0)。
2 用导数判断函数的单调性
已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1，a∈R．
(Ⅰ)当a＝－3时，求证：f(x)在R上是减函数；
(Ⅱ)如果对x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．
分析：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)
解：(Ⅰ)当a＝－3时，f(x)＝－3x3＋3x2－x＋1，
f′(x)＝－9x2＋6x－1＝－(3x－1)2≤0，f(x)在R上是减函数．
(Ⅱ)x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立，即x∈R不等式3ax2＋6x－1≤4x恒成立，
x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0恒成立．当a＝0时，x∈R 2x－1≤0不恒成立；
当a＜0时，x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0恒成立，即2X＝4＋12a≤0， a≤-13
当a＞0时，x∈R不等式3ax2＋2x－1≤0不恒成立．综上，a的取值范围是（-∞，-13）
3 用导数求函数的极值
设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2．
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)求f(x)在区间［-13，14］的最大值和最小值．
析：先求f′(x)= 0的所有实数根；再对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化，如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值
解：f(x)的定义域为（-32，+∞）。
(Ⅰ)f′(x)=22x+3+2x=4x2+6x+22x+3=2（2x+1）（x+1）2x+3。
当-32＜x＜-1时，f′(x)＞0；当-1＜x＜-12时，f′(x)＜0；当x＞-12时，f′(x)＞0；
从而，f(x)分别在区间（-32，-1），（-12，+∞）单调增加，在区间（-1，-12）单调减少．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在区间［-34，14］的最小值为f（-12）=1n2+14.又f（-34）-f（14）=1n32+916-1n72-116=1n37+12=12（1-1n496）＜0，所以f(x)在区间［-34，14］的最大值为f（14）=116+1n72。
4 导数在不等式证明问题中的应用
不等式的证明常与函数、导数等内容综合，特别是利用导数证明不等式，体现了导数的工具性。在高中数学学习以及历届高考试题中，我们常遇到一些不等式的证明，很难找到切入点。这时我们不妨转换角度，从所证不等式的结构和特点出发，构造一个新的函数，借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题，从而使不等式得到证明。
用导数方法证明不等式，步骤一般是：构造可导函数研究所构造函数的单调性或最值转化为不等关系得出结论。
一般地，若f（x）、g（x）在［a，b］连续，在（a，b）上可导，要证明f（x）>g（x），同理，若f（x）、g（x）在［a，b］连续，在（a，b）上可导，要证明f（x）>g（x），x∈（a，b），可以构造函数F（x）=f（x）-g（x），如果F′（x）0，即证明了f（x）>g（x）。
5 导数在物理问题的应用
导数在高中数学中，应用问题是一颗璀璨的“明珠”，可谓常考常新，纵观近几年的各地高考数学试卷应用问题仍然受到命题者的青睐.其中它与导数的综合，更是一曲优美的“交响乐”，成为高考中的“新宠”.以导数为背景的应用题，由于它们在知识上具有综合性，题型上具有新颖性，解题时需要开动学者的发散性思维！另外，在物理学中，经济学中导数的应用也相当的广泛，比如工程上很多实际的问题都会有相关应用，求水坝斜面的压强等等，考虑到微分的思想，需要积分类的都会用到导数的思想。
6 导数在经济学中的应用
如需求弹性：设需求函数Q=f(P), 这里P表示产品的价格. 于是, 可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下：
n=n(P)=1imQ/QP/P=1imQP•=PQ=P•f′(P)f(P)，当P很小时， 有n=P•f′(P)f(P)≈Pf(P)•QP，故需求弹性n近似地表示在价格为P时, 价格变动1%, 需求量将变化n%, 通常也略去"近似"二字.
例：某商品的需求函数为Q=75-P2(Q为需求量, P为价格).
(1) 求P=4时的边际需求, 并说明其经济意义.
(2) 求P=4时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(3) 当P=4时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?
(4) 当P=6时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?
篇11
关键词：数学学习；经济金融；作用
一、在学习经济金融的过程中离不开数学，并且大部分金融专业，高等数学是作为主修学科进行的
通过经济数学的学习，为经济金融学的研究奠定基础。在现代经济金融发展来看，想要了解它，不仅仅是在经济学、金融学的角度进行定性分析，更需要经济数学的帮助，收集准确的定量分析，才能更全面、更有效的解决实际问题。在经济学中，供需问题可以通过建立数学函数模型来进行更明确的分析，比如商品的价格、商品的可替代程度、人们的消费价值取向和一段时期内人们消费水平，这些抽象化的概念转化为可观察的具体指标，让我们可以更直观地了解经济变化。可以建立供给函数和需求函数，这两种函数是不同的，供给函数是增函数，随着商品价格上升，供给量也按照一定比例随之增加；需求函数则是减函数，随着商品价格的增加，需求量是降低的。市场的经济变化就是这两种函数相互作用的结果，形成最终市场价格，只要能在供需双方达到平衡，就能成交。经济中的成本与产量的关系，也可以通过成本函数来表达。要注意的是成本与收入、收入与销量之间也存在关系，这样一来也可以建立收益函数。这样通过两者的相互交叉学习，经济中体现数学，数学是作为研究经济金融的一种工具，那么我们就能更准确的分析经济实例，提高我们的经济分析能力。其实在经济分析、经济管理、金融管理等多个领域中，极限理论的应用非常广泛。边际需求，边际利润，边际收益和边际成本函数等等，利用数学方法和理论解决经济上的难题，数学与经济之间有着紧密的联系。
二、金融体系是在经济变化下形成的，随着世界科学技术进步推动了生产力，促进了全球经济发展趋于一体化，同时也加强了金融体系的自动化，金融投资市场的竞争日趋激烈，投资风险也普遍存在
所以过去的、旧式的金融体系已经不在适用，我们必须加快脚步，使金融体系深化改革、不断创新。尤其是金融理论的科学系统化、数学化和计算机化，能够运用数学模型来表示金融变动，最大限度的来解决和避免金融风险。1896年，美国经济学家欧文•费雪研究出的资产当前价值与未来现金流量贴现值之和是相等的，为资产估价模型奠定了基础。她利用数学知识表达了计算证券投资价值，并可以在不同约束条件下，有多种多样的表现形式。数学金融也可以说是计算金融，它的实质就是在数学作为研究使用工具的前提下，对金融体系的描述。金融市场的不确定性，投资与收益存在时间上的滞后，可以把股票的未来价格当做一个随机变量、随机过程，它是以概率论作为理论基础的，那么资，减少了投资风险。在二十世纪七十年代，著名经济学家斯蒂芬•罗斯经过多年研究分析发现股票价格不仅受个别股票特殊性的影响，同时也受所有股票一致性反应的共同影响，由此提出来套利定价模型，继而提出描述共同因素变化和证券收益波动关系的模型。
三、在经济金融中，导数的应用也是普遍存在
通过利用导数建立边际概念，又由边际概念倒推导数表达式，如此一来，就可以将经济研究对象从变量转化为常量，就算经济变化的自变量是十分微小的，也可以通过表达式来了解因变量的变化程度。数理统计在经济学中的应用是十分有限的，因为它的理论原则的是在二维的基础上提出并进行研究的，然而在经济学中大部分都是更高维度的，所以有必要运用到多元统计。它本身就是讲求多元变量的统计，伴随它也出现了许多计算软件，但是想要光凭操作就能得出结论显然是不可能的。我们需要看懂软件得出的结论，并加以分析解释和研究。还记得让我们最头疼的微积分吗？学会用微分方程来表示金融经济的问题，可以更加直观的、准确的得出结论，并进行数据分析与比较。微分方程是微分、未知函数和自变量函数三者的结合，利用导数能将复杂的函数表达方程式简化，在进行计算。其中就涉及了金融经济学中的偏导数理论。而导数在经济学中应用的另一个重要方面是弹性，面对函数的相对变化率，不得不采用弹性进行分析和研究。商品的供给与需求，透过弹性分析，我们可以得出一个价格值。企业则可以根据这个价格值来决定生产的数量，制定出合理的商品价格，以寻求最大利益。
四、结语
篇12
城市经济，简言之，就是以城市为发展空间，承载着资本、技术、劳动力、信息等发展要素的地区经济。纵观世界城市经济的发展现状，发达国家的城市经济主要是以现代服务业为主，以现代工业为辅的经济群落。而在我国，由于现代服务业发展的水平较低，其占GDP的比例还很小，因此我国的城市经济目前还处于以工业为主导的发展阶段。我国地大物博，人口众多，各地的发展历史和现状都不一样，这就决定了我国的城市经济发展的不平衡性和差异性。东南沿海和长三角地区、京津冀的城市，因为地缘的优势，往往在发展上捷足先登。不仅经济发展的总量大，而且经济运行的质量也高。相比之下，西部地区城市，囿于地理位置和发展基础的薄弱，在发展上先天不足，经济发展呈现着总量小、产业层次低、辐射作用小的特点，远远落后于东部城市。
从东西部城市之间在发展上存在的差距上看，主要体现在总量、资金、技术、规模四个方面。随着十的闭幕，东部城市群已进入到了一个新的发展阶段，正在积蓄力量，为打造中国的经济的升级版而跃跃欲试。这对于相对落后的西部城市也是一个利好的消息，因为中国经济已经不是各自为正的经济体系，它的互相融合性和辐射性的特点，为西部城市吸收东部城市的资金和技术提供了可能。
中华人民共和国建立后，在大力发展原有城市经济建设的同时，又新建了一批工商业城市。到1985年，全国设市建制的城市达到324个，其城市总人口（不包括市辖县）达到21228万。城市经济在整个国民经济中占有极其重要的地位，并发挥着日益重要的作用。在中国，城市经济和农村经济的关系发生了根本变化。城市以先进的技术装备武装农村，推动广大农村的现代化进程，农村则以自己的农副产品供应城市，支持城市的社会主义建设。城乡之间建立了平等互利的经济联系，走上了共同繁荣的道路。
二、利用CES对城市经济进行建模
CES经济分析模式的引入是经济学微观化的一个重要尝试。它的现实意义是，把缤纷杂芜的经济乱象通过几个集合的数字的模拟分析，抽丝剥茧般的剖析了一个城市经济体的概况。这种剖析，对城市经济的发展具有很好的借鉴作用。除此而外CES还对城市经济具有建模意义。
通过其数字的具体分析，可以对一个城市的增长模式有一个大概的了解，这对于不断修正城市经济发展的策略具有指导意义。应该看到，城市建设具有外部性,除了直接拉动经济增长,还存在对经济增长的间接效应,而综合测定城市建设投资拉动城市经济增长,需要把建设投资对经济增长的直接作用与由投资引起的消费增长进而对经济增长的间接贡献结合起来。如果把城市看成一个综合性的生产单位,它是通过生产要素的投人,最终创造出产值。人们通常用C-D生产函数分析投人产出效益。但是目前没有城市建设投资所创造的全部产出价值量的统计资料,C-D函数也无法从总产出中分离出建设投资的份额。为此,考虑采用二级生产函数的形式来克服上述困难。1928年美国经济学家道格拉斯与数学家柯布合作,提出了著名的C-D生产函数。年中又和四位学者在此基础上,提出常数替代弹性,C-D生产函数模型,简称CES。在其中,不同研究对象,或同一对象不同的样本区间,其要素替代弹性不同,所以,比C-D生产函数更接近实际。在生产函数中,如果替代参数的估计值等于,则要素替代弹性的估计值为,此时生产函数退化为C-D生产函数。根据CES生产函数,在1967年提出了二级生产函数理论。二级生产函数理论，是对CES一级生产函数理论的补充和深化。
这种分析模式将使对经济分析的结果变得更加明晰和透彻。按照这一分析模式，我们就会把城市看作一定空间地域上的生产单位,通过资源投人,最终得到产出GDP。假设城市的产出GDP是由投人的资本和劳动力生产要素所形成,为研究需要和计算简便,将城市土地也看作一种资本。建立城市建设投资的二级CES生产函数。模型所包含变量和参数的含义如下K:城市的年末固定资产净值价城市非建设固定资产投资年末形成的资产净值凡城市的建设固定资产投资年末形成的资产净值。L:城市的年末社会劳动者人数城市的年末非建设社会劳动者人数,城市的年末建设社会劳动者人数。由以上的具体举例，使我们看到，在我国经济发展的单元中，东部城市群主要是依靠科技进步不断寻求经济快速增长，从它的增长特点上来看，我们可以判定这个经济单元的经济增长方式已经走过了外延式粗放型经济发展模式，现在已经走上了技术密集型依靠内涵挖潜的发展轨道。而中部城市在依靠科技增长的因素也在加大，但与东部相比，还存在着较大差距。与东、中部相比，西部城市科技对经济贡献的比例是最小的。西部城市受资金、技术、环境的影响，在发展上还沿袭着传统做法，就是依靠资本注入和廉价的劳动力来发展经济，所以，他们的发展形态还处于依靠外延扩大再生产阶段。
三、结论
篇13
错误之二：关于需求价格弹性与需求曲线的斜率的关系的论述是一个错误
在西方经济学中，需求价格弹性理论主要包含了两个方面的关系：一是价格变动与收益的关系；二是需求价格弹性与需求曲线的斜率的关系，而关于这两个关系的表述跟实际相去甚远，完全是一个错误。
在《初级西方经济学>（中央广播电视大学出版社“一村一名大学生”计划教材）中，关于“需求价格弹性”的内容这样描述了需求价格弹性与收益间的关系：
需求价格弹性 Ed=需求量的变动速率/价格的变动速率=一Q/Q/P/P=一Q/P*P/Q
即它是一个变动速率相比的值.这里的P代表起始基础价格，P代表纯变动的价格，Q代表对应的起始需求量，Q代表对应的纯变动的需求量，负号是为了将最终数值变为正值。如某商品价格由5元降为4元，需求量由100件增加为130件，则
Ed=—[（130一100）/100]/[（4一5）/5]=0.3/0.2=1.5
第一.当Ed>l时，表明需求量的变动率快于价格的变动率，即需求量对价格的变化反应强烈，称为需求富有弹性。需求曲线斜率为负，其绝对值小于1.如图三个需求函数三角形，图（a）中价格由P1降为P2，需求量从Q1增加到Q2，这时虽然商品价格降低，但由于需求量增加，销售收入PQ增加，即图中矩形B的面积大于矩形A的面积。
第二.Ed=1，表明需求量的变动率等于价格的变动率，即需求和价格以相同的幅度变动，称为需求单一性。需求曲线的斜率为一1.如图中（b），价格由P1降为P2，需求量由Q1增加到Q2，这里的Q2一Q1要小于图（a）中Q2一Q1。这是由于图（b）中需求曲线D的斜率较大（陡峭）所致。但因价格降低引起的销售收入减少正好由因需求量增加而引起的销售收入增加弥补，即图中矩形A的面积和矩形B的面积大体相等。
第三.Ed
一.真实的价格变化与收益的关系是需求函数中的中线、中位线平衡理论
（一）.宏观中线平衡理论
教材上这种论述，把价格降低引起的销售收入减少与需求量增大收入增加之间互抵后得到的“效益、平衡、亏损”结果的规律，归结为“斜率主导下的需求价格弹性”变化的原因，相当于说这个“斜率主导下的需求价格弹性”小于1的商品价格降低不会引起收入的增加，从而使降价没有意义。这很容易使人产生困惑。但实际上这种论述并不符合实际情况，是完全错误的一个概念。
如果我们在教材给予我们的上述三个价格弹性情况图中的任意一个图上移动那两个矩形的对角点，完全都可以作出“效益、平衡、亏损”的结果，从而教材上的理论。如图，我们作出完全相反于教材论述的两个矩形A、B。
那么，价格变化引起的销售收入变化实际遵循着什么样的规律呢？
首先，我们作出一个任意需求函数三角形AOB，我们不去界定它的斜率，OA代表价格，OB为需求量，AB为需求曲线。
作这个三角形的中位线CD，连结OD，这OD即是AOB的中线。我们在OA上取点E作为基础价格，相对应的需求量是OG，此时E点所得到的收入为矩形OEFG。假设价格从E点落到H点，此时的收入为矩形OHIJ。于是得到价格变化前后的收入的减项矩形KHEF和加项矩形KGJI。此时很容易地看出加项面积大于减项面积。（证明见后）
继续让价格从E点降至M点，这点的坐标横线交于基础需求量OG的坐标竖线与三角形中线的交点P，得到收入减项矩形PMEF和加项矩形PGQN，这两个矩形的对角点正是点P，此时减项和增项的面积是相等的，证明如下：
PF∥OA PN//OB
DF/DA=DP/OD=DN/DB （平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例）
又DA=DB
DF=DN AF=NB
所以PD是FPN的中线。
AF=NB、∠EFA=∠B （同位角相等）
RtAEF≌RtNQB
又SAOD=SDOB SFPD=SDPN（三角形的中线分三角形成两个面积相等的三角形）
SOMP=SOGP （矩形对角线定理）
矩形PMEF的面积=矩形PGQN的面积
结论，当价格降低到坐标横线跟起始需求量坐标竖线的交叉点位于这个需求三角形从原点出发的中线上时，正好使减项效益矩形面积和增项效益矩形面积相等，表明价格变化后的收入等于价格变动前的收入，这点为价格变化效益平衡点。
根据这个原理，当这个交叉点落于这条中线的上面时，从增项效益矩形上端总能截出一个小矩形的面积等于减项效益矩形的面积，说明此时增项矩形的面积大于减项矩形的面积，收入是“效益”的。
证明：见上图
当价格从效益平衡点P回升至H点时，得到增项效益矩形KGJI和减项效益矩形KHEF。我们作图找出RtFKI的中线KS，延长SK相交于OA上的V点，从V点作价格横线相交于需求曲线上的T。于是得到与减项矩形KHEF面积相等的矩形KWZI。显然KGJI>KWZI，产生一块剩余“效益”。
同理，我们可以证明，当这个交叉点落于这条中线的下方时，收入是“亏损”的。
其实这个规律，也可用代数的方法加以证明。（见后）
（二）.微观中位线平衡理论
我们再作进一步分析，这条中线的最高点D是该需求三角形中位线CD的端点，它们在价格变化引起的收益变化规律中又有着怎样的意义呢？
实际上，如果参照的起始价格在中位线以上，则需求三角形的这条中位线横切起始价格（基础价格）点到效益平衡点之间距离的一半。
证明：见上图
已知：P是增项矩形PMEF与减项矩形PGQN的效益平衡点，CD是RtAOB的中位线，OD为中线。
求证：LF=LP
AD=OD （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
AOD是等腰三角形
∠A=∠AOD
又GF∥OA
∠GFB=∠A ∠FPD=∠AOD
∠GFB=∠FPD
又LD是RtFLD和RtPLD的共边
RtFLD≌RtPLD
LF=LP
这样，当我们让起始价格以最小精确单位的1/2量对准中位线时，那么这个最小精确单位的末端就正好落在中线上，是价格降低一个最小边际单位时的效益平衡点。假若我们想象让价格的边际变化无限地小下去，那么这个最小单位变化效益平衡点就会无限地接近中线的顶点D，直至纯变动价格为0，起始价格与变化后价格和平衡点与D点重合。所以我们可以将中线的顶点暨中位线的端点D作为最微小边际变化效益平衡点，同时将中位线即它所表示的价格线作为价格变化时产生“效益”和“亏损”的最微观边际变化分界线。在这条分界线的上端是微观边际价格变化的效益区，在下端是微观边际变化的亏损区。当价格变化的幅度横跨这个微观分界线时，那么分界线以下的“亏损”幅度抵销分界线以上等幅度的“效益”，平衡点下移。所以，当变化价格到达这条中位线时得到的总“效益”最大。
（三）.中线、中位线平衡理论的代数数学模型
我们再用代数的方法对上面的理论规律加以揭示和证明，从而建立起价格变动与收益关系的数学模型。
见图：
这是一个任意的直线需求函数三角形，b是初始基础价格，a是它对应的初始需求量，y是价格的变动数值，c是变动后的价格等于（b—y），x是需求量的变动数值，减项效益矩形面积S1=ay，增项效益矩形面积S2=x（b-y），求Sl和S2之间的关系。
解：y与x分别是矩形A和B的边长共同组成RtFGH，根据三角函数关系有y=—kx，于是有ay/a=—kx（b—y）/（b—y）
用S1、S2替换得，S1/a=（—S2k）/（b—y）
化简得：S1=—S2* ak/（b-y） S1=S2* ak/（y-b）
所以，当ak/（y—b）=1 即—c/a=K时，S1=S2，它是价格变动时效益增减平衡的条件，此时两个效益矩形的对角点在需求函数三角形的中线上，ak/（y—b）是两个矩形面积差值大小的根源。
符合ak/（y—b）=1 即—c/a=K的条件时，正是价格变动线到达增减效益平衡点，此时y-b=—c，a与c组成的RtDOE与需求函数三角形AON相似，c/a=OA/ON=—k 。（证明略）
S1=S2·ak/（y—b），这是减项效益矩形面积和增项效益矩形面积之间的函数关系，是正比例函数关系，即两者的变化方向是一致的。它俩之间的大小差值受系数ak/（y—b）的变化影响。
当ak/（y—b）≠1即c/a≠|K|时的情况：
一.当ak/（y—b）|K|时，S1
我们沿着ak/（y—b）的值从小到大的方向分析。
（l）.由于k在题中即同一个需求函数中是己确定的项，我们先将a、b作为一对一定的起始基础数，然后分析价格的变动数y对效益增减矩形面积大小变化的影响，所以此时y的大小变化是引起S1和S2差值的唯一要素。
当价格从高向低变动时，变动数y的数值逐步加大，而y本身是一个小于b的数，导致y—b的差的绝对值越来越小，从而使ak/（y—b）的值越来越大，带动S1向着大于S2的方向发展，即总收入向着“不效益”的方向发展。
y值是价格变动的幅度，当它的值为最小单位时属于最小边际变化，此时ak/（y—b）的值最小，从而使S1大于S2的差值最小。边际变化上这种增减差值的大小同样受其它要素变化的影响，在不同斜率的需求函数或同一个函数三角形里的不同区域都不相同。
（2）.我们再改变起始价格和相应需求量数值a、b，分析它俩的变化对ak/（y—b）的影响。
a、b是需求函数关系的一对对应值，是捆绑在一起的，一方的变化引起另一方的被动变化。当a增大时b减小，而这个反向变化正好使ak/（y—b）的值增大，从而引起S1相对于S2的增大，使结果向着“不效益”的方向发展。这说明，起始基础价格越低，降价引起的结果越“不效益”。
当a和c作边长组成最大面积的满足平衡条件—c/a=K的矩形，也即当y以可想象的最小微观数值与相匹配的b的数值（b的减小同时是a的增大）同时满足效益平衡条件ak/（y—b）=1时，此时y对应的相匹配的基础价格b和变化后的价格c都无限接近了需求函数三角形的中位线；当y小至0时，两个价格在中位线上重合。这时效益平衡条件公式ak/（y—b）=l成为“—b/a=k”，它是最微观边际价格变化效益平衡条件，—b/a是微观边际价格变化中增减效益差值的根源（而这正是需求价格弹性Ed=l的条件P/Q=—K.见下述第二章）。此时b代表的价格坐标线是中位线，这点以上所有的价格边际变化都是“效益”的，这个价格时总效益最大。当有一方价格向下越过这个平衡线时，便有最微观的“不效益”存在，总“变动效益”的最大化开始减少。这与上一节的微观中位线理论是一致的.
二.当ak/（y—b）>1即c/aS2。
此时价格变动引起的收益的变化方向同上，只不过结果是“亏损”的。
（证明略）
我们可以这样说：
在每一个直线需求函数里，不管它的斜率如何，只要起始基础价格在这个函数的价格微观变化效益平衡线即这个需求函数三角形的中位线以上，那么就有价格降低时的“效益”空间；即使一个需求函数具有较小的斜率，但起始价格处在这条平衡线以下时依然失去价格变动“效益”。这条需求函数三角形的中位线是价格微观最小边际变动效益平衡分界线，这条线以上价格微观最小边际变动是“效益”的，这条线以下价格微观最小边际变化是“亏损的”，这条线表示的变化价格得到的总“效益”最大。价格从高向低变化，边际从高“效益”向着“不效益”的方向前进，到达这条平衡线时达到平衡，最微观“效益”归零。变化价格跨过这条线继续前进，微观边际变化开始“亏损”。当变化价格的幅度大于最小边际变化时，平衡点沿中线方向下落，中位线两边等距离上的最小边际变化的“效益”和“亏损”互相抵消，平衡点位于从原点出发的该需求三角形的中线上，这条中线是宏观的价格变化效益平衡线，平衡线的两边价格变化引起的收益增项和减项相等，原效益不变。平衡点在这条平衡线以上时，宏观上总收入“效益”；平衡点在这条平衡线以下时，宏观上总收入“亏损”。这种关系的代数数学模型是：“当ak/（y—b）=l即—c/a=K时，S减=S增”它是宏观价格变动时效益增减平衡的条件，ak/（y—b）是宏观价格变动效益增减差值的根源；“—b/a=k”是最微观边际价格变化效益平衡条件，“—b/a”是最微观价格变动效益差值的根源.
二，真实的需求价格弹性的变化规律
教材上的这种论述，把需求价格弹性定义值的大小与需求函数的斜率的变化统一起来，即
Ed>1时，|K|
其实，这是一种学术性错误，并不符合真实情况。
我们看教材西方经济学给予我们的需求价格弹性的定义公式和例题：
Ed=—Q/Q/P/P= —Q/P*P/Q
有商品价格从5元降至4元，需求量则从100件增为130件。则
Ed=[（130—100）/100]/[（4—5）/5]=一0.3/（—0.2）=1.5
（见图示，价格从P1降为P2）
我们看出例题中的—Q/P正是RtA1BA2的两直角边的比，Q=A2B P=—A1B，—A1B/A2B正是该需求曲线d的斜率K（负值），并且在同一个直线需求函数里无论价格怎样变化它的值是不变的，
于是：Q/P=1/K（注意：Q/P定义为负值）
从而需求价格弹性公式变为：Ed=—（1/K）*（P/Q）
这说明，在同一个直线需求函数p=KQ+b中，由于斜率K的值是固定的，所以Q/P=l/K的值也是固定的，这时的需求价格弹性Ed的值取决于P/Q的大小.而P/Q又是一个什么样的数值呢？
西方经济学中把P/Q定义为价格变动中那个参照相比较的原来的价格和需求量的比，即图中矩形OP1A1Q1高与宽的比，但是在价格逐次变动的过程中，这个数值可以不断地被修正，即图中的P1/Q1可以换成OP2/OQ2、OP3/OQ3、0P4/OQ4、……，处在变化的后面的价格和对应需求量总是可以把处在前面的价格和对应需求量作为起始参照。另外，我们从图中看到随着被选定的起始参照价格的向下变动，P/Q的比值不断地被变小，即由价格P和需求量Q组成的矩形的高不断的减小，而这宽则不断地增长，从而引起需求价格弹性Ed的值向着减小的方向发展。
可见，所谓需求函数斜率K决定需求价格弹性Ed的大小的论述是完全错误的。例：
如图，我们作一个斜率为—1的需求函数与坐标构成两直角边相等的RtAOB。
当P=5时，Q=1 （参照的原来价格和对应需求量）
当P=4时，Q=2 （变动后价格和对应需求量）
按照西方经济学上的需求价格弹性公式，则
Ed=—Q/Q/P/P=—[（2—1）/1]/[（4—5）/5]=5
但按照《初级西方经济学》教材上的需求价格弹性理论这时应当是“当K=—l时，Ed=l”。显然，公式得Ed≠理论Ed。这是自相矛盾的。
这就是说，即使在斜率一定的同一个直线需求函数里，每一个价格面对的P/Q的值都是可以变化而不一样的，选定的基础价格变化从而引起需求价格弹性的改变；当选定的参照起始价格不变时，即使价格变动需求价格弹性的值也不变，需求价格弹性是每一个价格所在函数中的位置本身具有的特性。所以斜率K不能决定需求函数的需求价格弹性。
价格变动过程中，选定的参照起始价格和对应需求量的变动，是客观存在的，而不变是我们人为的按排，实际上微观的边际上是不断在变化着的。从图示5中可以看出，随着选定的价格从高至低变动，P/Q的比值不断地被变小，从而引起需求价格弹性Ed的值向着减小的方向发展，当选定的价格到达该函数的中位线的C点时，正好使P/Q=OE/OC=CD/AC=-K，，这时Ed=l。这种变化分为三个阶段：（这个变化规律也正好符合需求价格弹性公式的推理）
当P/Q>|K|时，Ed>1，P在中位线以上。
当P/Q=—K时，Ed=l，P在中位线。
当P/Q
需求价格弹性的这个规律正是第一章第三节中的最微观价格变动效益平衡条件的变化规律，所以说需求价格弹性就是最微观的边际价格变动中的收益。
这个过程是选定的参照起始价格的变化引发的，而不是K的变化引起的，相反K的变化并不引起需求价格弹性的这种变化，论证见后。———（本论文里在没有声明时，所讲全指直线需求函数）。
三.需求价格弹性是最微观价格边际变化时收益增减关系的系数的倒数
在同一个直线需求函数中，需求价格弹性Ed的值是由参照的起始价格P的变化引起的，那么这种需求价格弹性变化的规律跟价格变化中收益的“效益、平衡、亏损”有着怎样的联系呢？
如（图示7）
已知：当P/Q=—K时，Ed=l
即图中P1/Q1=—K.也就是矩形OP1DˊQ1的OP1/OQ1=—K
求证：此时价格P1的坐标线P1Dˊ与中位线CD重合.
证明：连接P1Q1
OP1/OQ1=AO/OB=AP1/P1Dˊ=—K（斜率都相等）
RtP1OQ1∽RtAOB∽RtAP1Dˊ
∠OP1Q1=∠A
又P1D=OQ1
RtAP1Dˊ≌RtP1OQ1，
AP1=P1O即P1的坐标横线P1Dˊ与中位线CD重合，
这说明，需求弹性Ed=l 即P/Q=—K时，P正好落在中位线上，这也已经在上一章中进行了反面证明。上一章所述的需求价格弹性的变化规律正好与已述的“价格变化与收益的关系”中的中线、中位线理论相一致。为什么会是这样一个结果？我们从需求价格弹性公式和第一章三节里的数学模型得到答案：
“需求价格弹性Ed=—Q/P*P/Q和效益增减函数Sl=S2·ak/（y-b）”
已知两者的变形为Ed=—1/K*P/Q和S1=S2*[a/（y—b）]*k。当y=0时，[a/（y—b）]*k变为（-a/b）*k。因为a=Q，b=P，（只是表述时用的字母不同而已），所以（-a/b）*k=-Q/P*k，=-K*Q/P。由此我们看出需求价格弹性公式的“—1/K*P/Q”正好是当y=0时的效益增减函数的系数“（-a/b）*k”的倒数。而y=0时的“（-a/b）*k”表示的是选定的起始价格本身的属性，也是相当于变动价格y以可想象到的最小微观变化时的效益的变化结果。（-a/b）*k=1即—b/a=k时，b位于中位线上，它是最微观边际价格变化效益平衡条件，（-a/b）*k值的大小决定着宏观增减效益平衡条件ak/（y—b）=l时变动价格y的大小位置。同理，（-a/b）*k所影响的方面也正是需求价格弹性Ed=一Q/P*P/Q=—1/K*P/Q所能影响到的方面，只是因为两者是倒数关系所以影响力的方向是相反的，需求价格弹性影响力的方向相同于效益运动的方向。
所以可以说，需求价格弹性是最微观上的效益增减关系的系数的倒数，它制约着价格变动时效益增减的方向，制约着宏观效益增减关系平衡时的价格的位置。
四.需求价格弹性是最微观的边际价格变动中的收益
第二章中的需求价格弹性的平衡条件公式“P/Q=—K”跟第一章三节中的微观边际价格变化收益平衡公式“—b/a=k”是一样的，“—b/a=k”变形为"b/a=—k”，b/a就是这里的P/Q。所以需求价格弹性就是最微观的边际价格变动中的收益，还因为“需求价格弹性是最微观收益增减关系的系数的倒数”，所以需求价格弹性的变化方向相同于价格变动中收益的变化方向，需求价格弹性的变化规律就是价格变动中收益的最微观的变化规律。
由于在同一个直线需求函数中，需求价格弹性随参照价格本身的变动而变动，所以在同一个直线函数中价格变动中收益的“效益、平衡、亏损”也是随参照的价格的位置变化而变化的，这是我们能够在《初级西方经济学》给予我们的三种类型斜率的三角形中作出相反于书中结论的两个收益矩形的原因。最微观边际上的收益是随变动价格的变动而随时变动的，这个微观的边际收益变化就是变动的价格本身所具有的需求价格弹性，所以只要有价格变动就有微观上的收益变化。———《初级西方经济学》中把价格变动中收益的“效益、平衡、亏损"情况单一化固定
在某一类斜率的需求函数里的理论是非常错误的。
在同一个直线需求函数中，即斜率K不变的情况下，随着价格从高向低的变化，边际需求价格弹性逐渐减小，同时边际价格变动收益也向着“不效益”的方向前进。当价格到达需求函数三角形的中位线时，边际需求价格弹性的值为1，同时边际价格最微观变动“效益”归零，总效益达到最大化。这条中位线是价格变化中的最大收入效益线。价格向下跨过这条中位线后，边际需求价格弹性的值小于1，价格微观边际变化收益开始“亏损”。用公式表示如下：
当P/Q>|K|时， Ed>l P在中位线以上边际价格变化收益“效益”
当P/Q=—K时， Ed=l P在中位线上边际价格变化收益平衡，总效益最大。
当P/Q
这一规律与第一章三节里价格变动时效益增减平衡的条件“当ak/（y—b）=1即—c/a=K时，S1=S2”是统一的，只不过需求价格弹性本身表示的是最微观价格边际变化中收益的变化情况，而平衡条件表示的是宏观的价格变化情况。
五.斜率的变化对需求价格弹性和收益的影响
《初级西方经济学》教材中把斜率的变化说成是制约需求价格弹性和价格变化中收益变化规律的决定因素，把三者强扭成一体，我们用相互印证的不同的方法进行了否定。那么，斜率的变化到底对需求价格弹性和价格变动中的收益有什么影响呢？
（一）斜率的变化对需求价格弹性的影响
见（图示8），这是两个仅有斜率不同的直线需求函数，需求三角形AOB和三角形AOC，当参照价格为P时，它们各自的需求价格弹性为：
Ed1=—1/K1*P/Q1=OB/OA*P/Q1=OB/Q1*P/OA
Ed2=—1/K2*P/Q2=OC/OA*P/Q2=OC/Q2*P/OA
APD∽AOB PD/OB=AP/AO
APE∽AOC PE/OC=AP/AO PD/OB=PE/OC=AP/AO
PD=Q1 PE=Q2 Q1/OB=Q2/OC OB/Q1=OC/Q2
Ed1=Ed2
这证明，截距一致，仅有斜率不同的两个直线需求函数，在同一价格下它们的需求价格弹性是相等的，也可以说仅有斜率的变化并不改变直线需求函数中需求价格弹性的大小，这再一次证明了西方经济学中把需求价格弹性大小说成是斜率的原因的理论是非常错误的。
（二）.斜率的变化对价格变动中收益的影响
见图：
这是两个仅有斜率不同的直线需求函数，价格从H点降至效益平衡点I点，即两个效益增减矩形的对角点在需求三角形AOB的中线上。那么，因斜率改变成为第二个需求三角形AOE后效益平衡会被打破吗？根据第一章中所述价格变动收益增减平衡条件“当ak/（—b）=l即c/a=—K时， S1=S2”，这里它们各自的价格变动收益平衡的条件是：
（l）.需求函数三角形AOB的增减平衡条件是，—K1=c/a=OA/OB，
（2）.需求函数三角形AOE的增减平衡条件是，—K2=c/（a+d）=OA/（OB+BE）。（是否成立待证明）
求证：—K2=c/（a+d）=OA/（OB+BE）成立。
证明：c/a=OA/OB
在c/（a+d）=OA/（OB+BE）中只要证明d/a=BE/OB，则它就能够成立。
d/a=BE/OB变形得OB/a=BE/d
AHF∽AOB
HF/OB=AF/AB
AFG∽ABE
FG/BE=AF/AB
HF/OB=FG/BE=AF/AB
a=HF.d=FG
a/OB=d/BE
OB/a=BE/d， d/a=BE/OB
—K2=c/（a+d）=OA/（OB+BE）成立。
其实，通过作图也已经得到，斜率由K1变成K2后效益增减矩形的对角点依然在新的需求三角形的平衡线上，即中线上。这说明，由于需求价格弹性没有因斜率改变而变化，所以在中位线上的效益平衡更不会打破，实际上两者的中位线也是重合的，只是中线向右下方发生了移位，增加了总效益的值域。但从S1=S2·ak/（y—b）中可以看明白，除了在平衡点上效益平衡不变外，在不均衡区域系数“ak/（y—b）”的值虽然不变，但由于在相同的变动价格上，S1与S2的基础数值会同时加大，从而它们之间的差值变大，但这个差值在平衡线的两边所前进的方向是不一样的，平衡线以上是“增益”的方向，而平衡线以下是“减益”的方向。
这就是说，斜率的改变不会打破价格变动中收益的中线、中位线平衡理论规律，不会打破原有的增减平衡。在不均衡区域，随着斜率绝对值的减小在相同价格下会改变原有的价格变动中收益数值大小，变动价格在平衡点以上会“增益”，在平衡点以下会“减益”。同时斜率的减小使相同价格下的静态效益增加。——注意：价格变动中的收益是指动态的相比较下的“增益”还是“减益”，而静态效益是指一定价格下的实际收益，两者是完全不同的两个概念。
（三）.西方经济学中的需求价格弹性理论相近于曲线需求函数
如图：
根据需求价格弹性定义公式，西方经济学中的需求价格弹性理论相近于图示10中的曲线需求函数，但这种函数价格变动的过程里仍然包含着我们以上论证的理论规律，西方经济学需求价格弹性理论仍然不能涵盖它价格变动时的实质。我们不再在此分析此类需求函数价格变动时的各方面关系。总之，西方经济学中的需求价格弹性理论是经不住推敲的，非常偏面和狭獈。
六.需求价格弹性理论在实际产品定价中的应用
利润最大化价格=收益最大化价格+成本价格/2
我们已经知道直线需求函数三角形的中位线代表的是最大总收益价格线，此时P/Q=—K，Ed=1，但因为有成本的因素在里面，此时的最大总收益并不等于最大总利润，它还不是人们所追求的利润最大化价格线，现实中人们总是随着产品在市场上的竞争情况有意识或无意识地按着利润最大化的原则对产品进行定价。只有在去除了成本因素后所得到的最大总收益价格才是最大总利润的价格。如图：
需求函数三角形AOB，下面的阴影部分是成本区域，P1D1是它的中位线也是最大总收益价格线。上方的空白三角形AOˊBˊ才是利润价格需求函数三角形，这个三角形里的需求利润价格弹性依然遵循着中线、中位线平衡规律，所以它的中位线P2D2表示的价格P2才是总利润最大化价格。显然，
最大总利润价格=最大总收益价格+成本价格/2
此时，（P-Oˊ）/Q=-K （Oˊ代表成本价格，P代表销售价格，Q代表P对应的需求量）
七，总结
在同一个直线需求函数里：
一.中位线规律就是需求价格弹性的规律，是最微观的价格边际变动中的收益的规律。公式表达为：
当P/Q>|K|时，Ed>1 P在中位线以上，微观边际价格变化收益“效益”
当P/Q=—K时，Ed=l P在中位线上，微观边际价格变化收益平衡，此时总收益最大。
当P/Q
二.中线规律就是宏观的价格变动中收益变化的规律，是需求价格弹性在宏观上的表现，公式表达为：
当ak/（y—b）=l即—c/a=K时，S减=S增 平衡点在中线，宏观上收益平衡。
当ak/（y—b）|K|时，S减
当ak/（y—b）>1 即c/aS增 平衡点在中线以下，宏观上收益“亏损”。
三.截距相等，仅有斜率不同的两个直线需求函数，在同一价格下它们的需求价格弹性是相等的。需求价格弹性是价格在函数截距上的位置本身所具有的特性，与该函数的斜率无关.每一个直线需求函数都包含需求价格弹性变化的三个阶段，同时也导致每一个直线需求函数里都包含“效益、平衡、亏损”三个区域即上述“一线两区域”。
四.斜率变化对收益的影响（见上述）。
篇14
[关键词] 经济学 数学模型 最优价格
一、引言
建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与工作者掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。将数学方法应用到实际问题中时，往往首先是把这个问题的内在规律用数字、图表或者公式、符号表示出来，然后经过数学的处理得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策或者控制，这个过程实际上就是一个建立数学模型的过程。数学和经济的联系是十分紧密的，而对数学的应用往往要通过数学模型。下面的最优价格模型是我们经济学中比较经典的一个数学模型，从中也可以看出数学模型的建立对经济学有很重要的意义。
二、最优价格模型
1.模型假设:最优价格，简单的说就是使商家或企业获得最大利润的产品的价格。对于最优价格的问题，应该是每个企业关注的。如果一个厂长有权根据产品成本和销售情况制定商品价格的话，他当然会寻求能使工厂利润最大的所谓最优价格。本文所讨论的最优价格模型，是指在产销平衡状态下的模型，这里的产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。为了模型的更加合理性，这里假设产品的销售量依赖于产品的价格，产品的成本与产品的产量也是相关联的。
2.模型建立:利润是销售收入与生产支出之差。假设每件产品售价为p,成本为q,销售量为x（与产量相等），总收入与总支出分别是I和C,则可以得到
I=px（1）
C=qx (2）
另外，我们知道在市场竞争的情况下销售量x依赖于价格p，因此销售量应该是价格的函数，记作
x=f(p) （3）
这里f称为需求函数，是p的减函数。
我们再考虑成本与产品数量的关系。通常情况下，成本是随着产品的数量逐渐降低的，因此可以认为产品的成本是产品数量的函数，记作
q=Q(x) （4）
其中,我们把Q叫做成本函数,是x的减函数。
这样,x和q都可以由p来确定。可以得到销售收入和生产支出C都是价格p的函数,设利润为U,则可以表示为
U(p)=I(p)-C(p) （5）
其中，I(p)=px=pf(p)，C(p)=qx=Q(x)x=Q(f(p))f(p)。
使利润U达到最大的价格就是最优价格。设最优价格为p*,那么可以得到当dU/dp=0时p的值即为p*。即有dU/dp=dU/dp,当p=p*时。
我们把dI/dp称为边际收入（价格变动一个单位时收入的改变量）,dC/dp称为边际支出（价格变动一个单位时的支出的改变量）。上式表明,最大利润是在边际收入等于边际支出时达到的。
为了得到进一步的结果，本文假设出需求函数和成本函数的具体形式。设需求函数是简单的线性函数
f(p)=abp a,b>0 (6）
其中,a可以理解为这种产品免费供应(p=0）社会的需求量,称为“绝对需求量”。b表示价格上涨一个单位时销售量下降的幅度（当然也是价格下跌一个单位时销售量上升的幅度）,它反映市场需求对价格的敏感程度。
设成本函数为Q(x)=m+1/(tx+n)m，t，n>0（7）
其中，m表示产品的最底成本，t表示产品数量增加或减少带来的幅度，n调节常数，即产品的最大成本为(m+1/n）。
将(1)～(3)和(6），(7)带入(4)式可得
U(p)=I(p)-C(p)=pf(p)-Q(f(p))f(p)
=(a-bp)[p-m-1/(ta+n-tbp)]（8）
用微分的方法可以求出使U(p)最大的最优价格。由dU/dp=0式和(8)式可以得到btp-(2btn+2abt+btm)p+(n+2atn+at+2abtm+2btmn)p-m(n+ta)n=0(9）
这是一个关于p的三次方程,对于实际问题,当得到a、b、m、n、t的数值带到(9)式中,再用相应的数学方法求出p*。在实际的工作之中,a和b可以由价格p和销售量x的统计数据用最小二乘法拟合来确定。m和n实际上是已知的常数，t也是根据产量的多少可以得出的。对于(9)式的求解在有些时候可能不容易得到精确的数值,我们可以根据实际情况得到具有一定精度的近似值。
三、总结
除了上述最优价格模型，经济学中的弹性理论，金融工程中的期货期权理论，最优化和影子价格都是经济和数学的完美结合，数学模型为经济学的研究开辟了一条宽阔的大路，同时也使经济学从定性研究向定量研究转化，更加具有理性和发散思维，正是数学和经济学的结合为社会科学的发展增加了动力，也为社会创造了很大的物质财富，相信数学模型这个工具将来会给经济学更广阔的发展空间。
参考文献:
[1]高鸿业:西方经济学[M].北京:中国人民大学出版社,2004
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