初中数学的几何模型精选(十四篇)

序言：作为思想的载体和知识的探索者，写作是一种独特的艺术，我们为您准备了不同风格的14篇初中数学的几何模型，期待它们能激发您的灵感。

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关键词 初中数学；几何体模型；多媒体

中图分类号：G633.63 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2015）21-0060-02

1 前言

几何教学是初中数学教学中一个重要的组成部分，它有助于扩展学生的逻辑思维和综合运用数学知识来解决有关数学问题的能力。然而，当前的初中数学教学中，由于教师的教学模式过于单一、教学方法落后，无法有效地激发学生的求知欲和学习兴趣，所以学生的学习兴趣不高，学习效果不甚理想，这也不利于学生学习能力的提高和逻辑思维的拓展。在这样的背景下，如何才能有效提高初中几何教学的质量，已成为当前初中数学教学亟待解决的难题之一。

2 转变教学观念，提高教学效率

传统的初中数学几何教学过程中，数学教师大都重视理论知识以及基本解题方法的灌输，而对于实际教学过程中所用的教学方法和手段则很少涉及，从而影响学生实际的学习效果。最为明显的现象就是教师一般都是按照教材中的有关教学内容来按部就班地进行教学，从几何的基本概念到基本的组成，以及一些基本的解题方法等，缺乏创新，也无法充分发挥学生的主动能动性，学生始终处于被动的学习状态，对于几何知识的灵活运用能力较差。

在新课标下，几何教学需要崭新的理念和科学的理论做指导，模型教学就是在这种背景下产生的。因此，在开展初中几何教学的过程中，数学教师需要首先转变教学观念，树立正确的几何体模型教学观念，以模型教学理论为基础，结合实际的几何教学内容，来为学生构建更加全面的课堂教学。比如可以就学生生活中和学习中的常见事物来引出几何体的概念，如黑板擦、足球、盒子、砖头等，让学生可以通过构建有效的教学模型来实现模型教学，从而让几何教学变得更加形象、生动。

另外，在开展几何教学的时候，如果教师可以借助直观形象的几何模型来开展教学，则可以降低学生学习的难度，深化他们对于几何知识的理解和认识，同时可以使他们积极展开思考，与教师的进度保持一致，所以这也可以充分扩展学生的思维。教师在开展教学的过程中将教材中的几何知识与几何模型的运用进行合理的结合，可以使学生直观形象地了解有关问题，从而有助于他们抓住问题的精髓，促使他们将所学知识灵活运用到实践中来，可以大大增强学生学习的效果。

3 增强图形联系，深化知识联系

在数学知识学习的过程中，各部分的知识点不是独立存在的，他们之间大都具有紧密的联系，所以学生在学习的时候要融会贯通，善于归纳和总结数学中的各类知识点。而这转换到初中几何教学中就是可以找寻各个图形间的相似点或者说是具有紧密联系的知识点，从而可以更好地开展几何教学。另外，数形结合是数学中常用的一种解题思想，其可以通过构建合理的数学模型，来帮助学生更好地分析和解决数学问题。数形结合思想与图形之间的联系之间同样具有紧密的联系，教师在日常的教学中可以引导学生对学习中的各个数学知识点进行归纳、整理和对比，从而帮助学生建立一个完善的知识网络构架，增强他们的图形联系，深化他们对于各个数学知识点的理解和认识，从而不断提高他们的数学解题能力。

如在讲解平行四边形面积部分知识的时候，教师可以在课下准备一些可以自由活动的矩形模型，对于矩形的面积计算而言，学生已经耳熟能详，可以灵活运用了；这时候教师可以通过拉矩形的对焦点来使矩形的形状发生变化，将其转化成平行四边形，引导学生就矩形转化成平行四边形的过程中面积之间是否存在一定的联系来展开思考，从而引发学生积极搜索自己的可用知识来进行合理的探索。同时使他们在反复体会和动手中找寻相关信息的答案，找出问题的所在，加强他们对于知识的理解和认识，帮助他们搜寻有关的知识点，使知识变得更加系统，也有助于使学生养成独立思考和探究问题的能力，一举多得。

4 巧妙运用多媒体，激发学生兴趣

集互联网技术、计算机技术为一体的多媒体技术在教育行业的应用丰富了教师教学的手段，提高了学生学习的能力，也大大改变了传统的教学理念，为学生的学习和发展奠定坚实的基础。尤其是在初中几何教学中，多媒体可以为学生展示一个图文并茂、声形共存的教学环境，也可以为学生提供更加丰富的教学内容和教学信息，从而有助于弥补传统教学模式中存在的一系列不足。另外，初中生通常都具有很强的好奇心[1]，他们的智力也得到了有效的开发，所以在初中几何教学中，通过多媒体来合理创建几何模型，对于学生的学习具有重要的作用。

如在学习“直线、线段和射线定理”部分内容时，教师可以为学生多展示一些生活中常见的场景，然后让学生“对号入座”来对生活中存在的一些几何模型进行观察、分析和了解。在开展该部分知识课堂教学的过程中，教师可以首先为学生展示三幅图片：一幅是一根筷子的图片，一幅是画有高速公路的图片，一幅是手电筒的光束。通过为学生展示这三幅图片来分别阐述直线、线段和射线定理的相关概念，从而使学生明确相关几何概念的定义，再结合生活中的一些几何模型来使学生明确两端固定的为线段，两端无限延伸的是直线，而一端固定、一端无限延伸的是射线。在这种富有趣味性的模拟课堂教学中，学生的学习兴趣可以得到有效激发，学习能力也将大大提高，同时学习的积极性也会大大提高，所以有利于提高他们的学习能力[2]。

5 合理运用图形，增强转化能力

在初中几何教学过程中，图形语言转化是教学的重中之重，也是教学的根本任务。初中生由于智力发展还很不成熟，所以他们的空间想象能力较差，对问题的分析比较片面，而几何教学问题大都需要综合考虑图形和文字才能够读懂题干意思，明确题干所要表达的内容。否则，如果学生片面看待题目，将文字与图形分开来看，必然会造成理解存在片面性，即无法看清问题的本质。基于此，在开展教学的过程中，教师需要重点培养学生的图文结合能力，帮助他们合理分析问题和解决问题，从而树立正确的解题意识。可以合理运用图形来在已知几何模型的基础上实现数学与文字语言的转化。

比如已知现有图形基础上，AB平行于CD，且AB是CD的二分之一等条件时，教师可以引导学生将这些条件转化成图形中的内容，即在图形中进行标注，从而实现几何模型的建立。这样有利于进一步挖掘数学语言中潜在的知识点，有利于实现知识的灵活运用，帮助学生更加彻底地明确相关数学概念，从而提高解题能力[3]。

6 结语

总之，数学模型的建立在几何教学中具有重要的意义，它为教师开展几何教学提供了新的教学方法和手段，可以帮助教师更好地开展教学，提高教师教学的质量和效率；也可以扩展学生的思维，提高学生解决几何问题的能力。因此，在实际的初中数学教学中，教师要注重几何体模型的应用。

参考文献

[1]李守霞.初中数学几何教学中运用模型教学研究[J].轻型汽车技术，2015，16（2）：111-112.

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摘 要：学校是培养人才的摇篮，数学是初中课程设置中的基础学科，因此数学这门课程的重要性不言而喻，如何提高初中教学质量已经成为教育部门及一线教育工作者集中关注的话题。近年来，教育相关部门对初中数学教学课程做出了巨大的变革，但是初中数学变革实践中依然缺少教学理念的创新，教学改革过程当中呈现系列问题，阻碍了初中数学课程教学改革的步伐。为此，必须对课程内容、教学模式、教学理念等存在的问题作进一步的分析归纳和总结，并提出相关的对策，为初中数学教学水平的提升贡献绵薄

之力。

关键词：初中数学；教学改革；对策分析

随着社会的发展，教育体制改革不断深化，原有的灌输式教学方式已经不能适合新时代人才的培养需要。为此，众多学者专家都提出变革和建议。现阶段，各个学校都对数学课程教学的变革相关事宜进行落实，改革的工作正在全面进行中。初中数学在教育中占据不可动摇的地位，教学改革如火如荼的开展过程中，许多问题也显现出来。笔者通过教学中出现的问题进行总结，并且提出相应的改革措施。

一、初中数学教学改革中出现的问题

初中数学作为初中课程体系的重要组成部分，如何针对不同学生进行个性化教学是数学教学改革的关键，教学课程内容设置是对数学教育具有至关重要的作用，但是数学教学的变革中仍然存在不少问题。

1.人们对数学的认识较少

真正深入了解数学的人不多，大多数人们对数学的了解只停留在表面，我相信人们对数学并不陌生。数学具有实用性弱、内容繁多、难度大等特点，这就使学生不能全面且仔细地去认识和学习，导致很大一部分学生失去了学习的意义和目的。

2.初中数学教学选择的教材问题

数学课程涵盖了诸多知识点，但是人们能够实际运用的少之又少，值得我们认真思考。在初中数学教学中存在缺乏实际操作的问题，仅在物理和几何模型中多有应用，没有体现数学在其他领域的应用价值，使得学生学习初中数学的兴趣大大降低。

3.初中数学教学模式的问题

大部分学校都使采用“老师讲授、学生听”的方式教授知识，很少通过动态教学向学生展示W术知识，这就使得数学教学抽

象、难理解，学生都是死记硬背地去学习，没能真正理解、思考，更不能运用到实际中去。大部分学校都是采用了填鸭式、灌输式的教学方式，学生难以消化所学知识。

二、初中数学教学中存在问题的解决对策

1.改变教学模式

用情景模式作为打开学生学习数学兴趣的钥匙，“情”表示人的心理、行为等，“景”指客观世界的自然性和构成。贴近生活的氛围里，学生兴趣高，理解能力快。运用情景模式使得学生主动学习，将知识联想到不同的场景中，从中既学到了知识又能激发学生的学习兴趣。

2.激发学生的学习兴趣

学生每天都在教室里埋头苦学，缺少实践活动，教师要更多地组织学生制作几何模型，甚至组织学生到校外活动，让学生在实践中知道初中数学在生活、生产中的广泛运用。这样的教学模式不仅对学生将来走上工作岗位有帮助，而且还能提高学生学习初中数学的兴趣。

3.选取的教学教材的内容

学校要根据学生的基础以及教学任务的大纲来选取教材，有助于形成合作学习的内容。教师要合理分配任务，要经常对那些成绩较差、不善表达的学生给予表扬和鼓励，保证学生在学习初中数学过程中得到锻炼和提高，从而进一步提高初中数学的教学质量。

综合上述，初中数学的课程学习的目标不是独立的，而是与别的学科相辅相成、相互联系的。采用灵活多变的模式，可以使学生达到乐学、会学、学会的目的，使得老师与学生、学生与学生之间形成全方位、多角度的交流模式，培养学生创新精神、创新意识、合作精神、合作意识和合作技巧。

参考文献：

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关键词：初中数学；教法；学法；创新改革

数学的学习对于学生的逻辑思维和形象思维要求比较高，对于初中生来说他们的逻辑思维还不够完善，因此教师在教学中教法和学法的选择，会大大影响学生对初中数学这门课程的学习效果。随着新课程改革和素质教育的提出，现代初中数学教育的教法和学法也发生了很大的改变。初中数学知识具有抽象性，对学生的逻辑思维能力要求比较高，因此，教师作为课堂的设计者和引导者，不仅要采用科学有趣的课堂教学方法教授学生数学知识，还要通过适用的教法让学生学会采取相应的学法，从而更好地完成初中数学的学习。对于初中这一阶段的学生来说，他们对新鲜事物好奇心强、求知欲旺盛、接受能力快，作为初中数学教师要把握好这一点，努力创新数学教学的方法，活跃数学课堂教学的气氛，激发学生数学学习的积极性，激发学习兴趣，帮助学生找到正确的数学学习方法，从而树立他们对数学学习的自信心。

一、初中数学教法的创新

科学有趣的数学教学方法可以帮助教师与学生进行及时有效的课堂交流，从而达到良好的数学教学效果。随着新课程改革，传统的初中数学教学方法已经不再适合现代数学教育，因此，教师要对教学方法进行创新，为学生创造良好的数学学习环境。对此，通过在数学实践教学中的经验总结，笔者提出了以下几点建议：

1.多媒体与课堂相结合，实现电教教学

随着社会科学技术的进步和信息技术的发展，多媒体被越来越多地应用到教学领域，电子化教学越来越多地受到教师与学生的推崇。与传统的初中数学教学方法不同，多媒体教学具有形象直观性。教师通过多媒体教学的应用改变了传统数学教学以板书为主的枯燥单一的教学方法，使得数学课堂具有极大的趣味性。多媒体这种电子教学的应用，对于初中学生来说比较新奇，因此就能激发学生学习的热情，增强学习的积极性，同时，通过多媒体教学可以使一些抽象的数学知识转变成直观形象的事物展现出来，便于学生数学知识的理解，培养了学生数学学习的兴趣。兴趣是最好的教师，学生有了数学学习的兴趣，自然能主动学好数学课程。所以，多媒体与数学教学课堂相结合，实现电教教学，对培养学生主动学习的习惯，取得良好的教学效果有着重要的意义。

2.培养学生动手能力，使数学与生活结合

在初中数学教学中教师不能只注重数学知识的传授，还应该通过科学的教学方法培养学生的数学思维能力。比如，在几何知识的学习中，对于学生立体思维能力的要求比较高，因此教师可以鼓励学生自己动手制作几何模型。在几何模型制造的过程中，不仅培养了学生的动手操作能力，而且加深了学生对几何模型的印象，有利于课上数学知识的讲解和学生数学知识的理解。此外，在新课程改革的要求中指出数学知识应该与实际生活相结合，因此，教师要鼓励学生去发现生活中的数学知识，这样既培养了学生主动学习的能力，又提高了学生的思考能力，对以后数学问题的解决很有帮助。

3.构建和谐的师生关系

和谐的师生关系是进行交流与教育的基础。部分教师在数学教学中只注重题海战术，关心数学知识的讲解，忽略了师生之间的交流。构建和谐的师生关系也是教学方法的一种，只有师生关系和谐了，学生才能将对老师的兴趣转化到课程的学习中来。教师通过沟通才能了解学生对知识的掌握情况。和谐的师生关系有利于培养学生对初中数学学习的自信心，树立自主学习的良好习惯。

二、初中数学学法的改革

在初中数学教学中，教师不仅要“会教”，还要帮助学生“会学”。因此，教师要在教法创新中对学法进行改革，帮助学生找到正确的学习方法。

1.自主学习法

学生是学习的主体，因此教师要做好学生学习的引导者，帮助学生养成良好的自主学习习惯。比如，鼓励学生进行课前预习，课上鼓励学生上台进行知识讲解等，这些都有利于培养学生自己动脑思考的习惯，进行自主学习。

2.回想学习法

回想学习法就是让学生在每节课结束以后，把本节课学习的知识点进行回忆。教师可以让学生在课下进行本节课的知识点总结，找出重点知识点，并根据自己对知识点的学习与理解找到对应的题目进行解答。这种回想学习法可以帮助学生加深知识点的印象，增强对数学知识点的理解。

3.螺旋上升学习法

所谓的螺旋上升学习法，实际上就是要求学生在学习过程中学会循序渐进。任何知识的学习都不是一步到位的，教师必须让学生明白这一点。学生在学习过程中要讲求由易到难，这样才能不断增强数学学习的自信心。

总之，初中数学是初中生学习的一门重要课程。教师在教学中要积极对教学方法进行改革与创新，通过科学的教学方法帮助学生找到并掌握良好的学习方法，从而取得良好的数学学习效果。

参考文献：

1.江正明.关于初中数学教法与学法的思考【J】.教育界-2012.

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关键词： 新课标 初中数学 建模教学

全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，其中强调：从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用。在使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面也得到发展。这给初中数学教学提供了一个很大的空间。同时建模对初中生来说是难点，强化数学建模的能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，而且能使“数学生活化”，充分提高了学生的应用数学意识能力和创新意识能力。近几年，每年高考试题都有几道应用题，中考也加强了应用题的考查，这些应用题以数学建模为中心，考查学生应用数学的能力，而学生在应用题中的得分率远远低于其他题，原因就是学生缺乏数学建模和应用数学意识。因此初中数学教师应加强数学建模的教学，以提高学生数学建模能力，从而培养学生应用数学的创新意识。

一、数学建模的重要性

过去，不少学生对数学的认识是繁、难，在生活中应用太少，这是由于走入了纯数学误区，未能真正把数学学活。其实，数学发展本来就是与生产、生活发展同步的。随着数学教育界中“数学应用意识”教育的不断深入，提高数学应用性的教育迫在眉睫。数学应用性包括两个层次：一是数学的精神、思想和方法；二是数学建模。而通过数学建模能力的培养，学生可以从熟悉的环境中引入数学问题，增加与生活、生产的联系，培养数学应用意识，巩固数学方法，培养创新意识，以及分析和解决实际问题的能力，这正是素质教育和数学教育的目的。从初中开始，学生已经能够很好地掌握他们所理解的一些抽象概念的本质属性，并能逐步地分出主次特征，只是对高度概括与抽象缺乏经验。因此，在这个阶段对学生有意识地进行数学建模能力的培养，对提高他们对数学的兴趣，以及能力的开发都有深远的影响。

二、建立数学模型的过程

1.审题建立数学模型，首先要认真审题。实际问题的题目一般都比较长，涉及的名词、概念较多，因此要耐心细致地读题，深入分析实际问题的背景，明确建模的目的;弄清问题中的主要已知事项，尽量掌握建模对象的各种信息;挖掘实际问题的内在规律，明确所求结论和对所求结论的限制条件。

2. 简化根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要简化。抓住主要因素，抛弃次要因素，根据数量关系，联系数学知识和方法，用精确的语言作出假设。

3. 抽象将已知条件与所求问题联系起来，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型。按上述方法建立起来的数学模型，还要看是不是符合实际，理论上、方法上是否达到了优化，因此在对模型求解、分析之后通常还要用实际现象、数据等检验模型的合理性。

三、初中阶段的几种常见数学模型

1.构建不等式(组)求解。

现实生活中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如市场营销、生产决策、统筹安排、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式(组)问题，利用不等式的有关性质加以解决。

2.构建方程(组)求解。

现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系。“方程（组）”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。如打折销售、分期付款、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成方程(组)模型，通过列方程(组)得以解决。

3.构建函数关系求解。

函数的产生是人类对现实世界认知的一次重大飞跃，它反映着量与量之间的依赖关系，是辩证法思想在数学上的体现。函数反映了事物之间的广泛联系，它揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中的许多问题，诸如计划决策、用料造价、最佳投资、最小成本、方案最优化等问题，常可通过建立函数模型求解。

4.建立几何模型求解。

几何与人类生活紧密相关，它以现实世界的空间形式作为主要的研究对象。如航海、建筑、测量、工程定位、裁剪方案、道路桥梁设计等，涉及一定图形的性质时，常常建立几何模型，把现实问题转化为几何模型加以解决。

四、数学建模教学活动的体会

1.对初中数学建模优秀课例的开发有待加强。

高中研究型学习课上的课例较多，相比较而言，初中关于数学建模思想的经典课例不足，课例设置要有趣味性、操作性、可研究价值，要体现建模的一般性过程，突出初中数学的思想方法。一节好的模型课例，能激发学生对数学建模的兴趣，易于学生感受建模的思想，让学生学会用数学的眼光看待身边的事物。

2.重视知识产生和发展过程的教学。

由于知识产生和发展过程本身就蕴含着丰富的数学建模思想。因此，老师既要重视实际问题背景的分析、参数的简化、假设的约定，又要重视分析数学模型建立的原理、过程。数学知识、方法的转化、应用，不能仅仅讲授数学建模结果，而忽略数学建模的建立过程。

3.注意结合学生的实际水平，分层次逐步地推进数学建模。

教师在设计数学建模活动时，应考虑学生的实际能力和水平。首先，结合教材，以应用题为突破口，先培养学生运用数学建模方法的意识，用简单问题作为建模基础。其次，以稍有难度的问题为目标，用从易到难的方式来推进教学。

4.鼓励学生积极主动地参与，把教学过程更自觉地变成学生活动的过程。

数学应用与数学建模的目的并不是仅仅为了解决一些具体问题，而是要培养学生的应用意识、数学能力和数学素质。因此我们不应该沿用老师讲题、学生模仿练习的套路，而应该重过程、重参与，更多地表现活动的特性。

数学建模能力的培养不在于某堂课或某几堂课，而应贯穿于学生的整个学习过程，并激发学生的潜能，使他们能在学习数学的过程中自觉地去寻找解决问题的一般方法，真正提高数学能力与学习数学的能力。数学应用与数学建模，其目的不是为了扩充学的课外知识，也不是为解决几个具体问题进行操作，而是要通过培养学生的意识，教会学生方法，让学生自己去探索、研究、创新，从而提高学生解决实际问题的能力。

参考文献：

［1］王丽群.加强初中数学建模教学培养学生应用数学意识.科技信息，2007.32.

［2］孙维.浅谈初中数学建模的教学及应用. 数学学习与研究，2007.2.

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在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。

一、数形结合思想的地位和重要性

数与形是数学研究的两类基本对象。“数”是指数与式，“形”是指图形与图像。数形结合的思想可以变抽象思维为形象思维，揭示数学本质的东西。在初中数学教学过程中，我们可以利用平面直角坐标系将代数和几何问题紧密地联系起来，为许多实际问题的解决提供了新的思路和策略，对问题的解决产生事半功倍的效果。

通过培养学生“数形结合”的思想，可以检测出他们掌握数学基础知识的程度、理解知识的深度及对数学知识的综合运用能力。在初中阶段训练学生利用“数形结合”的方法观察、分析问题，有助于学生学习抽象的知识，对锻炼相应的数学思维也有极大的帮助。

二、初中数学中数形结合相关知识点的体现

在初中教材中，数的常见表现形式为：实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为：直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等。在直角坐标系下，一次函数对应二元一次方程，二次函数对应一元二次方程，这些都是初中数学的重要内容。

初一数学中用数轴来比较有理数的大小就是一个典型的“数形结合”的内容，一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数比左边的数大，这样学生借助数轴，只要把要比较的数在数轴上找到相应的点，就能比较这些数的大小。学生通过借助数轴这个具体工具，从而解决了抽象数学题。同时利用数轴来定义相反数、绝对值，即与原点距离相同的两个点所表示的两个数为相反数；任意一个数与原点的距离就是它的绝对值，也是利用了“数形结合”的思想。

三、数形结合的实践教学

在有关“数形结合”知识点的教授过程中，必须掌握等价转换、数形互补的原则。着重培养学生的如下能力：

1.学会形中觅数，善于观察图形，找出图形中蕴含的代数关系

如果在一个几何问题中，条件和结论都容易用代数中的式子表示出来，那么，我们就可以把解决这个问题的过程转化为代数中的演算来完成。

2.善于数中思形，正确构造图形，通过几何模型反映相应代数信息

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【关键词】初中数学 课堂教学 效率

中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2013.10.082

初中数学不仅在学生的初中阶段占据重要的地位，对于学生的进一步发展以及整个的人生发展都起到了重要的作用。在传统的初中课堂教学中，很多数学教师都通过“时间战”和“汗水战”来提高学生的数学成绩，在这种既费时又费力的方式下学生的数学成绩可能得到了一定的提高，但是学生的学习效率却极其的低下。近年来，我国一直提倡素质教育，在课程设置中改变了传统的只有语、数、外的情况，新增了几个有利于学生的综合素质提高的学科，虽然课程的设置更加丰富多彩，但是学生的数学课堂学习时间却有所缩减，在这样的情况下，要想保证数学教学质量不下降，一个行之有效的方法就是提高初中数学课堂教学的质量，提高学生的数学学习效率。

一、初中数学教师要转变传统的数学教学理念

我国基础教育长期受应试教育的影响，因此形成了根深蒂固的与应试教育相匹配的教学方法，很多教师都通过时间的投入与题海战术来提高学生的数学成绩，用这种教学方法培养出的学生不具备较强的独立思维能力，只是做题的工具。随着时代的不断发展，这种教学方法显然已经难以适应新形势的需要。初中数学课程设置的缩减，社会对人才需求类型的转变，这些都需要数学教学随之发生必要的变化。在数学学习时间缩减的情况下提高学生的数学成绩，通过数学学习提高学生的创新能力，这些都需要广大数学教师彻底的转变传统的数学教学理念，用全新的数学教学理念来武装自己的头脑，做到与时俱进，提高初中数学课堂教学的质量。

二、实现师生在数学课堂教学过程中的互动

数学与其他学科不同，仅仅依靠死记硬背根本无法学好数学，甚至会导致学生陷入数学学习的迷惑之中，要想学好数学，必须依靠逻辑思维，而学生的逻辑思维可以通过课堂教学得到培养。数学课堂是由一个群体构成的，这个群体包括数学教师与学生两部分，优质的数学课堂应该是教师和学生的良好互动，如果教师和学生不能积极地互动，将严重阻碍数学课堂教学效率的提高。在师生互动的过程中，可以很好地激发学生的数学学习兴趣，学生的注意力高度的集中到课堂教学中来，学生的思维随着教师的讲解不断得到开阔，学生的创新能力也得到培养。

三、把初中数学教学与学生的生活实际结合起来

由于数学是由数字符号组成的，对于心智发育还不够成熟的初中生来说，很多学生会认为数学学习没有用，起码与生活实际存在一定的脱轨现象。这就要求广大初中数学教师在数学教学的过程中，尽量把数学理论知识与生活中的实例结合起来，转变学生数学没有实际用处的观点，点燃学生数学学习的激情。比如，在几何知识的学习中，对于学生立体思维能力的要求比较高，因此，教师可以鼓励学生自己动手制作几何模型。在几何模型制造的过程中，不仅培养了学生的动手操作能力，而且加深了学生对几何模型的印象，有利于课堂上数学知识的讲解和学生数学知识的理解，同时教师还可以把几何知识在生活中实际运用的例子讲解给学生听，学生几何学习的兴趣就更加浓厚，自然数学课堂的教学效率也就得到了提高。

四、通过培养学生的数学思维，提高数学课堂教学质量

每一学科都有其自身的规律，因此，学生在学习的过程中只有遵循学科的学习规律才能取得长足的进步。因为每一学科对学生的学习要求不同，因此，要求学生要把握好学科学习的特定思维。学习数学要求学生要具备一定的数学思维能力。数学教师想要提高学生的数学思维能力，就必须对学生在数学学习过程中的思维活动进行观察，对学生的思维活动的规律进行研究，找出数学思维与数学学习之间存在的内在联系。学生在数学学习的过程中，需要不断地进行思维活动，数学学习的本身就是对思维能力的一种锻炼，广大初中数学教师要对数学学习的这一特点充分地进行利用，使学生的思维更加的活跃。同时数学教师还要对学生进行积极的指导，使学生形成正确的、高效的数学思维。学生有了正确、高效的数学思维，也就掌握了数学学习的最根本的方法，对学生对数学知识的理解有很大的帮助，学生学习数学新知识的时间缩短了，数学课堂教学的效率也就随之提高了。

五、初中数学教师要有明确的教学目标

不管做什么事情，首先必须要有明确的目标，只有目标明确了，才能够在目标的指引下更好地达到目的。随着新的课程改革的推进，要求提高数学课堂教学的效率，实现高效教学，在这种情况下，制定明确的数学教学目标就显得更为必要。在制定数学教学目标的过程中，广大初中数学教师要对教学内容进行正确的把握，弄清楚教材和教学大纲的要求，只有这样才能制定出切合教学实际的教学目标。一些教师在教学的过程中会出现课时不够的现象，这就需要从教学目标的制定是否合理上去寻找原因。合理的初中数学教学目标对教师的教学具有重要的指导意义，不仅能够优化教师的教学，还能够在减轻学生的负担的情况下使学生掌握更多的知识。

六、创造轻松愉悦的数学课堂教学环境

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最值问题大都归结于函数模型和几何模型。函数模型是利用所学函数的增减性结合自变量的取值范围，从而确定其最大值或最小值，解题重点是构建函数关系式，关键和难点是确定自变量的取值范围，这类题型较单一，通过恰当训练学生都能掌握。关于几何模型的问题形式多样、灵活多变，令许多学生感到为难，要想在中考中获得高分，几何最值问题必须得突破。下面，我结合自己十几年的教学实践，简单对部分几何最值问题进行归纳和总结，希望能给广大中考生一点参考和帮助。

要想找到几何最值问题的解题思路，必须明确几何类型，概括起来主要有以下四种：

类型一：求两条或多条线段和的最小值

解决此类问题可以借助轴对称把平面上的两个定点转化为符合题意的“两点之间，线段最短”的问题。请看下面的例题：

符合类型一的题型还有：

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点的距离之差最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：第（1）问非常简单，至于第（2）问明确利用的知识点是三角形两边之差小于第三边，引导学生探讨，要想得出两条线段之差的值最大，即短的线段在长的线段上，如何做到这一点需要利用轴对称性使点B转化为点A，要求的点P就是直线AC与对称轴的交点。

类型三：利用几何性质连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短，根据题意建立模型求最值

解析：这个题与前两个类型的题完全不同的是：组成两条线段的点中只有一个定点。所以它只能利用关于点与线的关系原理，即垂线段最短。需要做线段AB关于线段AC的对称线段，然后求出点B到这条线段的最短距离即可。

类型四：利用函数最值解决几何问题

它的关键是构建函数关系式和确定自变量的取值范围。例如：

解析：这个题明显不同于前三个类型——没有定点，根据题意易求出AC=4，BC=3，然后设PE=x，表示出PF后，利用勾股定理构建出二次函数，结合x的取值范围，求得EF的最小值。

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【关键词】差异；有效教学；初高中衔接；数学学习

一、初高中数学所存在的差异

1内容方面存在的差异

初中数学许多内容都是以通俗、形象、浅显易懂的语言来表述，直观性和趣味性都较强.而高中数学一下子都转化成了抽象的逻辑运算、函数、集合等术语来表述，相对初中数学而言，高中数学的逻辑性更强，知识难度加大，而且空间想象能力明显提高，且需要更灵活地去解题，计算也相应的复杂起来，导致许多学生不能很快接受并消化.

2思维方式存在的差异

初中数学，以几何为例，初中所学都是平面几何，而高中几何，我们要接触的则是立体几何，要在三维立体空间去解析一些立体空间的表面积或体积等.因此，初中数学是基础，本身具备形象化、浅显化、知识容量相对较小这些特点.高中数学的特点则是多元化、广泛性，能让学生更全面、深刻、严密地去思考问题，从而提高学生的思维逻辑性以及思维递进性.

二、促进高中数学课堂教学的有效途径

“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”高中数学是初中数学的延伸，比初中数学的知识更系统.在新课程的倡导下，作为数学教师，应该摒弃原有的灌输式教学，提倡“授人以鱼不如授人以渔”的思想，培养学生“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”的学习精神，在课堂上营造一种和谐、民主的学习氛围，着重全面发展学生的创新能力和实践能力等，这对于提高教学质量，实施有效性教学，具有积极的指导意义.

1摸清学生对初中数学的掌握程度，以便能更顺利的进行高中数学教学

任课教师在前几堂课时，主要侧重初高中数学的衔接点，对学生进行必要的摸底测试，然后了解学生哪些方面掌握得好，哪些方面掌握得相对薄弱.针对掌握薄弱的知识点，可以进行详细讲解，为以后更加深入的数学学习打好基础.任课教师也可以在以后教授新知识点时，进行补充讲解.这样，学生可以在对初中数学了解的基础上，更快、更全面地接受高中数学新的知识.

2侧重于现阶段学生学习方法的培养，有效提高学习效率

现在的初中生，都习惯于慢节奏的学习方法，且对任课教师依赖性强，一旦初升高后，根本无法适应高中快节奏的学习方式.综合上述，重视学生学习方法的培养，也是势在必行.学习方法主要包括三点，即听课、复习以及习题诸多方面.学生由初中升到高中，需要一个正常的过渡期，而预习也是必不可少的一种学习手段.如若学生课前进行了有效的预习，必然会带着诸多疑问，课堂上教师进行逐一讲解，则会加深学生对知识的印象.同时，学生也应学会主动探索钻研，学会举一反三、触类旁通.课后复习，任课教师应教导学生学会自行梳理所学知识，对自己所学知识点逐一进行归纳、总结，减少对任课教师的依赖.课后习题及作业，应让学生独立完成，对学生所犯错误要及时更正，避免下次再犯.通过这种对学生学习方式的培养，可以有效地提高学生的自主学习能力，提高学习效率.

3激发学生主观能动性，引导学生主动对数学进行深入探究

主观能动性又称自觉能动性、意识能动性，是指认识世界和改造世界中有目的、有计划、积极主动的有意识的活动能力.在数学教学中，发挥学生的主观能动性，并非一朝一夕就能促成，这需要反复地磨炼才能激发出来.作为数学教师，就要根据具体知识，对教学方式与方法进行适当的调整.鼓励学生发现问题，积极引导学生提出问题，培养学生独立思考和解决问题的能力，以此来实现课堂的有效教学.

4课堂教学形式多样化，激发学生对数学的兴趣

俗语说：兴趣是最好的老师.有了兴趣才能产生爱好，才会对学习产生主动性和积极性.实践活动，又是培养学生兴趣的有效途径之一.因此，任课教师可以在课堂上适当地运用幻灯片或卡片、几何模型等辅助工具教学，把内容图文并茂地讲给学生，让学生能在这些新奇事物中领悟教师所讲的内容，从而大大地提高学生对高中数学的兴趣.

5培养学生创造性思维，让学生思维更广阔

青少年时期，正是培养创新能力及思维的最佳时机.教师在授课过程中，一定要注重培养学生多思考、多观察、多了解的能力.任课教师应加强训练学生自主分析能力，强化学生联想思维.因为联想能让学生从多方面、多角度理解问题，这样既能让学生爱学习，并且能树立起学生的成就感，从而更爱学、好学.任课教师所提供的习题也要一题多样化.学生是通过任课教师所提供的习题来巩固和加深自己所学知识的，而大量的反复练习只会加重学生的负担.反之，如果教师所提供的习题足够新颖，则会有利于培养学生创新能力和意识.

三、总结

新课程理念下的高中数学教学，要更注重激发学生主观能动性，引导学生对高中数学的兴趣，培养学生创造性思维.任课教师要树立起足够的信心和耐心，紧紧跟随新课标，在研究性学习中，不断地突破和拓展，最终结出累累硕果.

【参考文献】

［1］丁聪.坚持“三个结合”实现高中数学课堂有效性教学［J］.文理导航（中旬），2010（8）.

［2］袁辉.新课程理念下高中数学课堂教学有效性探索［J］.新课程（教育学术），2010（9）.

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【关键词】 初中数学 数形结合 教学方式 意义

初中数学教学中主要研究两类对象，即数和形。它们既相互独立，又相互渗透，是一种相互依存的关系，因而数形结合的思想是研究数学问题的一种十分重要的思想。在初中数学教学中，如果教师能够有效运用数形结合的思想来进行教学，那么就可以有效激发学生学习数学的兴趣，从而提高教学质量。

一、数形结合的概念

数形结合也就是根据相应数学问题的已知条件和结论之间所存在的一种内在联系，不光要分析数量上的关系，还要揭示相应的几何意义，从而将数量关系同几何图形进行巧妙的结合，进而有效利用这种结合，来探求解决相应数学问题的思路，找到解决问题的思考方法。数形结合的思想内容一般表现为以下几个方面：⑴建立比较恰当的代数模型（一般为方程、函数和不等式模型）；⑵建立相应的几何模型（或者是函数图像），进而有效解决有关函数和方程的问题；⑶同函数相关的几何、代数的综合性问题；⑷利用图像形式呈现相应信息的应用问题。要想使用数形结合的思想来解决相应的数学问题，就必须找到数和形的恰当的契合点。在实际的应用当中，如果单纯的用数来解决问题，就会缺乏相应的直观性，而如果单纯的用形来解决问题，就会缺乏相应的严密性，而将数和形进行有机的结合就能够做到优势互补，从而取得良好的效果。

在初中数学教学过程当中，如果教师能够有效运用数形结合的方式进行教学，那么就可以有效激发学生学习数学的兴趣，从而培养并提高学生的思维能力，促进学生形成比较好的数学思维能力。

二、在初中数学教学中数形结合教学方式的意义

1、在教学中渗透数形结合思想，有利于学生运用这种思想分析数学问题的意识。每名中学生在平常的生活当中都会拥有一些图形方面的知识，例如温度计和它上面的温度刻度，刻度尺和它上面相应的刻度，每天走过的上学和放学的路线也可以当做是一条直线，教室中每名学生的座位等，积极利用学生的这些认识基础，将学生生活中的数和形相结合的例子转移到教学中来，从而在课堂上渗透相应的数形结合思想，并充分挖掘教材所提供的一些机会，有效把握渗透数形结合思想的契机。例如学习一元一次不等式解集和一次函数的图像，数和数轴，二元一次方程组的解和一次函数图像之间的关系，一对有序实数和平面直角坐标系等等知识的时候，都是进行数形结合思想渗透的良好时机。

例题：小亮和母亲晚饭后出去散步，从家走了20分钟之后到达了一个报亭，这个报亭距离他家有900米，母亲马上按照原来的速度回家。小亮看了10分钟的漫画以后，用15分钟回到家里。你可以在线面的平面直角坐标系中表示出二者离家的时间和距离间的关系吗？

初中数学教师必须积极将生活中的实际问题和探索规律相结合，对学生进行多次的数形结合思想渗透，不断强化初中数学中的数形结合的思想，进而使学生逐渐形成在学习数学的时候有效运用数形结合的意识。而且，教师必须教授学生在运用数形结合的时候要特别注意一些原则，例如到底是知形确数还是知数确形，进行规律探索的时候要从特殊到一般，进而归纳并总结出一般性的结论。

2、应用数形结合思想，可以使学生在解决问题的时候更加灵活，不断增强分析及解决问题能力。初中数学教师在渗透数形结合的思想的时候，必须使学生充分明白要想利用数形结合解决问题，就必须找准二者的契合点，然后根据相应对象的属性，将数与行进行巧妙的结合，进而进行相互间的有效转化，这样才能真正有效的解决相应的数学问题。数形结合的思想通常表现在一些利用图像呈现相应信息的数学应用性问题当中。

通过这两个例题我们不难看出，在解决数学问题的时候如果能够有效的应用数形结合的思想，就会将一些十分复杂的数学题变得十分简单从而获得比较清晰的解题思路，而且步骤明了。

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【关键词】初中数学 数学教学 数学建模 应用

一、问题的提出

九年义务教育阶段的新数学课程标准强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”和“体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力”。能够解决实际问题是学习数学知识、形成技能和发展能力的结果，也是对获得知识、技能和能力的检验，而“数学建模”是解决实际问题的有效途径。如著名的“哥尼斯堡七桥问题”是众多游客始终未能解决的难题，大数学家欧拉不是到桥上去试走，而是巧妙地运用数学知识把小岛、河岸抽象成“点”，把桥抽象为“线”，成功地构建出平面几何模型，成为数学史上用数学解决实际问题的经典。随着新数学课程标准中对数学应用能力要求的提高，在教学中结合教材内容进行数学建模势在必行。本文就初中数学建模及其教学问题做出探讨。

二、数学建模的内涵

我们把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构，称为数学模型。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可以是方程、函数或其它数学式子，也可以是图表和图形。而数学建模就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题的全过程。

数学建模是一个“迭代”的过程，可以用一个框图来表示：

（1）模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息，用数学语言来描述问题。

（2）模型化简假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，抽象出主要关系，将实际问题理想化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

（3）模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。

（4）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数进行计算（估计）。要结合实际问题，看结果是否合理，以修正可能出现的计算错误，甚至修正上一阶段建模的错误。

（5）模型分析验证：对所得的模型结果进行数学上的分析，将分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，进行解释，并看它能否应用到更一般的问题中去。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。

事实上，从方法论角度来看，数学建模是一种数学思想；从具体教学角度来看，数学建模是一种数学活动。数学建模作为问题解决的一种模式，它更完整地表现了学数学和用数学的关系，给学生再现了一种微型的科研过程，这对学生今后的学有益处。

三、初中数学建模教学的几个原则

1.教师意识先行原则。在教学活动中起主导作用的教师首先应具有数学建模的自觉意识，从我做起，从小事做起，更新教育观念，不断积累和更新专业知识，不断在教学过程中用自己的数学建模意识去熏陶学生，在看似没有数学建模内容的地方，不满足于表层的感知，挖掘出训练数学建模能力的内容，给学生更多数学建模的机会，使他们形成良好的思维品质。

2、因材施教原则。因材施教原则是教育教学的一条基本原则。在初中数学建模教学中，首先应选择学生身边的实际问题，使学生能建立比较好的、考虑比较周到的数学模型，真正体会到数学的应用；其次数学应用与建模主要应控制在“简单应用”和一部分“复杂应用”的水平上，教师可以通过一些不大复杂的应用问题，带着学生一起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验；最后应根据每个人的原认知结构不同，而以不同的方法施教。

3.近体原则。近体原则是指在教育教学过程中，教与学之间在时间、空间的距离、心理及情感等方面的差异尽量缩小，在有限的时间内，达到满意的教育教学效果。首先，在中学数学建模教学中，师生要不断吸收新知识、新信息和新材料，及时了解社会热点问题，把课本内容引出课堂，把生活实践引入课堂，用课本知识分析解决社会热点问题。如对课本中出现的应用问题，可以改变设问方式、变换题设条件，互换条件结论，拓广类比成新的数学建模应用问题；对课本中的纯数学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则，编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题，使学生受到如何将实际问题数学化、抽象为数学问题的训练。适当的选取社会热点、市场经济中涉及诸如成本、利润、储蓄等素材，使学生掌握相关类型的建模方法，为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题提供了能力上的准备。其次，教师应从实际出发，了解学生的身心发展规律，通过创造性的思维和实际，引起学生的有意注意，诱发学生的思维与探讨，从而达到最佳的教学效果。特别是我们在课堂上要留有适当的时间给学生思考与探讨，让学生自己发现，不但能使数学课堂充满活力，而且能够大大提高学生的学习效率。最后，教师应适时地让学生在自己动手动脑中寻求发展，在实践中体验数学，在活动中学数学、用数学，真正实现从传统的教师中心向学生中心的转变。

4.课内课外相统一原则。和提高学生其它素质一样，培养学生的数学建模能力，也应向课堂要质量，把数学应用和数学建模与现行数学教材有机结合，把应用和数学课内知识的学习更好地结合起来。教师应特别注意向学生介绍知识产生、发展的背景；引导学生了解知识的功能和在实际生活中的作用，引导学生在学中用、在用中学。另一方面，由于数学建模是与实际问题密不可分的，仅仅在课堂上是学不好的，还必须走出教室，利用课外活动时间开展实践活动，把课内课外有机地统一起来。学生能动地参与了建模的各个环节，在问题解决的全过程中得到实际体验，亲身体会到数学探索的愉悦，就会对数学的学习产生浓厚兴趣。

5.科学性原则。首先，实际应用的数学问题有时过难，不宜作为教学内容，有时过易，不被人们重视，因此在中学阶段应介绍哪些数学建模理论和方法，须作科学合理的安排。其次，数学建模非常有用，但我们还应强调数学应用的科学性，使他们能以批判的、慎重的态度对待数学的应用。

四、数学建模在初中数学教学中的一些应用

初中数学中的许多问题，都可以通过建立数学模型，创造性地求解。下面根据建立数学模型所需的数学知识和方法进行分类探究。

1.利用等量关系，建立方程模型

例1 在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量，三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：甲同学说：二环路车流量每小时为10000辆；乙同学说：四环路比三环路车流量每小时多2000辆；丙同学说：三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍。请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？

分析：此题已知三个常量之间的关系，通过建立方程模型来解决。在建立方程模型时，应注意寻找问题中的已知量、未知量之间的等量关系来建立方程。

解：设高峰时段三环路的车流量为每小时x辆，则高峰时段四环路的车流量为每小时(x+2000)辆。根据题意，得3x-(x+2000)=2×10000。解这个方程，得x=11000。故x+2000=13000。

答：高峰时段三环路、四环路的车流量分别为每小时11000辆和13000辆。

2.利用不等关系，建立不等式模型

例2 某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年)，年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时无需再购买门票；B类年票60元，持票者进入园林时，需再购买门票每次2元；C类年票每张40元，持票者进入园林时，需要购买门票，每次3元。求一年中进入园林至少超过多少次时，购买A类门票比较合算？

分析：本例是以旅游为背景消费决策问题，可利用购买A类门票者的总费用比其他三种都少的不等关系，建立不等式组模型求解。

解：设至少超过x次购买A类门票比较合算，则有：

故一年中进入园林至少超过30次时，购买A类门票比较合算。

3.利用变量关系，建立函数模型

例3 某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其它生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品.

(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y个，请你写出y与x之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？

分析：此题属于二次函数模型应用问题，解答的关键是掌握二次函数的一般形式及二次函数的最值性质。

解：（1）根据题意得，y=(80+x)(384-4x)。整理得，y=-4x2+64x+30720。

（2）y=-4x2+64x+30720=-4(x-8)2+30976。当x＝8时，y最大＝30976。

即增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是30976件。

4.利用数据分析，建立统计模型

例4 某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况：

同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个求，问投进3个球和4个求的各有多少人。

分析：题目涉及到数据的收集、整理和分析，由题意可建立平均数的统计模型求解。

解：设投进3个球的有x个人，投进4个球的有y个人由题意，得

经检验：x=9,x=3是原方程组的解。

答：投进3个球的有9个人，投进4个球的有3个人。

5、利用图形性质，建立几何模型

几乎每一个几何定理都有一个对应的图形，这个图形就可以看作几何的基本图形。只要熟悉了这些定理及其图形，就可运用这些图形的性质建立几何模型来解决一些实际问题。

(1)线形模型

例5 如图，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）

A、一处B、二处 C、三处D、四处

分析：三条公路可看作是三条直线，油库可看作是一个点，于是问题可抽象为：已知ΔABC在平面内求出到此三角形三边距离都相等的点的个数。

解：由三角形的性质知道，满足条件的点共有四个：ΔABC的内心（1个）、旁心（3个），故选D。

（2）三角形模型

例6 如图，甲、乙两楼相距36m，高楼高度为30m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶的仰角为30°，问乙楼有多高（结果保留根式）？

解：如图所示，作AECD，E为垂足。

则AE=BD=36m，DE=AB=30m。

答：乙楼高为(30+123)m。

（3）圆模型

例7 采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域；导火线燃烧速度是1厘米/秒，人离开的速度是5米/秒，至少需要导火线的长度是()

A. 70厘米 B. 75厘米 C. 79厘米 D. 80厘米

解：以爆破点（点O）为圆心，400米为半径画圆（如图）。

要确保安全，点A（工人）与圆O（非安全区域）的位置关系是：点A在圆O上或圆O外，即OA≥400米。设需要导火线的长度是x厘米，则x1≥4005，解得x≥80。所以至少需要导火线的长度是80厘米。故选D。

（4）特殊的四边形模型

例8 如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，ECBC，BA∥DE， BD∥AE．甲、乙两人同时从B站乘车到F站．甲乘1路车．路线是B―A―E―F；乙乘2路车，路线是B―D―C―F．假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站．请说明理由。

解：建立如图所示的几何模型，并连结BE，交AD于G。

故BA+AE+EF=BD+DC+CF。两人同时到达F站。

初中数学建模教学的主要目的是要培养学生的数学应用意识、掌握数学建模的方法，为将来的学习和工作打下坚实的基础。因此，加强数学建模教学具有积极的意义。希望本文的探讨，能为促进数学建模教学起到抛砖引玉的作用。

参考文献：

[1]顾日新.浅谈中学数学建模教学的设计原则.南京师范大学数科院.

[2]周建峰.“近体原则”在中学数学建模教学中的应用.浙江师范大学附中.

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关键词：初中数学 数形结合 教学方式 有效运用

数形结合思想是初中数学教学中最重要、最基本的教学方法，它在数学中有着广泛的应用，是解决许多数学问题的有效手段。数和形是数学研究客观物体的两个方面，数侧重于物体的数量方面，具有精确性；形侧重于物体的形状方面，具有直观性。初中数学教学中主要研究的数和形，它们既相互独立，又相互渗透，是一种相互依存的关系，因而数形结合的思想是研究数学问题的一种十分重要的思想。 在初中数学教学中，如果教师能够有效运用数形结合的思想来进行教学，那么就可以有效激发学生学习数学的兴趣，从而提高教学质量。

一、理清数形结合的概念和表现形式

1、数形结合的概念理解。数形结合也就是根据相应数学问题的已知条件和结论之间所存在的一种内在联系，不光要分析数量上的关系，还要揭示相应的几何意义，从而将数量关系同几何图形进行巧妙的结合，进而有效利用这种结合，来探求解决相应数学问题的思路，找到解决问题的思考方法。

2、数形结合的表现形式。数形结合的思想内容一般表现为以下几个方面：① 建立比较恰当的代数模型（一般为方程、函数和不等式模型）；② 建立相应的几何模型（或者是函数图像），进而有效解决有关函数和方程的问题；③ 同函数相关的几何、代数的综合性问题；④ 利用图像形式呈现相应信息的应用问题。 要想使用数形结合的思想来解决相应的数学问题，就必须找到数和形的恰当的契合点。在实际的应用当中，如果单纯的用数来解决问题，就会缺乏相应的直观性，而如果单纯的用形来解决问题，就会缺乏相应的严密性，而将数和形进行有机的结合就能够做到优势互补，从而取得良好的效果。

在初中数学教学过程当中，如果教师能够有效运用数形结合的方式进行教学，那么就可以有效激发学生学习数学的兴趣，从而培养并提高学生的思维能力，促进学生形成比较好的数学思维能力。

二、初中数学教学中数形结合教学方式的有效运用

1、有利于培养学生分析数学问题的意识

中学生在平常的生活当中都会拥有一些图形方面的知识，例如温度计和它上面的温度刻度，刻度尺和它上面相应的刻度，每天走过的上学和放学的路线也可以当做是一条直线，教室中每名学生的座位等，积极利用学生的这些认识基础，将学生生活中的数和形相结合的例子转移到教学中来，从而在课堂上渗透相应的数形结合思想，并充分挖掘教材所提供的一些机会，有效把握渗透数形结合思想的契机。例如学习一元一次不等式解集和一次函数的图像，数和数轴，二元一次方程组的解和一次函数图像之间的关系，一对有序实数和平面直角坐标系等等知识的时候，都是进行数形结合思想渗透的良好时机。例题：小华父母晚饭后出去散步，从家走了20分钟之后到达了距离他家有900米的报亭，母亲马上按照原来的速度回家。父亲看了10分钟的报纸以后，用15分钟回到家里。你可以在线面的平面直角坐标系中表示出二者离家的时间和距离间的关系？

初中数学教师必须积极将生活中的实际问题和探索规律相结合，对学生进行多次的数形结合思想渗透，不断强化初中数学中的数形结合的思想，进而使学生逐渐形成在学习数学的时候有效运用数形结合的意识。 而且，教师必须教授学生在运用数形结合的时候要特别注意一些原则，例如到底是知形确数还是知数确形，进行规律探索的时候要从特殊到一般，进而归纳并总结出一般性的结论。

2、有利于学生在解决问题时更加灵活，不断增强分析及解决问题能力

初中数学教师在渗透数形结合的思想的时候，必须使学生充分明白要想利用数形结合解决问题，就必须找准二者的契合点，然后根据相应对象的属性，将数与行进行巧妙的结合，进而进行相互间的有效转化，这样才能真正有效的解决相应的数学问题。 数形结合的思想通常表现在一些利用图像呈现相应信息的数学应用性问题当中。比如一元二次方程解的意义例子：ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程。它的解可以理解为函数y=ax2+bx+c的图象与常值函数y=0，即x轴的交点的横坐标。那么当公共点有两个时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数解；当公共点只有一个时，对应的一元二次方程有两个相等的实数解；当没有公共点时，对应的一元二次方程没有实数解。

例：①x2-x-6=0，x1=-2，x2=3，y=x2-x-6与x轴的公共点A（-2，0），B（3，0）；

②x2-2x+1=0，x1=x2=1，y= x2-2x+1与x轴的公共点A（1，0）；

③x2+1=0，没有实数解，y= x2+1与x轴没有公共点。

通过这个例题我们不难看出，在解决数学问题的时候如果能够有效的应用数形结合的思想，就会将一些十分复杂的数学题变得十分简单从而获得比较清晰的解题思路，而且步骤明了。

总之，初中教育是一项基础教学，其目的是教授学生一些基础性的知识，培养学生的思维能力、学习能力和解决生活实际问题的能力。数形结合的教学方式不仅可以有效培养学生的转化思想，数形结合解决问题的意识，还能促进学生分析数学问题和解决数学问题的能力，所以数学教师一定要积极加以利用。

参考文献：

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关键词：作图法；初中；数学；应用

一、初中数学中最基本的几种作图方法

初中数学的作图方法是尺规作图的基础，初中数学应用较为广泛的几种作图方法有五种：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作一个角的角平分线、过定点作已知直线的垂线、作线段的垂直平分线。这几种作图方法是整个数学平面几何的关键所在，只有掌握了这几种作图方法和技巧，才能够为尺规作图做准备。准确地作图是最关键的，也为解决各种各样的问题打下了良好的基础。关于作图法的认识，最重要的还是将这种方法成功地应用在解决各种各样的数学题目中去，实现它的实用性。其实，对于初中数学作图法的应用更加强调的还是对于图形性质的认识和总结，对于理性思维和推理能力要求得较高，考察的是学生们的知识应用能力。例如在数学解题过程中通过构建辅助线的方法来进行，对于问题的解决有很大的帮助作用。

二、几种作图方法在初中数学中的应用

1.将实际的问题转化成数学模型

某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为多少？这是一道典型的数学几何模型构建的题目，在初中数学几何中，关于坡度的计算实际上构建的就是最简单的直角三角形，坡度即这两者的比值。对于这类题目的理解和做法，要充分地融入到具体构建的三角形中去，这样能够轻而易举地解决实际的问题。或者可以说，将作图法成功地运用在具体实际问题的解决中，实际上贯彻的是这样的一种思维和能力，即将应用题的场景抽象化，转化成具体直观的数学模型，这对于解决问题有着至关重要的作用，能够较为快速、高效地解决具体的问题。

2.有效地将未知量转化成已知量，构建常见图形

对于初中数学作图法的理解和认识，其归根到底是将未知的问题转化成已知的问题，将具体的问题放在熟悉的图形中去，这对于解决问题有着很好的帮助作用。很多的数学题目中所考察的正是这方面的内容，各个标准图形的性质是考察的重点，将题目中的所问与图形的性质结合起来对于解决具体的问题有很大的帮助。如图1，题目中的点梯形ABCD腰CD的中点是E；需要证明的是梯形ABCD面积是ABE的面积的二倍。解决办法是分别经过顶点C和腰的中点E作直线，交于点F，这样形成了新的三角形，与三角形ADE相等。这是梯形中很重要的作辅助的方法。

又如例题，如图2.已知∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，CEBD，求证：BD=2CE，因为角是轴对称图形，对称轴就是这个角的角平分线，这样就能够由此作出辅助线，不难发现CF=2CE，再证BD=CF即可。

如图3，在ABCD梯形中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，AD、BC的中点分别是F、G，若BC=18，AD=8，求FG的长。从∠B、∠C互余，那么可以将它们放在一个直角三角形中，这样通过延长BA、CD，要求FG，就需要求出PF、PG的长度。

综上可以看得出来，这几个题目都是通过将具体的问题放在特殊的三角形中，根据相关的三角形的性质来进行分析，最终得到应有的结论。同学们在进行这类问题的解决过程中，要善于观察相关图形和问题中的突破口，在这个基础之上进行方法上的推进，经过适量的锻炼和练习就能够提高这方面的能力，对于作图法的认识更加深入，不断地提高解决问题的能力。

3.通过辅助线来构建新的数学图形

在初中数学的几何题目中，通过作辅助线的方法来构建新的数学图形，让这些图形规范化，对于更好地解决问题提供了较为简单的思路的指引。在初中数学问题的解决过程中，之所以要通过作图法来解决问题，就是因为通过作图能够将问题加以分析，通过观察，找到能够在此基础上构建的新图形，这样将图形变得规范，能够充分地运用题目中所给的条件，不断地解决题目中的问题。通过下面的例题可以加以重新认识，已知四边形ABCD中，BCCD，∠BCA=60度，∠CDA=135度，BC=10，SABC=40 ，求AD边的长。这个图形本身是不规范的图形，想要求得AD的长度，必须要把线段AD放到一个具体而且规范的三角形中，因此可以通过作辅助线的方式来进行作图。作AFAC于F，作AECD交CD的延长线于E。在三角形ACD中根据正弦定理可以求得AC=16，AD=8 。

通过这个数学题目我们可以看得出来，如果能够通过适当的图片的构建，通过辅助线的做法来得到图形，就能够很容易地将问题解决。因此在初中数学的学习过程中，要善于构建完整的三角形及各种规范的图形，利用图形的性质来进行解题，不断地联想构建辅助线的方法，这样能够较为轻易地将这些问题解决，对于数学解题能力的培养有很大的帮助作用。

三、结语

作图法是初中的学习中有着重要的应用，在大多数的平面几个问题中都有着较为广泛的应用，它将抽象的问题具体化，对于不断地解决更多的平面问题有着很大的帮助。在解决具体的平面问题的时候，通过作图能够很迅速地解决这些问题。正确、准确地作图是解决问题的关键所在，在具体的作图题目中要通过严格地作图来准确地把握题目中的条件，只有这样才能够通过作图法来解决更多的应用问题。与此同时还要善于观察并分析数学题目中问题的突破口，适当地通过辅助线的引入来进行题目的分析，为数学问题的解决创造好的条件，促进学生解题能力的提高。

参考文献：

[1]许必年：初中数学作图问题的解法，《初中生必读》，2008年第Z2期

[2]李碧松：DPLOT绘图软件在中学数学教学中的应用，《中小学息技术教育》， 2007年02期

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关键词： 初中教学 教学效率 方法探究

一、问题的提出

《新课程标准》指出：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”课堂教学应该焕发出无限的生命活力，使学生成为真正学习的主人，这是广大教育工作者不懈追求的目标。

二、问题的解决

传统的数学课堂基本上都是遵循同一种教学模式，即包括复习旧知识、传授新知识、学生练习巩固新知识三个环节。这一教学模式不但扼杀了学生的创造性，而且剥夺了学生学习的自主性。我在实际教学中一直着眼于面向全体学生，发展个性，注重对初中数学课堂教学结构进行调整和优化，提高了课堂教学效率并收到了良好的效果。主要从以下几个方面入手。

（一）课前准备，做到有效备课。

上课之前应明确本堂课的教学目的、任务，突出重点、化解难点。做到备教材，备教案，备学生，备习题。我们必须急学生之所急，想学生之所想，制定贴近学生、切合实际的课堂教学目标，最大限度地提高课堂教学效率。

（二）课堂导入，做到简洁有趣。

数学知识一般较抽象，学生若无学习兴趣则无法参与其中。因此，课题的引入不能再像传统课堂上一样以简单的复习旧知识进行，而是要设定丰富的问题情境。问题情境具有情感上的吸引力，能激发学生的好奇心，激发学生对新知识的兴趣。例如在教学“平方差公式”这节时，我创设出问题情境：学校准备买下附近一块长202米，宽198米的长方形地，若价格为每平方米2元，谁能口算出学校需花多少钱？这一问题的列式很简单，但要口算202×198似乎太难，正在学生为难之时，我适时地引入：“如何口算出202×198？通过今天的平方差公式的学习，我们就能解决这个问题。”这样自然激发了学生对新知识的渴望，使学生兴趣盎然地投入“平方差公式”的学习中。

（三）教学方法，做到选择恰当。

数学教学的方法很多，对于新授课，我们往往采用讲授法来向学生传授新知识。而在立体几何中，我们还时常穿插演示法，来向学生展示几何模型，或者验证几何结论。如在教授立体几何之前，要求学生每人用铅丝做一个立方体的几何模型，观察其各条棱之间的相对位置关系，各条棱与正方体对角线之间、各个侧面的对角线之间所形成的角度。这样在讲授空间两条直线之间的位置关系时，就可以通过这些几何模型，直观地加以说明。俗话说：“教无定法，贵要得法。”只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，就是好的教学方法。

（四）课堂提问，做到全面调动。

课堂提问是调动学生学习积极性的催化剂。在这方面，教师应针对学生的不同心理特点和学生的学习情况，精心设计问题。容易的问题让后进生回答，较难的问题让好学生回答，把好、中、“差”生的积极性都调动起来。如对课后题的处理，可以将题型按照难易程度分类，让学生进行讲解。这样可大大激发学生的求知欲，从而提高学生学习数学的兴趣。

（五）课堂讨论，做到有的放矢。

课堂讨论是实施有效教学的重要方法，它为全体学生积极地进行数学学习提供了一种新的学习方式。在实践中运用好讨论式教学法，提高学生课堂讨论实效，不失为提高课堂教学效率的有效途径。

1.讨论问题的设计。讨论题目必须能将学生置于“发现者”“探索者”的位置，便于唤起学生对各种知识的联系和应用，能激发学生的思维积极性，同时难度也要适中，符合学生的认知水平和思维水平。例如，在教学“完全平方公式”的时候，通过小组交流讨论，从计算和比较试验田的面积，引出公式：（a+b）2=a2+2ab+b2。试验田的总面积有多种表示方式，通过对比这些表示方式能使学生对此公式有一个直观的了解。接着提出新任务，组织学生进行小组讨论，并给学生提出明确的讨论目标，要求学生说明每一步的理由，同时，也进一步加强师生之间的互动，强化学生讨论的效果，将课堂氛围推向。

2.讨论时机的把握。在实施讨论式学习时，切忌将课堂讨论仅当做一种活跃课堂气氛的工具。讨论频率不宜过高，因为频繁的讨论无形中会减少学生独立思考的空间和时间，从而使讨论止于表面，不能深入。久而久之，就会让学生对讨论这种学习方式失去新鲜感，为讨论而讨论。因此，在组织讨论学习前，应给学生留有一定的独立思考的时间，使他们对所讨论的问题要先形成自己的见解，然后在讨论中不断地补充、修正和提升。只有这样，在组织学生进行小组讨论时，学生之间才能相互启发，思维才能不断碰撞，对问题的认识才能上升到一个新的高度。

（六）课堂练习，做到例题强化。

在课堂教学中组织和处理好例题，多做课堂练习，腾出时间让学生多实践。在数学课堂教学中，启发学生掌握学习规律，掌握解题方法，总结和归纳知识结构显得尤为重要。例题的选编和教学是课堂教学的一个重要组成部分，例题又是教材的一个重要组成部分。在课堂教学中例题既能承上启下，引入新概念，又能使学生加深对概念、公式、法则、定理的理解；还能启迪学生的思维，培养学生的能力，发展学生的智力，举反例还能证明假命题，揭示错误根源。所以在每堂数学课上，教师应腾出一部分时间，让学生做做练习或思考老师提出的问题，或解答同学的提问，以进一步巩固本堂课的教学内容。若课堂内容相对轻松，也可以指导学生进行预习，提出适当的要求，为下一次课做准备。

总之，有效地组织好课堂教学的各个环节，将课堂还给学生，有效地激发学生的主观能动性，就能提高课堂效率。课前多动脑子，课后收获颇丰。

参考文献：

［1］陈凤梅.初中数学课堂提问低效现象及策略研究［J］.新课程（教育学术版），2009，（5）.

［2］张大华.初中数学课堂教学有效性的再思考［J］.中学数学教学参考，2009，（10）.

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〔关键词〕数学 教学 数形结合

“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。那么，如何在初中数学教学中渗透数形结合的教学思想呢？

1 加强对数形结合的认识

1.1 数形结合的深层含义。数形结合是指将抽象的代数语言和直观的图形结合，也可以理解为将代数问题转化为几何问题，达到简化问题的目的，易于理解。“数形结合思想”是研究数学问题重要的思想方法，是将抽象思维和直观图形结合，将不易于理解的、抽象的数学问题直观化。初中阶段教学中渗透“数形结合思想”，能够培养学生的数学思维，而且解决问题的时候能够达到事半功倍的效果。

1.2 数形结合思想的主要内容。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：①建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型），②建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题。③与函数有关的代数、几何综合性问题。④以图象形式呈现信息的应用性问题。采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

1.3 数形结合思想的重要性。几何本身缺乏严密性，而代数本身却又缺乏直观性。只有将二者有机地结合起来，互相取长补短，才能突破思维的限制，加快数学的发展。数与形是数学研究的两大基本对象。“数”是指数与式，“形”是指图形与图像。数形结合的思想可以变抽象思维为形象思维，揭示数学本质的东西。直角坐标系的建立可以将代数和几何问题紧密地联系起来，为许多实际问题的解决提供新的思路和策略，对问题的解决产生事半功倍的效果。因而数形结合的重点是研究“以形助数”。

2 初中数学教学中数形结合教学思想的渗透策略

2.1 常规知识教学中渗透思想。在初中数学教材以及教学大纲中会安排各种各样的知识内容，这些内容根据性质或者知识属性可以归纳为不同的类别，有些类别是偏理论性的，有些是偏实践性的；有些需要长篇的论证，有些需要简单的讲解。知识类别的不同决定了教学方法、学习方法或者说是数学思想的不同。客观来讲，数形结合的思想并不一定适用于所有的初中数学的知识内容。但是值得注意的是，数形结合思想是在日常的教学和学习中不断渗透形成的，所以在教学中要有意地运用数形结合的思想进行解题，虽然不是最简单和实用的方法，但是在走投无路时还是一根救命稻草，让学生们有使用这种方法的意识。因此在日常的教学中，尽管不适合数形结合方法的题目也要尽量地渗透一下这一思想，将其作为最后的选择。数形结合思想的渗透最直接的方法就是在讲课过程中采用数形结合讲解的办法，每一节课的内容都用到数形结合的方法，那么这种方法就会在学生的脑中扎根。

2.2 分析数学概念，渗透数形结合思想。众所周知，数学的概念具有很强的概括性，属于感性认识上升到理性认识。数学概念是对知识点的浓缩，是解决数学问题的依据，也是建立数学相关定理和公式的基本条件。而对数学概念的认知就是依据数形结合思想，数学概念是经过深入分析而逐步加工形成的，不是一次性总结的，它需要反复地研究、推敲。数形结合思想也是通过逐步探究和分析，分析数学概念中的数学思想方法是理解数形结合方法的一种重要手段，通过教师的引导，让学生理解概念，体会数形结合的思想。

2.3 不等式内容蕴藏着“数形结合”思想。义务教育新课标教材《数学》七年级下册第九章内容是一元一次不等式和一元一次不等式组。一元一次不等式的解法虽然与一元一次方程的解法相似，但学生不易理解一元一次不等式的解有无数个。在教学时，为了加深七年级学生对不等式的解集的理解，教师可在必要时把不等式解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到不等式有无限多个解。另外，还有一些习题要求通过数轴上所表示的点的位置去求变量的取值范围或详细值，这里就隐含着“数形结合”的思想方法。

2.4 渗透数形结合的思想，养成用数形结合分析问题的意识。每个学生在日常生活中都具有一定的图形知识，如：绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度，温度计与其上面的温度，我们每天走过的路线可以看作是一条直线，教室里每个学生的坐位等等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，在教学中进行数学数形结合思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。结合探索规律和生活中的实际问题，反复渗透.强化数学中的数形结合思想，使学生逐步形成数学学习中的数形结合的意识。从而归纳总结出一般性的结论。