分数乘除法的规律精选(十四篇)

序言：作为思想的载体和知识的探索者，写作是一种独特的艺术，我们为您准备了不同风格的14篇分数乘除法的规律，期待它们能激发您的灵感。

篇1

教材分析：分式的乘除法是本章的一个重要的内容，是分式的基本性质、分式的约分的进步提高及应用。本课时包含分式的乘法、分式的除法的内容。分式的除法可以转化为分式的乘法进行运算。分式的乘法是本课时的一个重点。分式的乘除法是建立在小学分数乘除运算的基础上，又与数的运算有很大的不同。

教学目标：（1）知识与技能目标：使学生理解并掌握分式的乘除法运算方法，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题。（2）数学思考目标：经历探索分式的乘除法运算方法，发展合情推理的推理能力，培养学生大胆猜想的能力。（3）解决问题能力：形成解决问题的基本策略，从特殊到一般，从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算，也为以后学习分式的加减运算作铺垫。（4）情感与价值目标：教学中注意渗透类比转化思想，让学生在大胆猜想中学到方法，培养学习数学的自信心。

教学重点：使学生掌握分式的乘除法运算。

教学难点：分子、分母为多项式的分式的乘除法运算。

教学方法：探究式、引导式、小组交流合作。

教学准备：多媒体辅助。

教学过程：问题1：一个长方体容器的容积为v底面的长为a宽为b，当容器内的水占容积的

时，水高多少？长方体容器的高为____，水高为____

问题2：大拖拉机m天耕地a公顷__，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？大拖拉机的工作效率是

公顷，天，小拖拉机的工作效率是__公顷，天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的__倍。

（1）学生小组活动：讨论并填空。（2）教师提问：这是一个什么运算？怎样计算呢？

（板书课题：16，2分式的运算1、分式的乘除法）

设计意图：有问题1、问题2创设问题情境，在学生感到新奇而不知所措的过程中激发学生强烈的求知欲、设置悬疑、无疑为学生对本节课的学习创设了良好的情绪状态，面从实际生活引入，体现了数学知识源于生活。

学生交流：分数乘法法则？分数除法法则？分数乘法法则：分数乘以分数，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。分数除法法则：分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。（1）教师叙述：通过上面分数乘除运算可先约分再相乘。但对于除法运算首先把除法化为乘法，然后约分、相乘。设计意图：通过对旧知识的复习、引导学生从旧知识中寻找新知识的生长点，符合新事物的规律、由浅入深、同表及里、逐渐深化。（2）探索新知：你能用代数式表示上题中（（旧知再现）观察下列运算）的计算过程中吗？与同伴

通过类比，得出：①分式乘除法与分数乘除法类似；②“数”变为“式”后，其运算又有不同。

设计意图：观察、类比、迁移的方式达到自然导人的目的，培养合作交流意识。注意的是通常分式除法首先应转化成乘法、为了方便记忆可说为“除以一个式子等于乘以这个式子的倒数或者一变一传倒”。

篇2

一、细品题目，找准单位“1”

用算术方法解较复杂的分数乘除应用题学生普遍难于掌握。其实，对于此类应用题大可不必恐慌，教学时，教师要求学生读懂题目意思，找准单位“1”。俗话说：万事开头难。我认为分析分数乘除法应用题的关键在于找准单位“1”，而在复杂的应用题中单位“1”是有规律可循的，这是解决问题的最佳途径。我们可以抓住几个关键字，如[的]字前面的是单位1，或者[比]字后面的为单位1，如果没有明确单位1那么就以原来的为单位1。下面看例子：

例1、学校食堂买来450千克大米。如果买的面粉比大米少1／5，买的面粉有多少千克?学生先弄懂题目的已知条件和所求问题，接着找出单位“1”’[比]字后面的：购买的大米数。

例2、苍海渔业队五月份捕鱼2400吨，六月份比五月份多捕1／4，六月份捕鱼多少吨?[比]字后面的“五月份捕鱼的吨数”就是单位“1”。

我在教学实践中，总结出了两条找单位“1”的规律，运用于课堂教学实践，效果明显，学生容易掌握，且适用于各种分数、百分数应用题。掌握了找单位“1”的方法和规律，学生在实际做题中就避免了无从下手或猜测的尴尬局面。

二、确定单位“1”是已知或未知，突破难点，理清步骤

在课堂教学中，学生抓住关键句，并能准确地从关键句中找出单位“1”的量，再通过大量分数乘法应用题的学习和练习，引导和讨论，学生们会发现分数乘法应用题的共同特点是单位“1”的量已知，知道单位“1”的量已知的分数应用题用乘法计算。反之，单位“1”的量未知的分数应用题用什么方法计算呢?学生通过逆向思维，大多数学生会回答“用除法计算”。可见，要分清分数乘除法应用题的关键是看单位“1”的量已知与未知，单位“1”的量已知用乘法计算，单位“1”的量未知用除法计算或用解方程的方法计算。

学生明确了规律，掌握了步骤，分清了分数乘、除法应用题前提条件，做题时不再为用乘、除法而苦恼，突破了分数乘除法应用题的难点，从而学生学习的积极性得到极大的调动。

再看：例3、三信小学九月份的水电费是480元，十月份的水电费比九月份节约了15％。十月份的水电费是多少元?题中的单位“1”是“九月份的水电费”，从题中可以看出单位“1”是已知的。

例4、三信小学十月份的水电费是408元，比九月份节约了15％。九月份的水电费是多少元?题中的单位“1”是“九月份的水电费”，从题中可以看出单位“1”是未知的。

三、找准关键词。确定解题方法

用算术方法解决较复杂的分数乘除应用题中有一些关键词一定要教会学生把握住，这就是解题的命脉。如题中会出现“增加(减少)、大(小)、多(少)、高(矮)、重(轻)、浪费(节约)、”等关键词，教师把握住这些关键词，确定该用什么方法解题。通常可用“1±对应分率”的模式套用。另外，题中告诉我们单位“1”的量是已知还是未知也是我们解题的重要一环。我们已经知道如果单位“1”的量是已知的，可用乘法进行计算，如果单位“1”的量是未知的，可用除法进行计算。如例1单位“1”是“购买的大米数”，是已知的。题中的关键词是“少”。那么就可列式为：450X(1－1／5)。例2中“五月份捕鱼的吨数”是单位“1”，是已知的，列式为：2400X(1+1／4)。例3单位“1”是“九月份的水电费”，是已知的，题中的关键词是“节约”，可列式为：480×(1－15％)。同理例4可列式为：408÷(1－15％)。因此，按照此思路解题，既容易判断又通俗易懂，这样就把较复杂的分数乘除应用题转化为浅显的题目了。

教学有法，但教无定法。以上是解决分数乘除法应用题的几种基本模式。而应用题是灵活多变的，学生在数学学习中如果一味地围绕课本的公式、例题转，程式化、机械性地解题，对知识缺乏透彻的掌握，对题目的数量关系不做具体分析，是不可能把应用题学好的。具体题目还需作具体的分析，否则就容易出错。如：前进小学上个月买煤500吨，这个月比上个月少买2／5，这个月少买多少吨?这道题只要求“这个月比上月少买多少吨?”如果不作仔细的分析，容易错误地做成：500X(1－2／5)，而正确的算式是：500×(2／5)。

由此可见，使学生灵活掌握应用题的解题技巧，仅凭套模式列式是不可能的，还需拓宽学生的思维。我的做法是：

首先，题目条件或问题轮换。学生在做此类题目时，教师应时常改变部分条件或问题，再让学生列式。举一反三，既拓宽了学生的思维，又巩固了新知。

此次，培养学生应用题创编能力。教是为了不教。教师教会学生较复杂的分数乘除应用题的解题方法和技巧，学生就能触类旁通。同时，也培养了学生灵活分析应用题的应变能力，更调动了学生学习数学的积极性，从而让学生体会到应用题的内在变化规律。

篇3

分数、百分数乘法、除法应用题在小学数学应用题教学中占有相当重要的地位，也占有相当大的比例，在日常生活和生产建设中也有着广泛的应用，是小学数学教育教学中重要的一部分内容。其特点和解题方法表现为：

题目的抽象性、复杂性和题型的多样性。

分数应用题虽然复杂多变，但不外乎有这样两种类型：一是：或×或÷；二是：×、÷号的后面或（1+分率）或（1-分率）。究竟什么情况下用乘法，什么情况下用除法的关键是找准单位“1”。分数应用题中单位“1”是有规律可循的，为了帮助学生记忆和理解，我编了几句顺口溜：

做题先把“1”来找，加减乘除分清好；是、比、占、相当于，前后词语要分清。前是比较，后“标准”，知“1”用乘，求“1”除，乘除关系要弄清。无论是乘还是除，数据分率要对应。这里的“1”，就是单位“1”，也就是“标准量”比较就是比较量。

在有分率句子中的“是”“比”“占”“相当于”等词语后面的量，即是表示单位“1”的量，“的+分率”前是单位“1”，也可以用“的字前、比字后”来判别单位“1”。

篇4

仔细想想也确实是这样，教材采用“部分+部分=整体”的设计思路，将稍复杂的分数实际问题分解成稍复杂的分数乘法实际问题和稍复杂的分数除法实际问题，逐个教学。这种分割开的教学，使得学生的思维处于一种低水平状态：单独教“我”还会，放在一起“我”就糊涂；也使学生丧失了用分数乘除法意义来思考解决稍复杂分数实际问题，并进行有效对比的机会。加之苏教版没有单独的稍复杂分数除法实际问题的例题，而是与稍复杂的百分数实际问题以及解决问题的策略相结合，这又给学生学习带来了更大的困难。

系统论强调，“整体功能大于各部分功能之和”，“把事物分割开研究，然后综合，即使综合得再好，也只是一种拼凑”。出于上述的思考，我决定用“整体教学”的思想，对稍复杂的分数实际问题的教学进行尝试。

一、 分析教材，设计整体思路

分析教材，不难发现“稍复杂的分数乘除法实际问题”主要包括两类，一类是“部分数与总数”问题（部总关系），另一类是“多（或少）几分之几”问题（比多比少关系），共有6种例题。分别是：

第一类，部总关系，共有2种。

（1）六年级有500名同学，男生占 。女生有多少人？（2）六年级有女生300人，女生占六年级总人数的。六年级共多少人？

第二类，比多比少关系有4种。

（1）杨树有60棵，柳树比杨树多。柳树有多少棵？

（2）杨树有60棵，比柳树多。柳树有多少棵？

（3）杨树有60棵，柳树比杨树少。柳树有多少棵？

（4）杨树有60棵，比柳树少。柳树有多少棵？

在实际教学时，分成2个课时，第一课时教学“部总关系”的2道例题；第二课时教学“比多比少关系”中的前面2道，学生自主尝试后2道题。这样设计的好处在于，教材中对稍复杂的分数乘、除法实际问题的教学是离散的，而集中起来教学可以优化知识的结构。事实上由于这样的6道例题属于同一范畴的思维方式，解题的依据都是运用分数乘法的意义。同时将分数乘除法实际问题放在一起教学，又便于学生比较、分析这两者之间的区别与联系，有利于学生从整体上理解和把握稍复杂分数实际问题的解题思路。

二、 比较研究，形成数学模型

以教学“部总关系”为例，首先运用线段图分析题目中已知什么，要求什么，让学生明白这两道题的形式是相同的，只不过已知条件与要求的问题不同。

其次抓住关系句，让学生分析数量关系，进一步发现两道题的联系：本质上看这两道题是一样的，只不过第一题单位“1”的量是已知的，所以可以用乘法计算；第二题单位“1”的量是要求的，可以用除法或方程计算，但无论哪一道题，都是用“总人数-总人数×=女生人数”这样的一个相等关系来思考的。

其三是跟进练习，让学生进一步明确什么情况下用乘法计算，什么情况用除法或方程计算，帮助学生厘清乘除法实际问题之间的区别与联系，从而建立有效的解题模型。

三、 调整练习，促进思维发展

在尝试实践时，笔者将分数乘除法实际问题的练习重组，使两者之间的练习交叉分布。每次练习的过程中，既有分数乘法实际问题，又有分数除法实际问题，这样的练习设计，题目还是原来的题目，并没有增加数量，只是调整了顺序，因此没有加重学生的学习负担。但经过重组后的练习设计，更有利于学生从整体上去分析数量关系，并根据分数乘法的意义或所掌握的解题模型来判别是用乘法计算，还是除法或方程计算，而不是简单的模仿或记忆。

这样的处理，明显促进了学生思维能力的发展。在几次测试中，笔者所任教的班级解答这类实际问题的正确率比同轨班级高出许多，甚至第二类（比多比少关系）实际问题的正确率达到100%，也很少有学生将乘法与除法相混淆。这也说明，用整体思想来设计“稍复杂的分数乘除法实际问题”的教学是可行的。

虽然这仅仅是一个个例，但也足以给我们一些启示：

篇5

一、情境游戏，导入概念

在学习数学的过程中，会遇到许多专业名词，对于正在学习数学的小学生来说，这些专业名词非常不好理解。在这种情况下，教师需要将专业名词结合进情境游戏，在游戏中导入专业名词的概念，让学生在游戏中理解概念。

在为小学五年级数学课程教学《统计表和条形统计图》一课时，我就结合情境游戏为学生们讲解统计表和统计图的概念。我在课堂上问了一下学生们，发现学生们对统计表和统计图这两个概念了解片面。于是我就结合现有道具为学生们开展情境游戏，我首先将学生们分为三组，然后向每组的成员随机发放不同颜色的粉笔，在确保每一位学生都分到了粉笔之后，我让每组选出一个代表自行统计所在组粉笔的数量以及不同颜色粉笔的数量。统计出自己所在组的粉笔总数和各个颜色粉笔的数量之后，再要求他们将颜色和数量相对应地制作成表格和图表。在完成所有工作之后我就以他们制作的表格和图标对统计表和统计图两个概念进行讲解，这样就很容易让他们理解什么是统计表什么是统计图，以及这两种图表的作用是什么。

我用情境游戏的方法很容易让学生理解“统计表、统计图”两个概念，这样教学的效果比传统的灌输讲授式的效果更好，而且学生对这种教学方法也表现出浓厚的兴趣。游戏教学法只是在传统教学法的基础上进行变通改革，但取得的教学效果比传统教学法要好很多。

二、角色游戏，理解数理

现在为了满足对学生综合性发展的要求，国家将代数课程和几何课程二合为一成为数学，所以学生学习数学需要了解掌握代数和几何的所有知识。但一些难懂的数学知识用传统的教学法无法使学生充分理解，但是用游戏教学就会达到事半功倍的效果。

在为小学六年级数学课程教学《分数乘法与分数除法》一课时，为了使学生们更容易掌握记忆分数乘除法的运算规律，我用游戏的方式帮助学生们。游戏规则大概如下：学生们每人分得一块写有分数的牌子，这些分数都是预先算好的，在游戏开始之后，需要学生们迅速找到自己的分数和另外一个分数的乘除运算结果，如找到伙伴，他们俩就需要找到“结果”。在规定时间未找到伙伴或者“结果”的视为出局。在游戏刚开始阶段，学生们对寻找伙伴和“结果”还不太擅长，有很多人未在规定时间内完成比赛要求而出局，但在第二轮之后学生们逐渐对分数乘除法摸索出和的规律方法，很快就能找到自己的伙伴和“结果”。看似简单的游戏里面深含分数的运算规律，而且需要学生们“眼疾手快”，在找到伙伴的前提下迅速找到“结果”。用这个小游戏教学时发现学生们对游戏有很大的兴趣，而在游戏中学生们还能加强对数学知识点的理解和记忆。

分数乘除在小学数学中算是比较重要的知识点，但很多学生在学习这一知识点时，由于知识比较抽象，再加上理解不透彻，很容易对这一知识点不能完全掌握。而用游戏化教学之后，学生就很容易掌握其中的运算规律，并且很愉快地接受这一知识点。

三、互动游戏，碰撞思维

数学教学不能只有教师的讲授，要让学生参与进来才能更好地提高学生学习的效率。互动游戏是在学生和学生之间或者学生和老师之间进行互动，这种互动能提高课堂氛围，调动学生学习兴趣。所以在数学教学中利用互动游戏的方法可以让学生在较高的课堂气氛专注学习数学知识。

比如在为五年级数学课堂教学《小数的乘法和除法》一课时，我通过“小数乘除接龙”的游戏让学生熟练掌握其中的规律。游戏规则大概如下：首先由教师给出两个分数，第一位开始的同学用这两个分数分别进行乘除运算并计算出结果。在符合运算规律的前提下，第二位同学用第一位同学的结果再进行乘除运算，以此类推。比如老师给出1.2和2.4两个小数，第一位同学对两数分别进行乘除运算，运算得到的结果符合运算规律，所以第三位同学用2.88和0.5进行乘除运算。规则还规定如果运算结果出现整数，就有算出整数的同学给出相应的小数，要求每位学生有一分钟的时间进行运算，超过时间或者没有正确算出结果者被认定为出局。这个游戏考验学生计算能力的同时还考验学生的思维能力，通过这个游戏，可以让学生们熟练掌握小数的乘除运算，而且在游戏阶段学生们会进行思维上的碰撞，形成良好的竞争意识。

这个简单的互动游戏能在提高W生学习兴趣的同时保持课堂较高的课堂气氛，这是传统教学无法做到的。可见利用游戏教学不仅提高学习效率，还能改善传统教学枯燥乏味的现状，同时还能改善传统教学单一的教学方法。

篇6

片段一：加减法，从本质上找联系

师：（手指黑板上的课题）同学们今天我们复习的内容是――四则运算。四则运算是指哪几种运算？

生：加、减、乘、除。（竖着板书：加、减、乘、除）

师：有哪几种数的加、减、乘、除四则运算？

生：整数、小数、分数。（横着板书：整数、小数、分数）

师：（出示作业纸上第一题）今天陈老师给大家带来几道题目。请同学们看一看。（停顿10秒）你觉得哪几道题比较容易？

生1：我觉得 ① 35+416 ② 3/4+ 2/5 ③ 51.7-3.48比较容易。

生2：我觉得 ⑦ 4/5×2/3 ⑧ 2/3÷1/18也比较容易。

师：刚才同学们点到的题有①②③⑦⑧。看来有部分同学觉得像这样的（手指①②③）加减法比较容易。为什么？

生：因为只要数位对齐算就行了。

师：你们指的数位对齐算是指――（手指黑板上的三类数）

生：整数、小数。（在“整数”和“小数”下方板书：数位对齐）

师：为什么要数位对齐呢？

生：数位对齐，计数单位就统一了。

师：也就是说相同的计数单位才能相加减。

（在“数位对齐下方”板书：相同的计数单位）

师：整数、小数的加减法只要数位对齐就能算了，那分数的加减法又是怎么算的？

生：分母相同的分数，分母不变，分子相加减。

师：除了分母相同的情况之外，还有没有其他情况？

生：分母不同先通分，然后再加或减。

师：为什么要通分呢？

生：为了统一分数单位。

师：看来所有的加减法道理都是一样的DD，就是把相同计数单位上的数相加减就可以了。方法简单，道理一样，这是你们喜欢加减法的原因，对吧？

……

【设计意图：在上课之前对学生进行了前测，拿着自己出的练习题叫学生指出最喜欢算哪几题？最不喜欢算哪几题？发现学生比较喜欢算整数、小数、分数的加减法，分数的乘除法；不太喜欢算小数的乘除法。问学生为什么喜欢？答案很简单，容易算。整数、小数、分数四则运算的计算方法粗粗分有12条，细细分就更多了，如果一条一条讲显然太单调、太枯燥。更何况有些计算方法学生不会讲或讲不完整，但不代表他不会做或不理解。基于以上的几点考虑，我决定不一条一条回忆，让学生从各种算法之间的共同点着手，找到算法与算法之间的联系，把有联系的算法进行沟通，达到更好、更快、更简单的掌握各类算法的目的。同时又在原有旧知上有所提升，从“旧”中出“新”。课一开始直接揭题，接着抛出两个问题：“你觉得哪几道题比较容易？”“为什么？”找到整数、小数加减法算法的共同点“数位对齐”，本质就是“相同的计数单位才能相加减”，接着再沟通分数加减法与整数、小数加减法的共通点“通分，本质也是相同计数单位才能相加减”。这样一来就透过整数、小数、分数加减法算法的不同表象，发现了相同的本质，使学生对算法的理解更加透彻和深刻。】

片段二：乘除法，从转化中找联系

师：这些题目中你们觉得哪几道题比较难？

生：1.25×1.3，5.6÷0.35

师：看来大家都觉得小数乘除法比较难。为什么？

生1：小数乘法在计算时要把小数化成整数。

生2：小数点容易点错。

生3：计算小数除法时，要把除数是小数的转化成除数是整数的，再计算，转化时不小心会搞错。

师：看来在计算小数乘除法时都要―――

生：转化。（在“乘”“除”法右边板书：转化）

师：同学们对这样要转化过再来计算的题目，觉得比较烦，觉得比较容易出错。那么对这样容易错的题目你有什么地方要提醒大家的？

生：小数点不要移错。

……

师：带着这些注意点，拿出作业纸，静静的完成作业纸第一题。

……

师：刚才同学提到这两道题（1.25×1.3，5.6÷0.35）比较容易算错，其实这两道题容易错在哪儿？

生：小数点。

师：谁能结合1.25×1.3这道题来说说，积的小数点怎么确定的？

生：先把1.25化成整数，小数点向右移动了2位，把1.3化成整数，小数点向右移动了1位，得出答案之后再移回去。

师：扩大了，后面要怎么样？

生：缩小回去。

师：所以小数点的这个点点在哪里，跟谁很有关系的？

生：跟两个乘数里小数的位数有关。

师：乘数里面一共有几位小数，积里面就要点出几位小数。

师：那小数除法又是怎么算的？

生：先把除数转化成整数。

师：转化的时候要注意什么？

生：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要同时向右移动几位。

师：这里运用了什么性质？

生：商不变性质。

师：乘除法中小数点还要跟原来的对齐吗？为什么？

生：因为在计算的时候是转化过的。

……

篇7

教学过程与评析：

案例一：整数除法的意义

师：（出示例1）上周末，老师在超市买了3盒水果糖，每盒水果糖重100克，3盒有多重？

学生根据数学信息列出算式：100×3=300（克）。

师：根据100×3=300（克），请改编成两道整数除法算式及问题。

学生同桌交流，教师巡视，汇报结果。

师：100g=■kg，结合前面的信息，你们能提出哪些问题，写出哪些分数乘、除法算式？

生：小组合作完成变式，汇报结果。

师：（展示学生改编的问题及变式成果）

教师引导学生观察比较整数乘除法的问题和改写后的问题，得出整数除法和分数除法的联系及分数除法的意义，即分数除法就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

评析：“数学教学要从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会。”案例中教师就改变由复习旧知引入新知的传统做法，直接利用贴近学生生活实际事例引入课题，这样的导入引发学生参与的积极性，使学生感到数学就在自己的身边，在生活中学数学，让学生学习有价值的数学。

案例二：分数除以整数

师：（出示例2第一个小问题）把一张纸的■平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？同学们小组动手探究一下吧！（活动要求：学生先独立动手操作，再在组内交流。通过折一折、涂一涂、算一算，能发现什么规律？有什么问题？）

小组讨论：（1）从折纸实验和计算来看，你发现计算分数除以整数可以怎样计算？（2）整数可以为0吗？

小组汇报：

方法一：把■平均分成2份，就是把4个■平均分成2份，每份就是2个■，就是■。

方法二：把■平均分成2份，每份就是■的■，也就是■×■。

■÷2=■×■=■=■

最后，同桌之间相互说说算理，四人小组比较以上两种方法。

师生小结：第一种情况会遇到被除数的分子不能被除数整除时，如把■平均分成2分，就不能用第一种方法；而第二种就能用，所以第二种比较简单。

师：（出示例2第二个小问题）如果把一张纸的■平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？

生：（通过折纸独立完成例2第二个小问题。）

生：汇报结果。

■÷3=■×■=■

师：通过比较算式，你能发现什么规律？

师生小结：分数除以一个不等于0的整数，等于分数乘以这个整数的倒数。

评析：学生通过小组合作的方式，动手实际操作，通过折一折、涂一涂、算一算解决“把一张纸的■平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？”这一问题，由此引出把■平均分成2份，每份是■的■，也就是■×■；在此基础上，学生独立完成例2第二个小问题：“■÷3=■×■=■”。让学生在合作交流中发现、归纳出分数除以整数的计算法则。通过图形和图示等直观手段，进一步理解了分数除以整数的算理，很好地突破了教学难点。在解决问题的过程中，培养了学生的动手操作、观察归纳能力。

案例三：一个数除以分数

师（出示例3，小明■小时走了2km，小红■小时走了■km。谁走得快些？）：已知什么？

生：已知小明和小红各自的时间和对应的路程。

师：问题求什么？

生：求谁走的快些？

师：求谁走得快些？就是比较什么？

生：就是比较谁的速度快。

师：你能根据题意列出算式吗？

生：小明的速度是2÷■，小红的速度是■÷■。

师：小明■平均每小时走多少千米？

教师先引导学生画线段图分析：

学生小组合作计算，汇报展示成果，教师课件展示：

师生小结：一个数除以一个不等于0的分数，等于乘这个分数的倒数。

评析：案例三，教师仍采取了“放”的形式，让学生对例题中提出的问题积极思考，团结协作，尝试解决，较好地调动了全体学生参与教学活动的积极性，培养了学生的动手操作能力，同时，使学生对分数乘除法的内在联系有了进一步的认识。

总评：这是王庆书老师开展“小团队计算教学实践”活动的一个教学案例，这一案例的教学亮点主要有：

1.激发了学习兴趣，促进了思维的发展。

本案例的教学情境不仅使学生易于掌握教学知识和技能，而且增强学生学习过程中的情感体验，使数学学习变得生动有趣，能激发学生的学习兴趣。

2.化抽象为具体，化抽象为直观。

化抽象为具体直观，对于顺利开展教学、突破教学的重难点来说，是非常必要的。案例中，教师通过改编除法问题，折一折、涂一涂、算一算，用线段图帮助分析等实际操作，直观地解决了“分数除法的意义、分数除以整数、一个数除以分数”三个问题。

篇8

关键词：分数应用题；教学；单位“1”

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）11-0146-01

应用题教学是小学阶段的一个重点，也是一个难点，多数教师在教学这一内容时，都感到学生难以理解与掌握，而分数应用题更是让学生学不好，教师难教，学生难学。那么，怎校才能让学生能更好地学好分数应用题呢？根据我多年的经验，我认为要做到以下几点；

一、激发学生兴趣，消除惧怕心理

对于小学生来说，应用题是一个难度比较大的内容，特别是分数应用题，学生不理解，不会解题，教师讲解也似懂非懂。正因为这样，学生解不了习题，就会产生惧怕心理，失去学习的兴趣。兴趣是最好的老师。行为科学的研究表明：如果一个人对所从事的工作有兴趣，那么，他的工作积极性就高，就可以发挥其全部才能的80%；如果一个人对他所从事的工作没有兴趣，那么，他的工作积极性就低，只能发挥其全部才能的20%左右。对于学生的学习来说同样如此，因此，在教学中，教师除了精讲详讲外，应该多鼓励学生，使学生产生探究、努力学好的兴趣，才会对分数应用题不惧怕，才会努力去学习解答方法。

二、弄清分数乘除法的意义，以便正确解题

学生不能正确解答分数应用题，往往是弄不清分数乘除法的意义造成的。因些，在教学中，应当加强对乘除法意义的理解。数学知识存在很大的连贯性，教师还要多结合实际，让学生掌握各类应用题的解法，举一反三，通过练习，达到融会贯通，从而掌握分数应用题的解法。

三、让学生找准、抓住单位“1”

解答分数应用题的关键进找准、抓住单位“1”。在未接触分数应用题前，学生多数解答应用题还得心应手，但接触分数应用题后，特别是分数乘除法应用题，就弄不清了，往往是乘法应用题用除法来解，除法应用题用乘法来解，原因是找不准、抓不住单位“1”。因此，在分数应用题教学中，教师 要教会学生找准单位“1”。怎么找呢？一般来说，题中谁的几分之几、占谁的几分之几、相当于谁的、比谁的多（少）……就把“谁”看作“1”。如，一条公路长300米，修了全长的 ，修了多少米？“全长的 ”，就是把这条路看作“1”，把一个整体平均分成5份，修了其中的3份，而“1”所表示的量是全长的长度，是已知的，就用乘法计算，列式：300× 。而另一类型也就是除法应用题。如：一条路，修了180米，是全长的 ，这条路长多少米？“是全长的 ”也就是把“全长”看作单位“1”，它所表示的量是未知的，应该用除法进行计算。列式：180÷ 。只要教会学生找准、抓住了单位“1“，并掌握单位”1“是已知的用乘法，是未知的用除法进行计算这一要领，学生解答分数应用题就易如反掌了。

四、揭示知识的内在联系,教会学生进行知识迁移

分数乘法的意义与计算法则是建立在整数乘法的意义与计算法则的基础上,由此,教材在先讲分数乘以整数时,安排了两个复习内容,一是求几个几是多少,怎样列式?突出整数乘法的意义;二是同分母分数相加,为学习分数乘以整数的计算方法作好准备。教学时,就应紧紧抓住这两个复习内容,通过复习旧知，导出新知,运用旧知学习新知,使学生掌握学习新知识的迁移规律和迁移方法。教学例1就可分四步走:第一步,揭示例题,理解题意,抓住2/9块是什么意思,画出图示；第二步,引导学生想:每人吃2/9块,3个人就吃了3个2/9块,用以前学过的分数连加的方法求3个2/9是多少?并列式计算;第三步,引导学生根据整数乘法的意义,把连加算式改写成乘法算式;第四步,归纳出分数乘以整数的意义就是几个相同分数连加的简便运算;计算法则就是用分数的分子和整数相乘的积作分子,而分母则不变,能约分的先约分,可使计算简便。从而使学生从整数乘法的意义和计算法则,通过迁移较好地理解和掌握其分数乘以整数的意义及计算法则。

又如,带分数乘法,通常先把带分数化成假分数,学生先对通常难于理解,教学中就可通过揭示知识的内在联系,运用迁移的方法来帮助学生理解。如出现算式后提出:你能用以前学过的知识,用不同的方法计算吗?学生就会出现三种计算方法:一是把带分数化成有限小数，运用小数乘法计算;二是根据带分数的意义,运用乘法分配律来计算;三是把带分数化成假分数来计算。从比较中,学生不难发现,显然方法二是很麻烦的,就会感到方法一与方法三是简单的,这时教师再让学生计算,学生发现不能化成有限小数;从而看到带分数乘法把带分数化成小数来计算只有特殊性没有普遍性。从而认识到分数乘法中有带分数的,为什么通常先把带分数化成假分数,然后再乘的道理。

五、强化训练，熟能生巧

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【关 键 词】 CM版小学数学教材 ； 数与运算；编写特点

【作者简介】 牛梦雪，天津市津南区小站第六小学教师。

一、导论

“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？”著名的钱学森之问困扰着一代代的教育工作者。教材作为教师进行教学的好帮手，在教学过程中扮演着重要的角色。笔者欲通过对美国小学数学教材的研究来探索：到底美国的小学教材有何特点？其在编写过程中能否达到“螺旋上升式”的教材编写要求？

笔者认为，从1989年美国出台《学校数学的课程与评价标准》，历经1991年《数学教学专业标准》，1995年《学校数学教育的评估标准》，再到2000年《原则和标准》的正式出版，美国小学数学教材在编写中所面临的问题，以及美国数学教育改革走过的风雨历程或能为我国的课程改革提供一定的借鉴作用。虽然我国对教材的研究和评价已日趋成熟，但由于各国各地区在不断进行着课程的改革和教材的优化，故对教材的研究始终是一个富有探索空间的领域。

在《原则和标准》中，将数学教育的标准归纳为以下几个部分：数与运算、代数、几何、度量、数据分析与概率、问题解决、推理与证明、交流、关联和表征，共十个大类。笔者在研究的过程中以我国2011版新课标为隐性参考对象，从其中选取“数与运算”这一部分作为主要研究对象，期望能对我国小学数学教科书的相关部分改革有所启示。

在我国课程改革如火如荼进行的大背景下，许多专家和学者也对东西方的数学课程教材设计怀有极高的研究热情，这也为本研究的开展提供了较全面的参考和指引。

二、CM版教材中“数与运算”内容的教材编写概述

美国大多数州的学制为“五三四制”，即小学五年、初中三年、高中四年。《原则和标准》中根据美国的学制也对“数与运算”做出明确的具体要求：①理解数、表征的方法、数量关系及数系；②理解运算的意义及各运算间的联系；③熟练地计算并进行合理的估算。也就是说，数与运算既包含对数的认识，分类和性质，同时也包括数和算数的深刻理解和熟练运算。在CM版教材中，每一册书都将数感（Number Sense）作为第一章，足以见得数感在儿童最初接触数学中所应占有的重要地位。我国将数感纳入到课程标准是在2001年，但是在教材的编写过程之中却没有像CM版的教科书一样，在目录上很明确地将其标识出来，当做一个基础的章节来学习。数学的学习是儿童生活经验的延伸和提高。根据皮亚杰的认知发展阶段理论来看，小学阶段的儿童处于具体运算阶段（7～11岁），该时期的儿童在认知结构上已经发生很大的重组和改造，具有一定的思维弹性，对质量守恒概念图1目录中用红色标识出的“代数学”的掌握也已趋近成熟和稳定。CM版教材在内容的比例安排上符合儿童的认识和思维水平发展的特征，有利于培养儿童的抽象思维、空间想象思维和创新意识。

仅次于“数与运算”的是代数，这是因为代数的基本概念和模型的学习是跟数与运算的学习密不可分的。在该版教材的目录上，都明确的将教材中涉及到代数内容的部分标注出来（如图1）。

数和数的运算的学习贯穿于整个小学阶段，学生对于它的学习重点在于：发展数感、理解数和运算以及进行熟练的算数运用。其中，“发展数感”是CM版教材中“数与运算”部分在教材编写中应重视的“核心概念”，主要包含有以下几个方面：

1. 数的理解。包含对自然数、分数、小数和百分数的理解。在对自然数的理解中主要为对1000以内的数的理解，并在理解数的表征的过程中提升学生的数感。以Grade1 Chapter1的Patterns and Number Sense（模式和数感）为例进行分析结果如下：

CM版教材运用“数苹果”的方式开门见山的引入0～10的数字表征。其既呈现“苹果”这一具体的物象，同时直观地列出各数间的大小关系，便于学生感受数字之间的大小关系，产生0到10之间是逐次递增的数字逻辑（如图2）。

数学符号的学习，是学生打开数学学门的至关重要的一把钥匙。除要理解自然数的意义外，也要掌握数的认、读、写的方式。因此，笔者将我国人教版（2011版）与CM版在数的书写的教材表现上进行了对比（如图3）。

可以看出两者之间的相同点在于：（1）有具体实物呈现；（2）数字的表征都给出书写的表格，要求书写规范；（3）给出范例描摹。不同在于：（1）取图：人教版采用乡村生活的情境，符合我国的基本国情。而CM版采用的是与导入中相同的实物，有利于建立量和表征之间的联系；（2）人教版是顺序书写，CM版的采用的是乱序书写；（3）前者循序渐进地体现由具体的实物到图形到点数再到抽象的数字符号的过程，在数字符号的下方还有对应的珠子。笔者认为，该配图再现出思维的发展进程，便于儿童抽象思维的发展，但是排版不够直观；（4）人教版呈现多个的示范数字，便于学生在书写时养成规范书写的习惯。而CM版则只给出1个范例，给学生以展现自我个性的空间。总之，两版教科书在数的书写的教材展现上各有所长。

与自然数的学习区别较大的是分数、小数和百分数的理解。该部分主要集中于中高年级。主要原因是，这类数的学习需要建立在对基本的“自然数”的学习之上。对不同年级的学习要求也是层层递进。在Grade2中，对于分数的学习在于掌握分数的书写方法，要求掌握“1/2到1/12”的简单分数，并能够进行大小判断。而Grade3对分数的学习着重对分数意义的理解、对“单位1”概念的初步感知和灵活的运用（包括同分母的加减运算和与小数的转换）。Grade4逐渐侧重于分数的通分、约分等分数的基本性质的学习，以及运算。

“单位1”对小学生来说是比较不容易理解的抽象概念。故该书安排在Grade3，其引入“Models（模型）”来帮助学生掌握“单位1”的概念（如图4）。并且，在例题中也分别用三角形、四边形等来代表。由于其基本采用的是“规―例”的知识呈现方式，不够直观和明显，我认为类似于此的概念应当使用更加具体形象的图示来呈现，这样才更适应学生的认知情况。

2. 位值和估算。数的理解和数感的培养，离不开对位值知识的理解和掌握，在CM版教科书中有以上的三章是着重于对“位值”概念的理解和实际应用。

Estimate（估算）一词最早出现是在Grade1 Chapter8，其以Key Vocabulary（关键概念）的形式出现。 在学生掌握位值之间的关系之后的巩固练习中，有一题为“Estimate about how many. Circle the answer. （估算并选择答案）”此题结合估算能力的考察，并引入100以内数的大小比较。在对100以内的数的学习中，其重点除了在与对个位（ones）和十位（tens）的意义的理解外，还在于整十的估算（estimating with groups of ten）。如要求以10为一个群组来画圈，并估计总共有多少（如图5）。

由位值的意义学习到100以内数的大小的比较的内容安排来说，其充分考虑上下知识点之间的衔接，做到“位值”知识的承前启后。承前体现在本章的最开始巩固数的位值关系，是对Grade1 Chapter13： Place Value（位值）一章的回忆和深化，夯实基础。启后体现在为Grade3 Chapter1：Place Value and Number Sense（位值和数感）的学习做出铺垫。对100以内数的估算和比较实际上蕴含的就是位值和数感之间的关系。有了本章的学习，在Grade3的学习会更加有条不紊，有利于之后对三位数的学习。

3. 运算与数感。该部分是“数与运算”知识内容的核心部分，主要将其细化为对运算的理解和对运算的熟练化。运算的学习划分为四部分：整数加减法的学习、整数乘除法的学习、分数和小数加减法的学习、分数和小数乘除法的学习。以下是以年级为划分，从以上四个部分的角度和对运算的理解以及对运算的熟练化两个维度来进行分析。

【Grade1】

整数加减法理解，主要通过图示来建立。图6为Grade1 Chapter2在对数的理解的呈现过程，先看图编故事，并用球来表示螃蟹的数量关系。接着引入部分整体板，让学生理解“Part（加数）”和“Whole（和）”的意义。最后用骰子抽象到加法等式和竖式的书写（加法的逆运算――减法，与之同理）。

在对运算策略的学习过程中，其重点强调运算定律的学习和“一题多解”的重要性。培养学生运用多种不同的方法来进行运算，并掌握适合自己的方法。在对12以内的数的计算中其主要呈现的方法有：数数法（count on 1，2 or3）、数轴法（use a number line to add）、倍数法（doubles）。在对20以内的数的加减法策略学习中，重点强调同一结果的不同运算过程和倍数法。

【Grade2】

Grade2在知识的编排上趁热打铁，首先进行加减法运算策略的教学。其重点为交换律，在加/减法的运算策略中，呈现了数轴数数法（count on to add/count back to subtract）；倍数法（doubles/use doubles to subtract）例如：6+6=12、5+5=10；近似倍数法（near doubles）例如：6+6=12+（doubles） 6+7=13（doubles plus1） 6+5=11（doubles minus1）；凑10法（make 10）。变式练习采用：三个数相加如何进行简便运算，其中暗含加法结合律的使用。

对于运算的理解，教材在编排时选择的对象为：整十数的相加（add tens）；凑整为十法（regroup ones to tens），如：27+5=20+10+2=32；只加十位或个位（count on tens and ones），如26+3=29、26+30=56。对三位数的加减法计算强调对运算结果的估算的学习，要求学生在计算三位数的加减法之前进行估算，以此来提升学生数感和对数量关系的把握。在乘法概念的学习中，其由平均分（equal groups）引入，进而建立起乘法与加法之间的联系――重温加法（repeated addition），最后以“数组（Arrays）”这一乘法模型来进行乘法的运算过程演示，同时教授乘法交换律。紧随其后的是除法概念的学习，在该部分的学习中，其主要是在除法与减法之间建立联系，之后通过平均分（find equal share）和与同班进行平均分（equal groups with remainders）两个环节，加深对除法的理解，同时促进学生的合作意识，也为下一章节学习分数做出良好的准备。在本章中并没有出现“九九乘法表”。

【Grade3】

第三册的学习重点为加减法的熟练应用和乘除法运算的进一步理解和熟练应用。

加法的学习重点在运算定律的学习和多位数加法的和的估算。本册书的核心概念中提出：加法交换律、加法结合律的运算定律模型，同时提出计算最优化数学思想；再以具体的情境为题，考察学生的问题解决能力；最重要的是涉及到对多位数加法的和的估算（将加数化为整十整百的数进行运算）；贯穿在其中的一节是专门解决钱的加法问题（add money）；最后是较大数的加法（add greater numbers），也是整部书中四位数的运算第一次被提到。而对于减法的学习，其重点在加减法竖式的验算和多位数减法的差的估算。对乘法概念的理解和Grade1一样，采用“数组”的形式进行，并加入对乘法的应用。依序学习一位数乘以0～10的结果，总结一个10以内的数乘以0～10的结果，并用“乘法表”表示出来，该部分也涉及乘法结合律和交换律的学习。反之，对于除法的学习和应用，其主要是以“平均分”为抓手，力求采取多种计算方法来进行运算，并采取引入乘法和除法的关系来加深学生对“除法是乘法的逆运算”的理解。主要采用的模型是数轴，在整章的学习中涵盖以1～9为除数的除法的计算。

【Grade4】

本册书的学习的重点明显由加减法转向乘除法，对于数感的学习也由“数”转向“运算”，内容涉及整数和小数的加减法，重难点是借位减法。对于分数和小数的学习，本册书分别用两个独立的章节。分数学习方面，教材着重强调“单位1”的概念，并用多种例子来呈现（如图7）。

同时，对于通分和约分的学习把握“等值”这一概念，帮助学生理解“分数的分子和分母同时乘以或除以同一个非0的数，分数的大小不变”。教材也将带分数的书写和计算编入，并突出通过数的大小的比较来培训学生的数感。在该部分的练习题中还穿插着一元一次不等式的计算。本书最为重要的是对乘除法的学习，集中于对一位、两位乘数或除数的学习。在准备阶段，其运用数轴和区域图的模型来进行乘法的理解和计算的引入（如图8），接着便是大量的巩固练习。在这基础之上，用“乘法表”强调乘法和除法之间的关系，并借用大量的问题解决题来强化对乘除法的应用。学习上，也对学生提出更高的要求。从内容上看，更倾向于对计算值的估算的学习和对问题解决策略的选择，从Grade4中可以明显的体会到，CM版教材更注重的是学生反复的练习和巩固，以及在问题解决中学会用多种方解决实际问题。鼓励学生运用不同的计算方法进行计算，并选取适合自己的方法掌握，向学生渗透“最优化”的数学思想。

【Grade5】

本册书的重点内容在于分数和小数的加减运算和乘除运算，以及分数和小数直接的转换，还加入对百分数的理解和运用，但在运算部分并不做较高要求。

在小数的加减法中，其主要运用数轴和位值的数学模型学习数的大小比较、用四舍五入的方法进行加减法的估算、将小数加减法运用到问题中解决；对于小数和分数的关系，主要通过将分数条和数轴相对应的方式将分数在数轴上表示出来、强化对通分和约分的理解、对非正常分数（带分数）进行介绍、最重要的是对分数和小数的互换进行重点的练习。本章的学习中，异分母分数（含带分数）的相加减是一个重难点，图9为异分母分数加法的模型，通过分数条和通分的方法来计算；同样的，对于分数与小数的乘除法，其主要也是采用引入模型的方法来教学，之后运用大量的例习题来巩固运用。并且在分数和小数乘除法的学习过程中，重点强调计算过程中对计算结果估计的重要性。

总的来说在“数与运算”部分教材内容的选取上，我们可以总结出――下几个特点：①内容选取上：对数的理解选择常见的万以内的自然数、分数、小数、百分数，运算主要针对数的加减运算和乘除运算；②强调对数的整体感知、对数的性质的理解、不同数的不同使用场所、数与数之间的相互转化；③教材编排中，倾向于学生位值的理解、对数大小的比较和估算在数的理解中的重要作用；④数的运算的学习，也是由浅入深，层层递进：由整数到分数、小数，由加减法到乘除法，由1位数之间的计算到多位数的计算；⑤大量运用数轴、矩阵、分数条等数学模型，加深对数的理解和对运算的掌握，强调对运算结果估算的重要性；⑥计算过程中，强调对结果的估算。

CM版教材的编写重点在提升学生对数学的理解能力上。虽然应用类的题目所占比重并不很高，但是“问题解决三部曲”模块很好地弥补了这一漏洞，甚至可以说是锦上添花。开放性问题的比重也很小，但Grade3-Grade5每一章都至少有一道开放性题目。足以见得，开放性题目的不可替代的地位。单纯的从运算的角度来说，该教材对一步运算和无运算十分重视，对二步及以上的运算要求极低，从这个角度来说，CM版教材对运算的难度略低于我国。笔者还发现，各个章节中的无运算的题目中，除了对概念的考察之外，重要的是对“估算”技能的考察，在习题的编写过重中也十分重视对“数感”的培养。

四、CM版教材编写的总体特点概述

通过分析，我们看到在CM版严格按照《原则和标准》的要求，循序渐进地安排学习内容。在此基础之上，结合学生认知发展水平和理解水平的发展规律进行教学内容的编排，并且相同维度的学习内容在不同年级都有出现（详见附录一）。例如，Grade2-Grade4中都有“Fractions（分数）”。显而易见的，在不同的学习阶段，其所学的内容和难度逐步提升，根据各阶段儿童知识和能力的发展水平也提出不同的标准，从而呈现一种“螺旋式上升”趋势，符合布鲁纳“螺旋式课程编写”的思想。这些学科的基本知识随着学生年龄的增长不断的拓展深化，能够更有效地把握学生的最近发展区，促进学习能力的提升。

CM版教材的习题类型丰富多样，正式课文中的例题和随堂练习的图片丰富，用色鲜亮。课后的检测练习中则是以题目为主，配图较少，色调以简单的绿色、或黑白灰为主。整体上将授课内容和练习模块明显的区分出来，对比鲜明。教材很重视“数感”的培养和提升学生对数学概念的理解能力、问题解决的技能。

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应用题之所以难学，本身一般比较复杂是一个原因，但从教学法来说，更重要的是解题思路（思维过程的顺序、步骤与方法）缺乏应有的训练，使许多学生感到问题无从下手，不知道怎样去想。对于这一点，我们只要把它同计算题作一比较，就清楚了。如做计算题时，学生对运算法则、运算顺序和步骤，都是清清楚楚的。学生的思维过程同运算顺序是一致的。计算的每一步都在式子里反映出来，看得见、摸得着，学生计算得对与错一目了然。计算题通过训练学生容易掌握。而解应用题就不同了，学生要了解题意，分析条件与条件之间，条件与问题之间的各种数量关系，要通过分析、综合，找到解题的途径和方法。从审题到列出式子，思维过程少则也有几步，都是用内部言语的形式进行的。这种用内部言语进行的思维过程，教师既难以知道学生的思维是否合理、正确，有无错误，更难以进行有针对性地训练。对于这样的问题，我根据学生智力活动的形成是从外部言语到内部言语这个特点，在应用题教学中设计了一套教学方法，使学生的解题思维过程化，有计划有步骤地训练学生的解题思路。

我在应用题教学中，以培养解题能力为中心，设计编排题组对比练习，反复系统地进行训练。以最典型的变式对比训练为例：

1.对比叙述方法。就是题意不变，仅改变题中某些词、句的叙述方法。如关系句中“苹果的筐数是梨的3/2”，改为“梨的3/2 相当于苹果的筐数”。 再如：我把例题改造成有一块果园，梨树的种植面积是6000平方米，桃数种植面积是梨树的3倍，桃数种植面积是多少平方米？学生准备练习后，我依次将其中“3倍”改为0.4倍、2/5、40%。引导学生小结：当数量之间的倍数小于时，通常说成几分之几（或百分之几），可以看作分数倍。那么求一个数的几倍用乘法计算，求一个数的几分之几也用乘法算，理解时可以把分数（或百分数）当作倍数来思考。这样就大大减轻了学生思考的负担，从中也渗透了类比的数学思想。

2.对比重点词语或关键句。重点词语是连接条件与条件，条件与问题的纽带。它是引导学生理解题意，分析数量关系，寻求解题方法的主要线索。比如把单位“1”的量和比较量交换位置，就直接关系到解题时是用乘法还是除法。再如，把关键字“多”改成“少”，，也直接影响到分率的计算。

如：梨树是桃树的3/5，梨树比桃树多3/5，梨树比桃树少3/5

3.对比已知条件。

如：一根绳用去一部分还剩15米，还剩这根绳的2/3，这根绳长多少米？

一根绳用去15米，还剩这根绳的2/3，这根绳长多少米？

通过对比，明确所给已知量对应的分率不同，解题方法就不同。

4.对比问题。就是条件不变，只改变应用题的问题。改变应用题的问题，不仅使题意发生了变化，而且使解题的思路和具体方法都随之发生了变化。

如：一根钢条长5/8米，用去1/4，还剩多少米？

一根钢条长5/8米，用去一部分后还剩1/4，还剩多少米？

5.系统题组训练。就是把应用题中的关键句、关键词，使题意大变，从而导致分析方法、解题方法的改变。

系统题组对比训练的教学过程，就是数量关系不断进行变化的过程。由于形式的多样性、灵活性和复杂性，有利于培养学生思维的广阔性、灵活性和深刻性。思维越广阔，变的途径就越多；思维越灵活，变的式样就越新颖；思维越深刻，变的内容就会越复杂。所以，有利于培养学生良好的思维品质。

总之，就分数乘除法应用题的教学而言，我觉得如果教师能在教学中强化单位“1”，抓住解题的关键，掌握方法认真分析，找准切入点，从多角度思维找到不同的解答方法，就能够突破分数应用题的教学难点，从而使教学更加有效。在实际应用题的教学中，由于后进生的学习比较肤浅，流于表面，解答的过程仅是一个套用模式的过程，缺乏真正方法上的理解和应用。这就要求我在今后的教学中继续探索应用题的教法，使之更成熟有效。

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20xx年小学六年级数学期末复习计划书一、复习内容

1. 分数乘除法。

分数乘、除法属于分数的基本知识和技能，而且两者关系密切，教材将这两部分内容集中安排。教材首先通过一组题目，强调分数乘除法的关系，即分数除法是分数乘法的逆运算。同时对分数乘除法的计算方法进行了复习。比的相关概念、倒数的概念和计算、比的性质、比与分数及除法的关系等也是复习的重点，教材通过总复习的第2题和练十七的第3、4、5题进行了复习。

此外，用分数乘除法解决问题也是这部分的重点内容，主要包括求一个数的几分之几是多少的问题(含稍复杂的)、已知一个数的几分之几是多少求这个数的问题(含稍复杂的)等。教材把它们对照编排，便于学生弄清这几类问题的联系和区别，从而更好地掌握解决问题的思路，即先明确单位1，再看单位1是已知还是未知来确定解决问题的方法。为了让学生更好地掌握分析方法，总复习的第5题和练十七的第7题还安排了需要两次判断单位1的练习。

2. 百分数。

百分数内容的复习重点放在百分数的应用，紧接在用分数乘除法解决问题后编排，这样可以使学生看到它们在结构、解题思路上的一致性，便于加强知识间的联系。百分数的概念没有单独复习，但它是百分数应用的基础，因此要注意进行复习。总复习的第6题是求常见的百分率的问题，通过给出计算公式，既复习百分数的意义、百分数与分数及小数的互化，又可复习求烘干率等类似问题。第7题为稍复杂的百分数的应用问题。练十七的第13、14、15题安排的是有关百分数的习题，其中第15题涉及国债、纳税、利率等内容的复习。

3. 空间与图形。

这部分内容包括位置与圆的复习。

在第一学段中，学生已经会用第几组、第几个来表示物体的位置，本学期进一步学习用数对表示物体的位置。教材通过总复习的第8题复习用数对表示物体的位置，练十七的第1题安排了相应的练习。

本学期圆的认识包括直径、半径、、轴对称图形等概念以及圆的周长和面积、圆的画法等内容，教材重点复习了圆的周长、面积计算公式和轴对称图形。总复习的第9题通过让学生复习计算公式的得出过程，加深学生对计算公式的理解和掌握，以使学生在解决具体问题时能根据不同条件和问题灵活地运用计算公式。第10题复习轴对称图形的概念，并运用概念判断两个图形是否是轴对称图形，加深学生对概念的理解和整理。直径、半径及其它们之间的关系等知识在练十七的第11题进行复习。

4. 统计。

本学期统计的内容主要是认识扇形统计图。教材通过总复习第11题使学生进一步体会扇形统计图的特点，即能清楚地表明各部分数量同总数之间的关系，并根据给出的信息解决一些问题，以促使学生分析信息、解决问题能力的提高。

二、复习目标

通过总复习，系统、全面地复习和整理本学期所学知识，帮助学生构建合理的知识体系，以便学生更好地理解和掌握所学的概念、计算方法以及有关的规律性的知识，进一步发展学生的数概念、空间概念、统计概念，增强学生综合运用知识的能力，全面达到本学期的教学目标。

1、理解分数乘、除法的运算意义，掌握分数乘、除法的计算方法和分数四则混合运算的运算顺序;能正确计算分数乘、除法和分数四则混合运算(不超过三步)式题，能应用运算律和运算性质进行有关分数的简便计算;能应用分数乘法解决求一个数的几分之几是多少的简单实际问题，能列方程解决已知一个数的几分之几是多少，求这个数的简单实际问题，能用分数乘法和加、减法解决稍复杂的实际问题(不超过两步)。

2、理解比的意义和基本性质，能应用比的意义和基本性质求比值、化简比，能正确解决按比例分配的实际问题。

3、理解百分数的意义，能正确进行百分数与分数、小数的互化，会解决求一个数是另一个数的百分之几的简单实际问题。

4、认识圆，掌握圆的基本特征，理解直径与半径的相互关系;会用圆规画圆。

2. 理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值，理解和掌握圆的周长与面积的计算公式，并能正确地计算圆的周长与面积。

5、学生在整理与复习的过程中，进一步体会数学知识和方法的内在联系，能综合应用学过的数学知识和方法解释日常生活现象、解决简单实际问题，进一步发展数感、空间观念和统计观念，增强解决问题的策略意识和反思意识，提高解决问题的能力。

6、学生在整理与复习的过程中，进一步评价和反思自己在本学期的整体学习情况，体验与同学交流和获取知识的乐趣，感受数学的意义和价值，发展对数学的积极情感，增强学好数学的自信心。

三、复习重点

分数、百分数的计算(包括分数乘法、分数除法、分数四则混合运算)及应用题。圆的概念和周长、面积的计算。

四、复习难点

从学生平时的作业和单元检测情况来看最大的问题是分数、百分数稍复杂的除法应用题，其次是分数和百分数、圆的概念。

五、复习原则

1、充分调动学生自主学习的积极性，鼓励学生自觉地进行整理和复习，提高复习能力。

2、充分体现教师的指导作用，知识的重点和难点要适时讲解点拨，保证复习效果。

3、充分体现因材施教分类推进的教育原则，针对不同层次的学生设计不同的教学内容和教学方法，查漏补缺，集中答疑，提高复习效果。

六、复习方法

1、带领学生按单元整理复习，巩固基础知识。

教师要按单元抓准知识的重难点，进行相关知识的整合与链接，使之形成完整的知识网络。例如应用题的复习，可由简单的分数应用题链接到稍复杂的复合应用题，将知识整合链接起来，进一步理解数量之间的关系，提高分析解答应用题的能力。

2、加强计算能力的训练

平时教学中发现学生的计算能力普遍较低，所以在复习的时候要特别加强计算能力的训练。学生计算能力的训练不只是机械重复的练习，而是要让学生掌握正确的计算方法和策略。让学生记住一看二想三算看清题目中的数、符号;想好计算的顺序，什么地方可以口算什么地方要笔算，哪里可以简便计算;最后动笔算。

3、加强与实际的联系

适应新课标的精神加强知识的综合应用以及与生活的联系，提高学生解决实际问题的能力。

4、讲练结合精心设计练习，把有营养的知识方法做成有味道的数学问题和练习吸引学生去探究

5、分层指导

针对学生的具体情况有针对性的进行复习，对于中差生和优生在复习上提出不同的要求，复习题分层，指导分层，充分体现问题练习的层次性，让不同的学生在复习中都自己新的收获。

6、后20%学生有针对性辅导。

七、注意的问题：

1、考虑到本册是小学阶段最后一次编排位置与方向内容，复习时应注意知识的综合整理，让学生对该内容形成较为完整和系统的认识。纵向来看，用数对确定物体的位置是一年级下册按行、列确定位置的一个深化，把第几行第几列的具体描述抽象成数对的形式，更为简洁明了;横向来看，则与四年级下册用方向和距离两个要素来确定位置是互为补充的两种方法，分别从不同角度出发来刻画物体的位置关系。复习时要引导学生在综合、对比的基础上进行整理，从而全面掌握确定物置的方法。 综合以前学过的平移、方位、路线图等知识，可使学生在复习过程中加强对前后知识内在联系的认识和把握，同时进一步巩固了用数对确定位置的方法。

篇12

关键词：约定俗成；四则运算；括号；5x；整体

在数学六年级中解方程36÷5x=2，都是把5x看成除数，解答方法如下：36÷5x=2，5x=36÷2，5x=18，x=3.6；但是一次在金陵晚报上我看到过类似此题的解法，引发了小学、中学甚至大学老师们的争论，说5x是5×x的简写，这道题完整的写法应该是36÷5×x=2，根据同级运算应该按照从左到右的顺序，应该先计算36÷5=7.2，然后是7.2x=2，x等于十八分之五。但是和同事交流的时候，没有人同意报纸上的看法，大家还是说要把5x看作一个整体进行计算，所以我很疑惑，到底谁对谁错呢？

我首先想到的是向教研员求助，得到的回复是：对于这样的写法没有明确的具体规定，按习惯是把5x看作一个数。在中学的方程中是不会出现这样的形式的，有除法时都是写成分数形式，他建议回避，有除法直接写成分数形式。看了回复，我对如何在课堂上教学有了明确的思路，要把5x看作一个整体。

但为什么要把5x看作一个整体呢？我还是没有找到明确的依据，接下来，我求助特级教师，特级老师告诉我，把5x看成一个整体，这在小学数学中是约定俗成的。约定俗成是指事物的名称或社会习惯往往是由人民群众经过长期社会实践而确定或形成的。 《荀子・正名》中说：“名无固宜，约之以命，约定俗成谓之宜，异于约则谓之不宜。”为了进一步弄清为什么把5x看作一个整体是约定俗成的，我翻查资料，终于在《小学数学疑难问题研究》中“四则混合运算为什么要规定从左到右、先乘除后加减？”一文中得到了启示。

加减乘除四种运算统称“四则运算”。如果一个算式中包含两种或两种以上的这些运算，则称为四则混合运算算式。一般的，有了结合符号（如，各种括号），我们就可以根据需要，表达出四则混合运算算式所要求的任何一种运算顺序。如下面的算式包含三个运算15×4+16÷4，适当运用括号，可以表示出实施这三个运算的任何一种顺序。三个运算共有六种不同的运算顺序。下面是其中的三种：先乘后加再除，[（15×4）+16]÷4，先除后加再乘，15×[4+（16÷4）]，先加再乘后除，[15×（4+16）]÷4。

在表达四则混合运算的算式中各个运算应有的顺序时，为了尽可能少用一些括号，人们对运算顺序做出了以下几点规定：

（1）“从左到右”：在一个没有括号的算式中，如果只有加减法，或者只有乘除法，则从左到右依次计算；

（2）“先乘除、后加减”：如果没有括号的算式中既有加减法，又有乘除法，则先做乘除法，再做加减法；

（3）在一个有括号的算式中，先按上述规定计算括号里面的式子；

（4）有几层括号时，从里到外依次计算。

由此，上述三个四则混合运算的算式可以化简为：先乘后除再加，（15×4+16）÷4，先除后加再乘，15×（4+16÷4），先加再乘后除，15×（4+16）÷4，另三种运算顺序可分别表达为：先除后乘再加，15×4+（16÷4）；先乘后除再加，15×4+16÷4；先加后除再乘，15×[（4+16）]÷4。这六种不同的运算顺序平均只需用一对括号就能表达清楚。如果没有这些规定，平均就得用两对括号才行。

至于为什么要规定“从左到右”，而不是“从右到左”，可能是为了使这种没有括号并且只有加减法或者只有乘除法的算式的运算顺序与算式的书写顺序相同。于是，“{[（a+b）-c]+]}-e”中的括号可以全部省略，写成a+b-c+d-e；但算式“a+{b-[c+（d+e）]}”要保持原定的运算顺序，其宗的三对括号一对也不能省。

规定了“先乘除，后加减”之后，（15×4）+（16÷4）中的括号可以省略，把它写成15×4+16÷4；而（15+4）×（16-4）中的括号则不能省。如果当初的规定不是“先乘除、后加减”，而是“先加减，后乘除”，则前一个算式中的括号不能省，后一算式中的括号可以省去。

“从左到右”和“先乘除、后加减”都不是以客观规律为基础的定理或定律，而是一种人为的关于数学符号语言的规定，目的在于尽可能减少算式中为说明各个运算的顺序所用的括号。

像“从左到右”和“先乘除、后加减”这样人为规定的知识，在数学知识体系中占有一定的份额，教师也都因为其“规定性”，觉得没有什么道理可讲，就直接告诉学生了。这样的教学，表面上看，学生也能接受教师的“告诉”，但时间长了，学生习惯了接受，就会产生这样的想法：老师这样告诉我们的，我们就这样去记，记住了就能做对题目了。显然，从促进学生持续发展的角度来看，这样的教学就远远不够了。

其实，很多数学规定从产生到被普遍认可都有一个曲折而漫长的过程，怎样规定更合理都有其内在的原因，并不是轻描淡写的一句“数学上规定”就能解释的。我们需要留心有关数学史料，提高自身文化专业知识，当学生有可能理解某一规定背后的原因时，不妨给学生创造条件，让学生更好地认识和理解这样的规定，体会规定的合理性与必然性。

参考文献：

[1]方金秋.小学数学疑难问题解答[M].广州：广东人民出版社，1983.

篇13

〔中图分类号〕 G623.5

〔文献标识码〕 A

〔文章编号〕 1004―0463（2008）05（B）―0063―01

复杂的分数乘除应用题包括复杂的求一个数的几分之几是多少和复杂的已知一个数的几分之几是多少，求这个数。很多学生在解答上述两类应用题时很容易混淆其解法。下面，笔者对此谈谈自己的看法。

一、认真审题，找题中单位“1”的量

找题中单位“1”的量是解答分数应用题的关键，确定了该量之后，再看单位“1”的量是已知量还是未知量。如果是已知量，那么就用乘法解答，如果是未知量，就用除法解答。

二、认真分析题中的数量关系

现在结合以下四种题型进行分析。（1）学校有20个足球，篮球比足球多1/4，篮球有多少个？（2）学校有20个足球，篮球比足球少1/5，篮球有多少个？（3）学校有20个足球，足球比篮球多1/4，篮球有多少个？（4）学校有20个足球，足球比篮球少1/5，篮球有多少个？

这四道题的相同点：已知足球的个数，求篮球的个数。不同点：单位“1”的量不同。（1）（2）中单位“1”的量是已知量――足球的个数，而（3）（4）中单位“1”的量是要求量――篮球的个数，在（1）中要求量――篮球的个数比单位“1”的量多1/4，即要求量――足球的个数相当于单位“1”的量的（1+1/4），根据乘法的意义也就是求20的（1+1/4）是多少？可列式为：20×（1+1/4）。在（2）中要求量――篮球的个数比单位“1”的量少1/5，即要求量――篮球的个数相当于单位“1”的量的（1-1/5），也就是求20的（1-1/5）是多少？可列式为：20×（1-1/5）。在（3）中已知量――足球的个数比单位“1”的量多1/4，即要求的量的（1+1/4）是20。根据除法的意义可列式为：20/（1+1/4）。同理可得出（4）列式为：20/（1-1/5）。

三、找特征，抓规律

（1）（2）中已知量是单位“1”的量，因此用乘法解答。在这类题中，要求的量要么比单位“1”的量多几分之几，要么比单位“1”的量少几分之几。如果是多几分之几，就用单位“1”+多的分率，反之用单位“1”-少的分率。

（3）（4）中要求量是单位“1”的量，因此用除法解答。在这类题中，已知的量要么比单位“1”的量（要求的量）多几分之几，要么比单位“1”的量少几分之几。如果是多几分之几，就用单位“1”+多的分率，反之用单位“1”-少的分率。

根据以上四例的分析，将复杂的分数乘除应用题的结构特征及解法归纳如下：

已知单位“1”的量A，要求量比单位“1”多b/a或要求量比单位“1”少b/a，求要求量，其解法是：A×（1+b/a）或A×（1-b/a）。

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【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）02A-

0108-01

新的数学课程标准指出，数学教学要注重调动学生的思维和应用能力，让学生灵活运用所掌握的知识去解决生活中的问题，从而进一步培养学生的解题意识和能力，巩固其所学的知识，为日后的学习和发展奠定基础。数学教学中，让学生进行分类练习，提炼解题规律和方法，可以有效地提高他们解决数学问题的能力。以下谈谈笔者的一些做法。

一、多层次、多角度题型练习

教学中，对于同一个数学信息，教师可以从不同的角度和不同的层次来提出问题，或者变换方式方法提问，往往会得出不同的结果。例如对于题目“a和b的比是4∶3，那么a是b的几分之几”。我们可以另外设问：b是a的几分之几？a比b多几分之几？b比a多几分之几？

通过对同一道题目多角度和多层次的练习，让学生更好地了解知识之间存在的某种规律和联系，从而引起他们对知识的探究兴趣，并丰富他们的知识结构。此外，对一道题目做出少量的信息更改，让学生通过对知识点的变式进行思考，可以很好地扩展他们解题的思路。例如在进行分数乘除法应用题的复习时，可以通过在题目中留空填写条件的方法，加深学生对这些题型以及解题方法的印象。如：

a线段是50米， ，b线段是多少米？

在画线处，学生可以填入题设条件，使题目变成一道分数乘除法应用题。举例如下：

①a线段是50米，b线段是a线段的，b线段是多少米？

②a线段是50米，是b线段的，b线段是多少米？

③a线段是50米，b线段比a线段多（或者少），b线段是多少米？

④a线段是50米，比b线段多（或者少），b线段是多少米？

通过学生之间的互相讨论补充，可以完整地罗列出各类题型，学生从中可以辨析分数乘除法各类题型的相同点与不同点。

二、针对式题组练习

根据知识的特点，教师可以采取针对式的题型练习。所谓的针对式设题，就是在与旧知有连接点的新知识教学中，设计一些具有铺垫性和引导性的题组，从而使新旧知识的教学更加连贯。例如在进行“几倍求和”与“几倍求差”的二步计算应用题教学时，可以编制两道题：

①一年级学生学习了130个汉字，二年级学生学习的汉字是一年级学生学习汉字的4倍。问二年级学生学习了多少个汉字？

②一年级学生学习了130个汉字，二年级学生学习的汉字是一年级学生学习汉字的4倍。问一年级和二年级学生一共学习了多少个汉字？

上面两道题中，题①为单一的乘法应用题，而题②则在题①的基础上加了一步求和，变成了几倍求和应用题。学生在两题的练习中就可以将新知识纳入已掌握的知识结构中，从而使新知识的学习变得更轻松、更连贯。

三、并列式题型练习

并列式设题是根据解题方法的不同，将题型结构、数据等信息都比较相似的题型放在一起，这些题型之间的差异往往只有通过细心分析、比较和观察才能察觉。通过对这些题组的练习，可以很好地帮助学生将相似相近、容易混淆的题型区分开来，从而提高解题的正确率，加深对解题方法的掌握。例如在学习了分数的乘法之后，可以让学生解答这样两道题：

①有一根长为6m的绳子，剪掉了米，还剩多少米？

②有一根长为6m的绳子，剪掉了，还剩多少米？

这两题中只差一个“米”字，如果不留心，往往会认为是两道一样的题。笔者曾有意识地把两道题分开呈现，结果超过一半的学生都做错了。

又如，在学习了四则运算法则之后，可以让学生解答这样两道题：

①40×30÷20×10

②（40×30）÷（20×10）

这两道题的区别在于有括号和没有括号，而根据四则运算法则可知，四则运算要从左到右，先乘除，后加减，有括号应先算括号里面的，因此题①的解法是正常的从左到右计算，而题②因为有括号，所以要分别先算出（40×30）和（20×10），再用第一个括号里的结果除以第二个括号里的结果。

通过这样的对比练习，可以有效避免学生解题时先入为主的定势思维，减少解题中出现的马虎现象。