三角函数值规律精选(十四篇)

序言：作为思想的载体和知识的探索者，写作是一种独特的艺术，我们为您准备了不同风格的14篇三角函数值规律，期待它们能激发您的灵感。

篇1

关键词：直角三角形；边角关系

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）04-244-01

直角三角形的边角关系，在现实世界中应用非常广泛。而锐角的三角函数在解决实际问题中有着重要的作用，如测量距离、角度、高度等问题，特殊角30度、45度、60度角的三角函数值也是经常用到的，但许多学生在应用这些特殊角的三角函数值解决问题时，却总是出现记忆不牢靠或者张冠李戴的现象，如何让学生牢固并熟练掌握这些特殊角的三角函数值呢？我觉得可以从以下几个方面去加强。

一、引入图形，让学生建立清晰的第一印象

由于含30度、45度、60度的直角三角形三边之间有着特殊比例关系，因此，教学时为了便于学生理解和记忆，可以根据含这些特殊角的三角形的边角之间的关系，画出相应的图形，如30度角所对的直角边，所临的直角边，斜边之比为1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三边之比为1∶1∶√2，让学生自己独立完成这几个特殊角的三角函数值的求值过程，学生根据定义，便可得到各角的三角函数值，学生经历了特殊角的三角函数值的求值过程，由于图形的直观作用，必然会产生清晰的第一印象，方便了记忆。

二、利用三角函数的增减规律进行记忆

在直角三角形中，当锐角的度数一旦确定，它对应的正弦值、余弦值、正切值也随之确定，当锐角的度数发生变化，它的正弦值、余弦值、正切值也随之发生变化，为了帮助学生探索并理解随着锐角度数的增大或减小，它对应的正弦值、余弦值、正切值变化的规律，可设计有公共锐角顶点且一直角边有重叠，以及斜边相等的一系列直角三角形，通过图形，学生会直观的感受到，当锐角的度数逐渐增大，它所对的直角边也随之增大，它所邻的直角边则随之减小，所以会很自然地得出结论，正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，正切值随锐角的增大而增大，用锐角三角函数的增减性，学生记忆这几个特殊角的三角函数值就会容易许多。

三、寻找数字规律巧妙记忆

在记忆30度、45度、60度角的三角函数值时，可引导学生通过比较，寻找数字规律，巧妙记忆，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次对应为：1即√1，√2，√3，而余弦值分子则分别是√3，√2，√1即1，分母也都是2。

四、利用互余两角正弦和余弦之间的关系，及同角三角函数之间的关系，通过比较与联系记忆。

篇2

1. 概念理解不透彻

例1 在RtABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的三角函数值（ ）.

A. 都扩大3倍 B. 都扩大4倍

C. 不能确定 D. 没有变化

【错解】A.

【分析】三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似，所以直角边与斜边或直角边与直角边的比值不变. 错解没有真正理解三角函数的概念.

【正解】D. 三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值，大小只与角的度数有关，与边的大小无关.

2. 忽视求三角函数的限制条件

例2 （2012・江西内江）如图1，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】在本题的解答过程中，根据sinA=，部分同学会错误地得出sinA=，导致结果与选项不符，要么随便选一个，降低了正确率，要么开始重新审题，浪费了宝贵的考试时间. 这个错误的根源在于没有真正理解正弦的概念，没有掌握锐角三角函数的使用条件：在直角三角形中. 因此本题需先寻找∠A所在的直角三角形，而图中∠A所在的ABC并不是直角三角形，这就需要添加辅助线，构造直角三角形. 如图1，连接CD，得到CDAB，sinA===.

在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高（形内或者形外）构造直角三角形.

3. 忽视分类讨论

例3 RtABC的两条边分别是6和8，求其最小角的正弦值.

【错解】6和8是直角三角形的两边，斜边是10，最小角的正弦值是.

【分析】已知条件中并没有指明6和8是两条直角边，所以本题应分两种情况：

（1） 6和8是两条直角边；

（2） 6是直角边，8是斜边.

很多同学错在忽视了第2种情况.

【正解】当6和8是两条直角边时，斜边是10，所以最小角的正弦值是.

当6是直角边，8是斜边时，则另一直角边是=2，所以最小角的正弦值是=. 综上可知，最小角的正弦值是或.

4. 忽视锐角三角函数的范围

例4 已知α为锐角，4tan2α-3=0，求tanα.

【错解】4tan2α-3=0，tan2α=，

tanα=±.

【分析】锐角三角函数值等于相应直角三角形的边的比，所以tanα>0.

【正解】4tan2α-3=0，tan2α=，tanα=

±. tanα>0，tanα=.

锐角三角函数值都是正数，在求解时不能忘记.

5. 混淆特殊角三角函数值的变化规律

例5 锐角α满足

A. 30°

C. 45°

【错解】A.

【分析】正弦值与正切值都随锐角度数的增大而增大，而余弦值是随锐角度数的增大而减小. 本题错在没有准确掌握特殊角的三角函数，将特殊角的三角函数值张冠李戴，混淆了锐角的正弦值、余弦值的变化规律.

【正解】cos60°=，cos45°=，又余弦值随锐角度数的增大而减小，cos60°

在锐角范围内，正弦与正切可以看成是单调递增函数，即度数大三角函数值就大；而余弦正好相反.

6. 主观臆断

例6 在RtABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin=______.

【错解】sinA===，

sin=.

【分析】本题错在将∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，两者显然不等. 如sin60°=，而sin30°=. 本题正确的解法是先求出∠A的度数，然后再求其正弦值.

【正解】sinA===，

∠A=60°，∠A=30°. sin=.

求一个角一半的三角函数值，应先求出这个角的度数，然后再求其三角函数值，一定不能用三角函数值的一半作为角的一半的三角函数值.

篇3

【关键词】三角函数 教材分析 教学建议

在学习三角函数之前，学生已经学习了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数，对函数有了一定的认识。三角函数是学生遇到的第一个周期性函数，是中等教育阶段最后一个基本初等函数。学完本章以后，学生应对函数的一般内容，如函数符号、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等建立更完整的认识。

初中数学教学中已有锐角的三角函数的概念，但没有将其作为一种函数来教学，关注的只是三角函数值，主要利用锐角三角函数的定义解决直角三角形中有关边角的问题。到了中职教育阶段，需要从函数的角度来认识三角函数，落实大纲中与三角函数部分相关的教学内容与要求。

本章首先对角的概念进行推广，并通过弧度制对角的度量建立角与实数之间的一一对应关系，为学生理解三角函数是以实数为自变量的函数奠定基础；为了角的概念推广的需要，把角放到平面直角坐标系中进行研究，不仅建立了角的大小与终边位置的关系，而且通过角的终边上的点的坐标来定义任意角的三角函数，并利用角的终边上点的坐标的正负直观性，判断三角函数值的符号，得到特殊角的三角函数值，建立同角三角函数的两个基本关系式以及诱导公式；借助三角函数图像以及诱导公式帮助学生从“形”与“数”两方面理解正弦函数、余弦函数的变化规律；最后利用计算器及诱导公式，能由已知三角函数值求出指定范围的角。

本章内容分为五个部分：角的概念推广，弧度制，任意角三角函数的概念及相关公式，正弦函数、余弦函数的图像与性质，已知三角函数值求角。

《中等职业学校数学教学大纲》建议本章设置18课时，其中新授部分16课时，复习部分2课时。

《大纲》对本章知识内容的学习要求包括：4项“了解”（角的概念推广、诱导公式、余弦函数的图像和性质、已知三角函数值求指定范围内的角）；4项“理解”（弧度制，任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数，同角三角函数基本关系式，正弦函数的图像和性质）；2项“掌握”（利用计算器求三角函数值及利用计算器求角度）。

本章可看作是第三章（函数）的延伸和拓展，在教学中要注意让学生体会三角函数与一般函数之间的关系，即个性与共性之间的关系。同时，在本章的教学中，要特别注意数学思想方法的渗透，如突出“数形结合”的思想方法。由于三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，所以教学中既要“以形助数”，突出几何直观帮助学生理解抽象概念，又要“以数助形”，通过代数性质反映图像的变化规律。再如，由锐角的三角函数值到任意角的三角函数值，三角函数图像上一点的作法到一个周期内的图像上的画法乃至整个定义域上的图像的画法等都遵循了由特殊到一般的思维方法。学好余弦函数的图像和性质的最有效的方法是与正弦函数的图像和性质进行类比。

下面，笔者对本章的教学内容，从学习准备、教学探究、教学过程及例题处理等方面，分节给出教学建议。

一、5.1角的概念推广（2课时）

在学习了角概念的基础上，本节的学习将进行角的概念推广。在初中，角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形，角的范围是0°～360°。

为了研究的方便，常将角放在平面直角坐标系中，一般将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与X轴的正半轴重合。这样对所有的角来说，角的顶点、始边是相同的，区别仅在终边，而终边的位置就决定了它是哪个象限的角。

锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角；钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角。

由“问题解决”可归纳出一般的结论：

若α是第一象限角，则α/2是第一或第三象限角；若α是第二象限角，则α/2是第一或第三象限角；若α是第三象限角，则α/2是第二或第四象限角；若α是第四象限角，则α/2是第二或第四象限角。

二、5.2弧度制（1课时）

本节的学习是在初中学习的角度制基础上进行的。首先要引导学生回顾角度制的规定：一个周角的1/360叫做一度。

在此基础上通过多种形式的教学活动使学生理解：弧度制是一种新的度量角的单位制。一个角的弧度数就是这个角（以角的顶点为圆心，任意长为半径的圆的圆心角）所对弧的长度与半径的比值，关键是要掌握弧度与角度换算的基本关系式：360°=2π（rad）或180°=π（rad）。

三、5.3任意角的三角函数（2课时）

本节的学习是在初中角的正弦函数、余弦函数、正切函数等概念的基础上进行的。在初中，学生是通过直角三角形边的比值来规定角的三角函数值：对于一个直角三角形的锐角，其正弦值为对边与斜边的比值，余弦值为邻边与斜边的比值，正切值为对边与邻边的比值。现在对任意角，分别用三个比值y/r、x/r、y/x来规定，它们都只与角的终边所在位置有关，而与点P在角的终边上的具置无关。

从“问题解决”中，我们可以得出结论：

一个角的终边与单位圆交点的纵坐标就等于这个角的正弦；与单位圆交点的横坐标就等于这个角的余弦；与单位圆交点的纵坐标与横坐标的比值就等于这个角的正切。

由讨论可知，对于任意角α，它的正弦、余弦都有意义（因为r>0），但正切不同（因为tanα=y/x，x有可能为0），只有当x≠0，即角α的终边不在y轴上才有意义。因此，正弦函数、余弦函数的定义域都是R，正切函数的定义域是{α|α≠π/2+kπ，k∈Z}。

要确定角α的三个三角函数值的符号，关键还应从任意角的三角函数的定义出发，结合图形更容易掌握。

四、5.4同角三角函数的基本关系（2课时）

本教材是利用单位圆导出同角三角函数基本关系的：角α的终边与单位圆的交点的纵坐标就等于sinα，横坐标就等于cosα。由此就能得到sin2α+cos2α=1（称为平方关系）；再由正切的定义tanα=y/x，就可得到sinα/cosα=cosα（称为商数关系）。

由两个基本关系式可知，一个角的正弦、余弦、正切函数值之间是相互关联的。因此，已知一个角的一个三角函数值，就可利用基本关系式求出其余两个三角函数值。

学习了同角三角函数的基本关系后，除了可以解决已知一个角的某个三角函数值求其余三角函数值，还可以对三角函数式进行化简。要启发学生在解题的基础上讨论并总结化简的原则。

五、5.5三角函数的诱导公式（2课时）

根据终边相同的角的同名三角函数值相等，就能得到诱导公式1；根据单位圆上点的坐标及对称关系，就能得到诱导公式2、诱导公式3、诱导公式4。

要掌握三角函数的诱导公式，关键是要掌握公式2、3、4的特点：函数名称不变，至于正负号，可以通过特殊化的办法来确定。既然公式对任意角α都成立，那么，当α是锐角时当然也成立。当α是锐角时，-α为第四象限角，其正弦、正切值为负，余弦值为正，因此，-α的正弦、余弦、正切就分别为-sinα、cosα和-tanα。公式3、4也是如此。

用诱导公式可以把任意角的三角函数值化为[0，π/2]内的角的三角函数值，正确地化角和正确地运用诱导公式是关键。

由“问题解决”可知，诱导公式之间是有联系的。如对于sin（π+α），我们可以作如下转化：

sin（π+α）=sin[π-（-α）]=sin（-α）=-sinα.

分析例4时要引导学生回顾：判断一个函数的奇偶性，一般都是从定义出发。在确认了定义域关于原点对称后，接着就考察f（-x）的结果等于f（x）还是-f（x），进而判定这个函数是偶函数还是奇函数。

六、5.6正弦函数的图像与性质（3课时）

用正弦线作正弦曲线的好处是不需要计算角的正弦值，实际就是把正弦线平移到相应角的位置。这里要特别注意在坐标系里横轴、纵轴的单位必须一致，同时注意曲线的走向，[0，π]是向上凸的，[π，2π]是向下凹的。“五点法”作正弦曲线，实际就是列表描点法。这里的五个点分别是曲线与x轴的交点和最高点及最低点，它们的横坐标的间隔是π/2。

无论是几何法还是“五点法”，都是为了找到曲线上的一些点，再用光滑的曲线把这些点连接起来。熟练之后就要把握好正弦曲线的形状和特征，能迅速画出正弦曲线的草图。

由教材P152的“思考交流”所得结论，我们可以进一步推广：y=-f（x）的图像，与y=f（x）的图像关于x轴对称，y=f（x）+1的图像，可以由y=f（x）的图像向上平移一个单位而得到。

无论是单位圆中角在旋转过程中正弦线的变化规律，还是由诱导公式1，均能得出正弦函数的图像是呈“周而复始”的规律的。结合周期函数的定义和对周期的规定，由“探究”所得结论可知，正弦函数y=sinx是周期函数，它的周期为2kπ，k∈Z，最小正周期为2π。

要判断一个函数是否为周期函数，通常是按照定义，寻找非零常数T，满足f（x+T）=f（x）。由于已约定，在没有特别说明的情况下，我们所说的周期都是最小正周期。因此，在找到这样的常数T之后，还要再找出其中的最小正数。

由于正弦函数y=sinx的周期为2π，也就是说其图像每经过2π就重复，因此，要讨论正弦函数的单调性，只需选取长度为2π的区间即可。

解决了例3后，可启发学生总结：遇到出现含有正弦式的等式，求其他量的范围问题时，通常是把正弦式放在等式的一侧，其余的放在另一侧。由于sinx的取值范围是[-1，1]，等式另一侧表达式的取值范围也就是[-1，1]，这样就可求出其他量的范围。

不求值比较两个角的正弦值的大小时，关键是用好诱导公式把问题化为在一个单调区间内的两个角的正弦，再根据单调性来确定它们的大小。

七.5.7余弦函数的图像与性质（2课时）

本节的教学过程中要充分运用好类比法，利用上一节研究正弦函数的图像与性质的类似方法来研究余弦函数的图像与性质。

与画正弦线类似，我们要画出余弦函数y=cosx图像上的点（x，cosx）。但余弦线不像正弦线那样是“竖立”的。从画图的角度来说，得到每一个角的余弦线后，用圆规还是可以把它移到相应的位置使它“立”起来的，但这样做比较麻烦。用教材P157上的图5-23，就能达到使它“立”起来的效果，这样画图就比较方便。

无论是几何法还是“五点法”，都是为了找到余弦函数y=cosx图像上的一些点，再用平滑的曲线把这些点连接起来。熟练之后把握好余弦曲线的形状和特征，就能迅速画出余弦曲线的草图。

仔细观察教材P159的“思考交流”中的图5-28，我们可以发现余弦函数y=cosx的图像，可以由正弦函数y=sinx的图像向左平移π/2个单位得到。

类比正弦函数的性质，很容易得到余弦函数的前三个性质，对照正弦函数的性质，余弦函数的定义域、值域、周期没有变化，最大的区别在于奇偶性（是偶函数）、单调性（单调区间不同）和最大值最小值（取得最大值最小值的自变量不同）。如此类同的根本原因，可以从几何上得到解释：余弦函数y=cosx的图像，可以由正弦函数y=sinx的图像向左平移π/2个单位得到。

不求值比较两个角的余弦值的大小时，关键是用好诱导公式把问题化为在一个单调区间内的两个角的余弦，再根据单调性来确定它们的大小。

对于例3，解决时要有整体意识，即把x/3看作一个角，为了方便，用换元法，设t=x/3，由t=2kπ，就能得到x/3=2kπ，从而得到x=6kπ。最后还须注意把所得结果写成集合形式。

八、5.8已知三角函数值求角（2课时）

为了解决有关已知三角函数值求角的问题，学生需要具备良好的基础。为此，教师要组织同学一起回顾本章前面所学的知识，特别是诱导公式，各个象限的三角函数值的符号以及特殊角的三角函数值等。

篇4

1.定义的掌握与运用。初中三角函数的定义是借助直角三角形在锐角中定义的，而高中是借助单位圆给出的，初学者应对这两个定义进行相对比较，感受单位圆的重要性，为后面直观讨论三角函数的图象与性质奠定基础。在掌握概念的同时应初步学会运用三角函数的定义解题，例如：根据角的终边所处的位置能迅速的判断出此角的正弦、余弦、正切的符号以及已知终边上的一点的坐标能求出三角函数的正弦、余弦、及正切值。

2. 三角函数线的应用。三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现，初学者应熟练掌握正弦线、余弦线、正切线的作法，并能运用三角函数线比较三角函数值的大小，证明三角不等式，和解一些简单的三角不等式。

3.特殊角三角函数值的记忆。记一些特殊角的三角函数值，即的正弦值、余弦值、正切值，其它的一些特殊角的三角函数值可以用这些值通过诱导公式推导出。

4.公式的推导型记忆。三角函数的公式是令初学者最头痛的事情，有同角三角函数之间关系，诱导公式，两角和与差的三角函数展开式，倍角公式，在学习的过程中有些老师还会补充一些公式，如半角公式，积化和差与和差化积公式，万能公式。为方便忆有些老师在诱导公式里还给大家总结出一些口诀，如“函数名不变，符号看象限”、“函数名改变，符号看象限”、“奇变偶不变，符号看象限”，接触口诀之初，学生如获珍宝，但过一段时间后，就混为一谈，不知所云，变什么、看哪个象限都很模糊，简直就是一头雾水。在此，笔者是不主张硬记和找规律记忆的，笔者鼓励初学者应该进行推导型记忆，三角函数的公式看起来多而杂，其实不然，它们都是可以相互推导的，同角三角函数之间的关系是用定义推导的，诱导公式是在单位圆中推导的，两角和与差的三角函数展开式除两角差的余弦公式外，其它的都是由两角差的余弦公式推导的，推导过程课本上是有的，笔者建议在记忆公式时，初学者应该立足于推导，并且是自己推导、反复推导，真正体会公式之间的联系，这样记忆的公式才是永久的，处理题目时就会信手拈来，活学巧用。

5.三角函数图象的掌握。熟练掌握正弦、余弦、正切函数图象的画法，能通过图象能够看出三角函数的性质及运用图象比较同名三角函数值的大小和解一些简单的三角不等式。

篇5

1、简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用"单位圆定义法"，对于任意角?，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角 （弧度）对应于点P的纵坐标y──正弦；角 （弧度）对应于点P的横坐标x──余弦。可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的。另外，"x= cos ?，y= sin ?是单位圆的自然的动态（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述"，其中，单位圆上点的坐标随着角?每隔2π（圆周长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性。

"终边定义法"需要经过"取点──求距离──求比值"等步骤，对应关系不够简洁；"比值"作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰； "从角的集合到比值的集合"的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的"数集到数集"的对应关系不一致，而且"比值"需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；"比值"的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与"终边定义法"的这些问题不无关系。

2、有利于构建任意角的三角函数的知识结构。"单位圆定义法"以单位圆为载体，自变量?与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等。

在学习弧度制时，学生对引进弧度制的必要性较难理解。

"单位圆定义法"可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的半径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了。另外，我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点） 被缠绕到单位圆上的点P(cos ，sin )。 转贴于

3、符合三角函数的发展历史。三角函数发展史表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为"圆函数"。所以，采用"单位圆定义法"能更真实地反映三角函数的发展进程。

早在古希腊时代，人们就知道"相似三角形的对应边成比例"，这是三角函数的根源，也是其本质所在，所以三角函数起源于几何中的边角关系。三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。到了近代，人们将三角函数作为一般的函数来研究它们的代数性质。现代数学把它们描述成无穷无穷级数或微分方程的解，将其定义扩展到复数系。映射也是贯穿高中数学的一条主线，是人们思考问题时一种非常重要的对应关系。

4、有利于后续学习。前已述及，"单位圆定义法"使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图像奠定了很好的直观基础。不仅如此，这一定义还能为"两角和与差的三角函数"的学习带来方便，因为和（差）角公式实际上是"圆的旋转对称性"的解析表述，和（差）化积公式也是圆的反射对称性的解析表述。另外，这一定义中角的度量直接采用了弧度制，能为微积分的学习带来方便。例如，重要极限 几乎就是定义的一个"推论"。

篇6

1.内容与要求

1.1 本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等

1.2 章头引言安排了一个实际问题――求半圆内接矩形的最大面积.这个问题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值

第一大节是“任意角的三角函数” 教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角（都用坐标定义），然后导出同角三角函数的两个基本关系式及正弦、余弦的诱导公式教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用

第二大节是“两角和与差的三角函数” 教科书先引入平面内两点间距离公式（只通过画图说明公式的正确性，不予严格证明），用距离公式推出余弦的和角公式，然后顺次推出（尽量用启发式）其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用，包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解

第三大节是“三角函数的图象和性质” 教科书先利用正弦线画出函数 ，x∈[0， ]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx、arccosx、arctanx等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案

1.3 本章的教学要求是：

1.3.1 使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算

1.3.2 使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式

1.3.3 使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力

1.3.4 使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）

1.3.5 使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A、、φ的物理意义

1.3.6 使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示

2.考点要求

2.1 理解弧度的定义，并能正确地进行弧度和角度的换算。

2.2 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，会求的周期，或者经过简单的恒等变形可以化为上述函数的三角函数的周期能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式

2.3 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能解决正弦、曲线有关的实际问题

2.4 能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式

2.5 了解三角函数的积化和差与和差化积公式

2.6 能正确地运用上述公式简化三角函数式、求某些角的三角函数值 证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题

2.7 掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程、并能运用它们解斜三角形

3.考点分析

三角函数是一种重要的初等函数，由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密切联系，它既是研究其他各部分知识的重要工具，又是高考考查双基的重要内容之一

本章分两部分，第一部分是三角函数部分的基础，不要求引入难度过高，计算过繁，技巧性过强的题目，重点应放在结知识理解的准确性、熟练性和灵活性上

试题以选择题、填空题形式居多，试题难度不高，常与其他知识结合考查

复习时应把握好以下几点：

3.1 理解弧度制表示角的优点在于把角的集合与实数集一一对应起来，二是就可把三角函数看成以实数为自变量的函数

3.2 要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念

3.3 在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取

3.4 单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，用三角函数线的数值来代替三角函数值，比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多，因此，三角函数是讨论三角函数性质的一个强有力的工具

3.5 要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性

3.6 函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调敬意的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小

3.7 对于具有周期性的函数，在作图时只要先作它在一个周期中的图象，然后利用周期性就可作出整个函数的图象

3.8 对于，，等表达式，要会进行熟练的变形，并利用等三角公式进行化简

本章第二部分是两角和与差的三角函数，考查的知识共7个，高考中在选择题、填空题和解答题三种题型中都考查过本章知识，题目多为求值题，有直接求某个三角函数值的，也有通过三角变换求函数的变量范围，周期，最小、大值和讨论其他性质；以及少量的化简，证明题考查的题量一般为3―4个，分值在12―22分，都是容易题和中等题，重点考查内容是两角和与差的正弦、余弦及正切公式，和差化积、各积化和差公式

考生丢分的原因主要有以下两点：一是公式不熟，二是运算不过关，因此复习时要注意以下几点：

3.8.1 熟练掌握和、差、倍、半角的三角函数公式复习中注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧

①常值代换，特别是“1”的代换，如：，，，等等

②项的分拆与角的配凑

③降次与升次

④万能代换

另外，注意理解两角和、差、倍、半角公式中角的实质，可以把公式中的角看成一种整体形式，可以锦成其他变量或函数，这样可加大公式的应用范围和力度

3.8.2 要会运用和差化积与积化和差公式对三角函数和差式，要善于转化为积的形式，反之亦然，对于形如的式子，要引入辅助角并化成的形式，这里辅助角所在的象限由的符号决定，角的值由确定对这种思想，务必强化训练，加深认识

3.8.3 归纳总结并熟练掌握好三角函数的化简与求值的常用方法和技巧

①三角函数化简时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名等其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等

②三角函数的求值问题，主要有两种类型 一关是给角求值问题；另一类是给值求角问题它们都是通过恰当的变换，设法再与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数式之间建立起联系选用公式时应注意方向性、灵活性，以造成消项或约项的机会，简化问题

3.8.4 关于三角函数式的简单证明 三角恒等证明分不附加条件和附加条件两种，证明方法灵活多样一般规律是从化简入手，适当变换，化繁为简，不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定

①不附加条件的三角恒等式证明：多用综合法、分析法、在特定的条件下，也可使用数学归纳法

②附加条件的三角恒等式证明：关键在于恰当而适时地使用所附加的条件，也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系常用的方法是代入法和消元法

三角恒等证明中要重点会用和差与积的互化公式，掌握等价转化的思想和变量代换的方法证明的关键是：发现差异――观察等式两边角、函数、运算间的差异；寻找联系――选择恰当公式，找出差异间的联系；合理转化促进联系，创造性地应用基本公式

而关于角的恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，要证，先证明的同名三角函数值相等，即，再证明在三角函数的同一单调区间内，而后由函数的单调性得出

3.8.5 在解有关三角形的问题中，锐角三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面积公式，的妙用和三角形内角和的制约关系的作用

3.8.6 求三角函数最值的常用方法是：配方法、判别式法、重要不等式法、变量代换法、三角函数的单调性和有界性等其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值

4.三角函数中应注意的问题

4.1 本章内容的重点是：任意角三角函数的概念，同角三角函数间的关系式、诱导公式及其运用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲线的画法和正弦函数的性质难点是：弧度制的慨念，综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明，周期函数的概念，函数的图象与正弦曲线的关系关键是：使学生熟练掌握任意角三角函数的定义，讲清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的变化，正弦曲线的画法和正弦函数的性质

由于课时较紧，教学中应遵循大纲所规定的内容和要求，不要随意补充已被删简的知识点例如，三角函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲，三个；除（k∈Z）外，其余诱导公式中，要求学生记住并能灵活运用的，只是用正弦、余弦表示那几个，以后求tan 可通过用科学计算器或者转化为来求；在推导正切的和角公式以及画正切函数的图象时，出现了正切的诱导公式，但这只作为推导的中间步骤，不要求学生记忆；积化和差与和差化积公式、半角公式也只是作为和（差）角公式的应用出现一下，结果不要求记忆，更不要求运用；此外，也不要补充“把化成一个角的三角函数的形式”这样的例习题

4.2 在讲述弧度制的优点、角度制的不足时，要注意科学性事实上，角的概念推广后，无论用弧度制还用角度制，都能在角的集合与实数集R及之间建立起一种一一对应的关系说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角的弧度数，或度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的，但每一种对应法则下对应的实数是唯一的所以不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应有的教师认为角度制的计量单位太小，而弧度制的计量单位大，而且可以省略不写，这种说法虽有一定道理，但在科学上并不具有充足的理由，因为小有小的好处，何况坐标系中两条数轴上的单位长度可以不一致关键在于用角度制表示角的时候，我们总是十进制、六十进制并用的，例如角其中61、21、12都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进（退）位的，这样，为了找出与角对应的实数（我们学的实数都是十进数），要经过一番计算，这就不太方便了

4.3 定义了任意角的三角函数以后，严格地说，例如，只有，才可以说是正弦函数；六种函数统称三角函数，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数，例如可以说是2x的正弦函数（这时可说它是三角函数），也可以说是正弦函数与正比例函数的复合函数，但不能说是x的正弦函数另一点是函数的定义域，三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的，所以教学中不宜随便说（或写）“正弦函数y=sinx”，需知“函数，”只是正弦函数的一个周期，不要把部分当作整体

4.4 关于已知三角函数值求角，在讲解相关例题时，可以利用设辅助角（即通过设辅助元素把未知转化为已知，这是化归思想的运用）来求解，把求解过程调整为：

4.4.1 如果函数值为正数，则先求出对应的锐角，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值相应的锐角

4.4.2 决定角x可能是第几象限角

4.4.3 如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角，得出 内对应的角――如果它是第二象限角，那么可表示为 ；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为 或

也可以把上述辅助角看作参变量（x为自变量），那么所提供的方法就可以看作参数的应用新大纲把参数的知识分散在有关的教学内容中，教学时适时提醒学生注意使用，这是有好处的

4.5 本章所使用的符号及其用法，全部与国家标准所规定的取得一致，在板书中逐渐达到规范化 物理教科书也是这样做的因此在布置和批改作业时，对于本章中的几道与物理（力学、电学）有关的习题，解答时使用的符号及其用法，应与教科书上的相同，以免与物理教师讲课时的要求发生矛盾，弄得学生无所适从

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一、两种定义方法的对比

1.“终边定义法”是从映射的角度来开展三角函数定义的教学，可以有效培养学生的逻辑思维能力

在具体的教学实践中，“终边定义法”可以很好地帮助学生解决已知一个角的终边上的一点的坐标来求这个角的三角函数值的问题。但是对诱导公式的推导和记忆、三角函数的图象和性质的研究而言不是那么方便。“比值”作为三角函数值，其意义不够清晰，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明。以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了解，与“终边定义法”的这些问题不无关系。

2.“单位圆定义法”给学生理解三角函数带来了一些变化

（1）由于单位圆定义法的直观性，学生可以从定义中看到具体的、直接的自变量和函数值的对应关系，即：任意给定一个角α，其终边与单位圆就有唯一的一个交点，交点的纵坐标定义为α的正弦函数，横坐标定义为α的余弦函数，这给学生理解三角函数对应关系提供了极大的方便。

（2）在单位圆中，可以直接用弧长来度量任意角的大小，有利于学生理解三角函数是“数集到数集的对应”。

（3）在“单位圆定义法”下，作三角函数图像时，可以更直接地使用几何取点作图法。

（4）利用单位圆对称性，并借助单位圆的几何直观效果可以让学生更容易理解和记忆诱导公式。

（5）由于可以直接利用任意角的终边与单位圆交点的坐标讨论三角函数的变化规律，所以学生对三角函数的性质（特别是周期性、单调性、最值、对称性）的理解更方便，记忆也更牢固。

二、两种定义方法的有效结合

“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的。正因为如此，教改以来，教科书在这个知识点上改来改去，最终两种定义方法都采用。对于老师们熟悉的“终边定义法”，北师大2014年7月第8版15页例1中给出了更加直观、方便学生理解的推导思路。可让学生进一步理解：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。比值不会随着点P在角的终边上的位置的改变而改变，即对于确定的角a，三个比值都是唯一确定的。而这也恰恰说明了“以角a的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的。而用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需推导，就更突显其好处了。

因此，在教学中我们既要重视单位圆的直观性，又不忽视比值定义的意义；既注重函数图象在研究函数性质中的作用，同时又不能忽视利用单位圆的直观性来研究三角函数的性质及在解题中的应用。故在教学中教师要有效地利用好两种定义法。

三、“单位圆定义法”可为我们提供解决问题的新思路

从这个解答过程可以看到，在掌握单位圆定义法后，不仅能够顺利地使用角与三角函数的对应，而且能在单位圆的载体下建立起平面几何、三角函数、解析几何的内在联系，这对学生打开解题的思路有很大的帮助。

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如何将任意角的三角函数值问题转化为00～3600角三角函数求值问题

问题1：求390的正弦、余弦值

设计意图：数学教学应当从问题开始。先安排求特殊值，再过渡到一般情形，此转符合学生的身心特点和认知规律，意在培养学生从特殊到一般归纳问题和抽象问题的能力，引导学生在研究三角函数求职时抓坐标、抓角终边之间的关系。同时首先考虑+2KЛ（KZ）与三角函数值之间的关系，正是体现了新课程中三角函数被看成刻画现实。

二、教后思考分析

1、关于教学设计定位的思考。就三角函数的诱导公式来说，教学设计定位时一般会出现以下几种倾向：其一，定位于知识的学习，通过学习，学生知道存在一些公式，可以将任意角的三角函数进行一些转化。其二，定位于公式的学习，通过学习，学生努力分析和总结各组公式的形式规律，对“函数名不变，符号看象限”等口诀死记硬背，并追求灵活运用等解题能力的培养。其三，强调对过程的深入理解和对公式推导的细致聚焦。其四，在关注知识学习的同时，渗透数学思想方法的理解和领悟。从对教材的分析来看，苏教版教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，这样处理的好处是避免了任意角的象限分类和化归，起到了利用直观的对称这个工具和研究手法去研究诱导公式的变化规律的目的，揭示了代数和几何的有机结合和统一。从实际教学效果来看，学生对这样的处理方式还是比较容易领悟和理解的

2、对角a的任意性的理解。在这节课中，角a的任意性是一个教学难点，为此我们设置了三个点（1）问题2中非30°不可吗？角α行不行？（2）几何画板拖动演示感受角α的任意性（3）习题中进一步深化学生认识，随着学生学习的深入，对这个问题还会有进一步的认识。事实上，有许多同学在一开始是将角α当成锐角去处理的，但我再教学中不过分强调角α的任意性，因为对待数学知识的教学不能一步到位，不应毕其功于一役，而应力求顺其自然，水到渠成。

3.关于诱导公式作用的分析。在公式一的教学之后，学生认识到有了这组公式，可以将任意角转化成0°～360°角，如果在公式二的推导完成后，我能引导学生认识到如果将角α看成锐角，那么π?Da就是第二象限角，这样就可以将第二象限角的三角函数值与第一象限建立联系，同样，第三、四组诱导公式推导之后也做类似的工作，这样学生对于诱导公式的作用认识可能会更深刻。

4、关于教学评价分析，我们觉得本次的教学设计和学生认知水平基本吻合。如果学生的基础薄弱一些，我们会设计问题的指向性会更明确，为学生搭建更多的脚手架，基础性的练习要更多一些。

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（1）从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。

（2）从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。

（3）若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β=2kπ+α，kZ。

2.弧度与角度的互化

我们现在学习的是任意角，如何判断角度以及对应三角函数的符号，我们引入了单位圆。

1.任意角的三角函数

（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=（x≠0）。

（2） 几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）。如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。

1.角可以任意大，不受周角限制 2.角有正负之分，由旋转方向决定 3.还有零角， 一条射线，没有旋转。要点阐释 任意角的三要素：题型一 ：钟表走了两个半小时，，分针所转的角度是多少？角的符号主要由旋转方向决定角。题型二： 比较下面三个角的大小 根据角的符号判断规律。误区解密：下列四个命题中，正确的是（ ） A.第一象限的角必是锐角。（学生这方面犯错比较多，初中主要学的是锐角，特别是特殊角。） B.锐角必是第一象限的角。C.终边相同的角必相等。（从横轴正方向开始，逆时针方向旋转的角是正角，多转一圈多360°。） D.第二象限的角必大于第一象限的角。错解：D 错误分析：在象限角中，做题的时候往往容易忽略 任意角的存在。正解：B。锐角必是第一象限的角 纠错心得： 对于任意角的概念理解非常重要，尤其是角的旋转方向。初中对于角的认识只限于0 ° ――360°，在刚接触任意角时容易忽略任意角的方向，任意角的旋转方向是有始边到终边决定的。注意： 任意角是有方向的，角的正负由旋转方向决定 任意角的大小事没有限制的，角可以任意大小，绝对值大小由旋转次数及终边位置决定 描述任意角时需要注意三个要素，尤其是旋转方向。（旋转中心、旋转方向和旋转量。）

借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。单位圆对于学生理解任意角三角函数的正负有极大的帮助。当一个角出现时，我们首先判断它的象限，利用单位圆的知识很方便。现实世界中的许多运动变化都有循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性。如何用数学的方法来刻画这种变化？我们要来学习刻画这种规律的数学模型之一 ――三角函数。

三角函数是与角有关的函数，在学习任意角概念时，我们知道在直角坐标系中研究角，可以给学习带来许多方便，比如我们可以根据角终边的位置把它们进行归类，现在大家考虑：若在直角坐标系中来研究锐角，则锐角三角函数又可怎样定义呢？

学生情况估计：学生可能会提出两种定义的方式，一种定义为边之比，另一种定义在比值中引入了终边上的一点P的坐标。

问题：1.锐角三角函数能否表示成第二种比值方式？

2.点P能否取在终边上的其它位置？为什么？

3.点P在哪个位置，比值会更简洁？符号决定于什么？横轴和纵轴决定什么？（引出单位圆的定义）。指出sina=MP的函数依旧表示一个比值，不过其分母为1而已。

三角函数首先是函数。你能从函数观点解析三角函数吗？（定义域）

对于确定的角a，上面三个函数值都是唯一确定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。

新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，首先，角的概念推广了，那么锐角三角函数的定义是否也该推广到任意角的三角函数的定义呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

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一、引言

三角函数是一门较重要的科学知识，它往往会与理工科的其他科目有联系，我们不仅会在数学中学习到三角知识，而且这一知识也与物理方面的相关知识挂钩，如在电学中，有不少波的相关公式，以及得出的物理现象就是用三角函数表达式表达的，所得到的图形是三角函数图。所以，三角函数不仅仅是一门对数学学习有帮助，同时对于工学类的其他科目也有用途的科学，在实际工作和生活中有广泛的应用。

二、三角函数问题概述

1三角函数问题的特点

到现在为止，我们已经接触过了不少问题，这些三角问题大多数是通过三角函数的性质和恒等变换来求解的。如我们要计算三角函数值某个角的大小，就往往是采用计算该角的某一种三角函数值，再依据我们学过的三角函数性质，根据三角函数值的正负来确定象限得出来的。我们要判断三角函数的单调性，或者确定三角函数的单调区间，往往可以通过基本三角函数的单调区间来求解。所以说，三角函数的一切问题的求解还在于二方面：一是对性质的把握，二是熟悉掌握三角恒等变换公式，并在具体的问题中学会灵活自如地加以应用。

三、考题分析

1考题

例题：在 中，角A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，

，求A，B及b，c

2考题求解过程分析

3总体分析

上面这道题是以三角形为主要的参考模型来考查三角函数知识的，这是三角函数大题的一大常用考试思路，主要是借助三角形，给出一些已知的参数（可以是边，可以是角，从而来求其他三角参数的值，如可以是面积，也可以是边角，这是三角函数的一种基本的考查形式。

3.2.2本题分析

先看考题第一问，要求的是A，B的值，通常情况下，要求出角的大小，我们往往是要求一下角所在的三角函数值的大小，所以根据这一思路，我们要求出B，C的三角函数值，题中给出了三个已知条件，其中第一个边的大小对于求解第一问起不到帮助，我们只能从后面的二个条件入手，很明显，从条件2，可以求出C角的三角函数值，其中 ，这很容易看出来，而根据这一点，我们可以求解出C角的三角函数值， ，角C是30或150度，再根据后面的第三个条件，仍然是把A换成B和C，可以得出 ，直接得出B和C角大小相等。由此，得到三个角的大小，是一个等腰三角形。

3.3考题求解

下面，我们按照先前确定的分析过程，理一下思路，求解二问，具体如下：

解：由 得

，又

由 得

即

由正弦定理 得

四、考题总结

根据上面的这道题，我们不难发现，从结论开始进行分析和展开联想是有必要的。上面的这一题的要求解的内容，将会直接决定我们分析的走向，如第一问要求三角函数，我们就要考虑采用三角和差公式，第二问要计算边长，我们就要联想到正、余弦定理。这都是我们在上面这道题中发现的规律。

4.倒推法求解三角恒等变换问题的基本思路

4.1以问题为出发点

在前面，我们就已经明确指出，倒推法是以问题为中心而展开的。所以，来了三角函数类问题，我们必须要对将要求解的问题做一个全面的了解，看一下该问题到底是要求什么，要求边，还是求角，还是求面积，或者是单调性等。在明确了问题以后，我们就要对此问题进行定性的分析。问题不仅仅是决定我们求解的方向所在，也是我们求解的关键突破口。由此看来，对于问题的性质进行全面的分析是极其重要的，它为后面的解答问题起到了铺垫的作用。

1 注意条件的对应关系

在搞清楚问题以后，我们就要开始进行推理和想象，如上面的那一个实例，我们要调动一切因素，使我们要解决的问题和已经存在的条件无限接近。如第二问，为了使边和面积之间建立联系，又是在三角形中，我们唯一想到的思路就是三角面积计算公式，通过公式，我们就可以得到二条边的乘积。此外，还有一点也是重要的，那就是给出了角的正弦值，就等同于给出了边的比例关系。如果没有突破这一点，也无法得以求解。

2 大胆推理和联想

在倒推法解决问题时，一定的联想是有必要的。而且由于我们高考题在情境上会不断发生变化，但是只是形式上的变化，仍然存在换汤不换药，新瓶装老酒的做法。所以，我们要根据相关的情况大胆进行推理和猜想，如有这样一个问题。

例2：若 则 a=B

（A） （B）2 （C） （D）

此题按常规做法是要计算的，而用倒推法，我们只要分析该角的大小，或者说所处象限就行了，根据公式有 sin （a+A）= 而A很明显是一个锐角，（a+A）=270度，意味着 处于第三象限，排除A与B选项，再根据sinA= 是一个小于30度的角，所以a必须要大于240度，于是 tan a的值比tan60的值要小，所以直接锁定答案D。根据此题，我们可以发现倒推法无法是用于解答小题还是解答综合题，都可以起到一定的作用。

五、结束语

根据本文的分析，倒推法不失是一种用来求解三角函数问题的基本方法。通过以问题为出发点，可以进一步理出学过的知识，求解的问题，以及我们现有的条件的关系，使我们在解决问题时，打开思路，自由发挥。更为重要的是，它是一种解决问题的思路，尤其是对于解决难度较大的综合型问题中更可以看到这一点。值得一提的是，倒推法不仅仅适用于解决三角函数问题，它在解析几何，立体几何以及数列等综合性问题中仍然有较大的用途，这一切都有待于我们在以后的解题过程中，多加总结，以便使其能够发挥更大的作用。

参考文献

[1] 周加付. 三角变换的技巧和方法[J]. 成功（教育） 2010年12期

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【关键词】数学公式；简化；规律

数学公式是数学知识和数学教学的重要组成部分，但由于数学公式具有高度的抽象性和概括性，学生对公式的学习积极性不高，大部分学生更多地停留在知识的记忆层面，并且数学公式又比较多，对于学习任务较重的学生来讲，更是增加了学习负担.作为占主导地位的教师来讲，就要培养学生自己归纳、总结数学公式，洞察内在的联系，从而提高学生的学习兴趣和成就感.作者就三个示例阐述如何将数学公式化繁为简，展示数学公式的魅力.

一、特殊角的三角函数值

在三角函数值的学习过程中，0°，30°，45°，60°，90°占据重要的地位，它们所对于的三角函数值起着基础性的作用.而三角函数的值是从直角三角形边的比值推导得来，对于学生来讲，理解不是难事情，但是在以后的运用中若需要三角函数值，不可能再去推导和查阅公式，学生必须记忆，繁多的公式对于学生来讲是一件难事情，常见教材或者工具书的三角函数表如下：

在这个简化的公式表中，各个函数值的分子具有较强的规律性，对于学生来讲具有一定的新颖感，也便于学生记忆.

二、三角形、平行四边形和梯形的面积公式

在大多数的教材中，三角形、平行四边形和梯形的面积公式都只是单纯的给出公式，并没有给出这几个公式的联系，如下表.

作为占主导和引导地位的老师来讲，在学习完这些公式，就应该总结、归纳这些公式的内在联系：梯形的面积公式可以统领三角形和平行四边形.当梯形公式中的CD=0时，就退化为三角形，其面积S=12（AB+CD）・h=12（AB+0）・h=12AB・h；

当梯形公式中的CD=AB时，就特殊化为平行四边形，其面积为S=12（AB+CD）・h=12（AB+AB）・h=AB・h.这既可以培养学生归纳知识的能力，又可以让学生知道事物之间可以相互转化的道理.

三、椭圆与圆的面积公式

对于圆的面积公式S=πr2（r为半径），很多人都很熟悉，但是对于椭圆的面积公式S=πab（a，b为椭圆的长半轴和短半轴）就很陌生.学生在学习的过程中，应该明白圆和椭圆的特殊关系：从下图就可以清楚知道二者的内在联系，

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笔者现以概念形成理论为基础简述数学概念的教学过程。

概念教学的基本步骤是：（1）数学概念背景的引入。（2）通过分析、比较不同的例证，进行相关属性的概括和综合。（3）概括例证的共同本质特征得到概念的本质属性。（4）形成概念的定义，并用符号表示数学概念。（5）概念的辨析，进一步明确概念的内涵和外延。（6）概念的初步应用，形成用概念作判断的具体步骤。（7）建立与相关概念的联系，形成概念之间的结构。

1.数学概念背景的引入。一般来说，教师教学一个新概念，先应让学生体会和认识学习的必要性，包括明确学习这一概念的意义，了解概念的作用，引发学生学习的动机。这就是概念引入环节的主要目的和任务。

新概念的引入方式一般可分为两大类：一类是从数学概念体系的发展过程中引入新概念，另一类是从解决实际问题的需要出发引入新概念。

2.通过分析、比较不同的例证，进行相关属性的概括和综合。例如，在“函数单调性”的教学中，我们就可以首先举出若干增函数的例子，如正比例函数，反比例函数，二次函数，让学生观察、思考，初步得出有的“在某个区间上图像上升”，有的“在某个区间上图像下降”，并通过表格定量地分析自变量的增大与函数值的变化之间的规律，为学生抽象概括本质属性奠定基础。这里的例证一方面应以正例为主，另一方面又要关注正例的多种变式。

3.概括例证的共同本质特征得到概念的本质属性。还以“函数的单调性”教学为例，在学生观察思考上述例证之后，教师可以引导学生尝试概括“增函数”的共同的本质特征。

4.形成概念的定义，并用符号表示数学概念。例如，“增函数”的定义是“一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

5.概念的辨析，进一步明确概念的内涵和外延。教师将概念与其他有关概念进行联系和分化，使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相关概念建立起实质的联系。例如，在学习三角函数中的“第一象限的角”这个概念以后，学生如果不及时与已有的“锐角”概念分化，就很容易把两个概念混淆。为此，教师在本阶段教学中应注意：（1）对定义的关键词进行分析。（2）以实例（正例、反例）为载体，让学生进行辨析。防止概念理解错误的一种有效方法是举反例，反例就是与定义对象内涵不一致（扩大或缩小）的例子。（3）让学生自己举出若干实例，检验学生对概念的理解。

6.概念的初步应用，形成用概念作判断的具体步骤。该步骤本质上是检验和修正概念定义的过程。学生通过解决用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤，通过运用概念，使得抽象概念变成思维中的具体。例如，在形成“任意角三角函数”概念的定义后，为了让学生熟悉定义，教师可从中概括出用定义解题的步骤，可以安排如下问题：（1）分别求自变量■，？仔-■所对应的正弦函数值和余弦函数值。（2）角的终边过点P（■，-■），求它的三角函数值。

7.建立与相关概念的联系，形成概念之间的结构。在概念获得的过程中，很重要的是通过概念之间的关系来认识新概念，由于在这个过程中经历了新旧概念的相互作用，无论是已有的概念还是新概念在认识上都有了发展，认知心理学家把此时的概念称为“精致的概念”。在数学学习中，“精致”可以从两个方面进行：一方面是对新概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”，通常表现为对各种可能的特例或变式进行剖析，分析可能发生的概念理解错误；另一方面是加强概念与概念之间关系结构的“组织”，使学生所学概念与其相关的知识之间的联系明确化，从而形成一个合理有序的概念系统。例如，在学习“任意角三角函数”的概念后，教师可通过概念的“精致”引导学生认识概念的细节，并将新概念纳入到概念系统中去，使学生全面理解三角函数概念。这里包括如下内容：（1）三角函数值的符号问题，（2）终边与坐标轴重合时的三角函数值，（3）终边相同的角的同名三角函数值，（4）与锐角三角函数的比较——因袭与扩张，（5）从“形”的角度看三角函数——三角函数线，即联系的观点，（6）终边上任意一点的坐标表示的三角函数。

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关键词： 中考数学 锐角三角函数 数学模型

1.问题的提出

“锐角三角函数”是北师大版九年级下册第一章的内容，甘肃地区考卷分值在12―16分，本知识点考查分为两类：第一类，特殊角的三角函数的识记；第二类，用三角函数解决现实生活中的问题.相比较初中所学的其他函数，三角函数相对简单，大部分同学对于第一类考题能轻易解答，少数同学出错主要在于对三角函数概念理解不到位，对锐角三角函数不能对号入座，第二类主要在于对实际问题没办法抽象为几何中直角三角形的有关问题.因此，针对中考试题研究分析，总结出三角函数知识点出题的特点和规律，期待能预测今后本知识点考查的方式.

2.研究方法

以14套中考题为研究对象，从题量分布，题型分布，所占分值，与其他知识点的联系，蕴含的数学思想方法，考察目的进行分析，期待能总结出考查的特点，规律，以及解答此类题的技巧，并能预测今后考查的方向.

3.研究结果的分析讨论

3.1题量分布，题型分布，所占分值.

从题量分布来看，14套中考题中，涉及本知识点的考题共有29道，2012年题量在1―2道，2013年有四套题都涉及了两题，兰州卷涉及3题，2014年3套试题涉及2题，兰州卷和通用卷都涉及3道，说明题量稳重有所增加.预测今后甘肃地区本知识点还是以两道题进行考查.

从题型分布来看，2013、2014两年10套卷子有9套卷子以计算题和解答题考查，2014年天水卷以解答题考查，2012年兰州卷和通用卷用计算题和解答题考查，其余2套卷子只是出现在解答题的某一问中考查.除此之外，近三年兰州卷都用选择题对本知识点进行了考查，2014年通用卷用填空题进行了考查.预测今后主要还是以计算题和解答题为主进行考查.

从所占分值来看，2012年分值在10到15分之间，2013年分值在13到18分之间，2012年分值在13到18分之间，预测今后所占分值在15分左右.

3.2两类重点题型的考查形式与解答技巧

第一类：计算题.

计算题是特殊角的三角函数和实数的运算，包括立方，开方，零次幂，负指数幂，绝对值，以及乘法运算结合起来考查，这类题很容易丢分，需要考生对以上知识点都要熟知，而且要仔细，不能眼高手低，对学生的要求比较高，建议做两遍保证得分.熟记特殊角的三角函数值.

对于实数的相关运算，涉及以下6个方面，具体见表1.

这类题考查锐角三角函数的实际应用，解此类问题时，往往需先将实际问题抽象成数学问题，建立数学模型，再根据解直角三角形的有关知识进行求解，正确作出辅助线也是解题的关键，然后将题目中的信息转化为数学文字，并将所得信息转化为直角三角形的边和角，利用解直角三角形的方法进行求解.

解答题主要和以下知识点结合考查：（1）仰角俯角问题；（2）方位角问题；（3）坡度坡角问题；（4）测量问题等.

3.3蕴含数学思想与考查目的

（1）在探索直角三角形中边角之间关系，以及特殊角的三角函数的过程中，发展观察、分析、解决问题的能力.

（2）能够解决与直角三角形有关的实际问题，把实际问题转化为数学问题，形成模型思想，培养分析问题和解决问题的能力.

（3）体会数形之间的联系，学会利用数学结合，从特殊到一般，转化等数学思想分析和解决问题.

（4）在实际生活中，学会利用本知识点解决问题，培养学生的数学应用能力.

4.结语

三角函数是甘肃省中考必考内容之一，主要以计算题和解答题这两类题型为主，也可能在某一道解答题的某一问题来考查，分值在15分左右，题目难度适中.主要考查学生对特殊角三角函数的识记，以及三角函数的实际应用.今后还是以计算和解答两类题型为主进行考查，分值还是在15分左右，与我们的生活热点问题相结合.

参考文献：

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旧教材对概念的引入一般都是先给出定义，然后再举相应的一些例子予以说明。这样教学逻辑性是强了，但不能照顾到学生的思维能力。而新教材中一些的问题在恰当的地方提了出来，不但引导教师的数学活动，而且能够培养学生的问题意识，带着这些问题学生可以更好的自主学习和培养学生的创新精神。在这种理念下出版的新教材相对于旧教材在问题设置方面变化较大，问题意识贯穿在整个教材的始终。对于穿插在教材中的“观察”、“思考”、“探究”、“观察与猜想”、“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用”等拓展性栏目，有效的调节了数学课堂学习的气氛，改变了传统数学教材的呆板面目，为新教材增色不少。而且新的课程标准也强调了知识的联系性，通过不同数学内容的联系和启发，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，学习数学地思考问题的方式，提高学生学习数学的思维能力，培养学生的理性精神，教师都可以通过新教材中的一些设计的问题在课堂教学中由学生自主完成，很多有经验的教师都认为课堂上要大胆留给学生自主学习的空间，把学生小组合作学习与学生自主学习有机结合起来，让每个学生都积极地参与到学习中去，成为课堂上真正的主人。

在高中学生掌握的三角函数的主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，以及三角函数的图象和性质。在旧教材中三角函数安排在第一册（下）第四章即在高一下学期进行学习。而新教材安排在必修4的第一章和第三章，根据黑龙江省的教学顺序，在高一上学期的期中考完试之后进行学习。

现在我从几个角度去分析三角函数这部分内容的新旧教材内容编写及体系设置的差异：

（1）在形式上的对比：

旧教材是36节课时，新教材是24节课时。

从教材内容先后顺序的调整，更符合学生的认知规律，体现课程标准中倡导的螺旋式的教学模式。新教材展示了研究数学所渗透的多种思想方法，如化归思想，数形结合思想，换元思想，分类讨论思想。同时在数学式子和图形的变化中，让学生领会分析、探索，类比，平移，伸缩变换等这些常用的基本方法，培养学生用数学的意识，从而使学生在获取知识和运用知识的过程中发展思维能力，提高思维品质，培养创新精神。

（二）在内容上的对比：

1、新教材引入了计算器计算。

2、任意角三角函数一节弱化了正弦线，余弦线，正切线，强调了坐标运算。

3、新教材弱化同角关系式结构，减少了tanα·cotα=1 强调运用与推导。

4、诱导公式加入了正切公式，位置与顺序做了调整。

5、新教材将两角和差的正余弦公式放在“三角函数图与性质”之后。

6、新教材将“函数y=sin(ωχ+φ) 的图象”一节放于正切函数图象之后。

7、新教材删去了“已知三角函数值求角”的内容。

8、新教材增加了“三角函数模型的应用”的内容。

9、旧教材中只有“三角函数与欧拉”，“潮汐与港口”两个阅读材料。

新教材有三种专题：

阅读与思考中包括：“三角学与天文学”和“振幅、周期、频率、相位” 。

探究与发现中包括：“函数y=Asin(ωχ+φ) 及函数y=Acos(ωχ+φ) 的周期 ”和“利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质”

信息技术应用中包括：“利用正切线画函数y=tanχ,x∈(-■,■) 图象”和“利用信息技术制作三角函数表”。

10、例题习题中出现了许多高考习题，以及方法与思维较为灵活的综合习题等。

内容的调整降低了难度，使教师在教学中既注重基础知识又加强能力的培养，我们在教学中可以依据教材的特点，教材几乎每一部分的右侧都有“？”，让学生可以在课上或课下进行积极的研究与讨论，教师在备课过程中可以设计问题教学法，引导学生带着问题进行学生。教学中注重分层教学，辅助以多媒体教学手段，编写了分层作业，其中有基础作业，能力作业等。

（三）在教学要求上： 旧教材的具体要求是：

1、使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算。

2、使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式。

3、使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。

4、使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

5、使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A、ω、φ的物理意义。

6、使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。

而新教材的具体要求是：

1、了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与度的互化。

2、借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式的正弦、余弦、正切，能画出的y=sinx,y=cosx,y=tanx图象，了解三角函数的周期性。

3、借助图象理解正弦函数，余弦函数在[0,2π] ，正切函数在(-■,■)上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

4、理解同角三角函数的基本关系式： sin2x+cos2x=1,■=tanx.

5、结合具体实例，了解y=Asin(ωχ+φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωχ+φ)的图象，观察参数A,ω,φ对函数图象变化的影响。

6、会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

7、经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。

8、能以两角差的余弦公式导出两角和差和正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

9、能运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用。

（四）教学体会及建议

1、重视诱导公式的归纳和作用：因为在其它章节中只要是与角有关系的问题,例如：解三角形中；直线的倾斜角和斜率；立体几何中的成角问题等都会涉及到诱导公式的使用。它的作用是将任意角的三角函数化为锐角三角函数，从中领会化归的数学思想及蕴含的创新意识。

2、三角函数线作为三角函数的几何表示，可适当补充一些三角函数线的应用，如比较三角函数值的大小；已知求x, 让学生增强“数形结合”的意识，培养学生运用数形结合的思想方法。也为今后学习有关内容打下基础。

3、同角公式的应用中，对于已知某任意的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值，如已知sinα+cosα求sinα,cosα。解决这个问题，关键在于如何正确运用平方根的概念，正确的进行分类。让学生自己去体会总结最佳途径，以免多走弯路。