高数和概率论精选(十四篇)

序言：作为思想的载体和知识的探索者，写作是一种独特的艺术，我们为您准备了不同风格的14篇高数和概率论，期待它们能激发您的灵感。

篇1

关键词：高等数学；概率论；探讨

一、用中值定理对命题的证明

在高等数学教学中学生对于使用罗尔中值定理，对一些命题进行证明的时候往往得不到要点，解不出相关的题目。这种类型的题目的特点是比较抽象，需要有一定的想象能力、观察能力。在此以以下三个题目为例，对此类型的题目做一些归纳总结。

例1：证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点ξ∈（a,b），使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。（该题为2009年研究生入学考试数学三的真题）

这个题目是教材上的定理教材作了详细的证明。有一本教材是这样证明的：

作辅助函数φ(x)=f(x)-f(a)- (x-a)

由定理假设易知φ(x)满足条件：（1）在闭区间在[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)可内导；（3）φ(a)=φ(b)=0，因此由罗尔定理可知，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得φ'(ξ)=f'(ξ)- =0即f'(ξ)= 。

有不少学生会学得为什么要造让φ(x)=f(x)-f(a)- (x-a)这样的辅助函数，理论依据是什么，如果没有依据是很难联想到这样的函数的。

例2：已知常数b＞0，函数f(x)在闭区间[0,b]上连续，在开区间(0,b)内可导，则至少存在一点ξ∈(0,b)，使得f(ξ)+ξf'(ξ)=f(b)。

证明方法如下

证明：作辅助函数，φ(x)=xf(x)-f(b)x显然φ(x)满足条件：（1）在闭区间在[0,b]上连续；（2）在(0,b)可内导；（3）φ(0)=φ(b)=0因此由罗尔定理可知，至少存在一点ξ∈(0,b)，使得φ'(ξ=)f(ξ)+ξf'(ξ)-f(b)=0即f(ξ)+ξf'(ξ)=f(b)。

这个题目与拉格朗日中值定理的证明有很大的类似之处，不同的是辅助函数不同，应用罗尔中值定理的区间具体化了，函数不同了。下面一个例子难度就更大了，借助于这个例子我们可以从中找出规律。

例3：证明：已知函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 内可导，f(b)=0，则至少存在一点ξ∈(0,b)，使得f'(ξ)= 。

证明方法如下：

证明：作辅助函数φ(x)=(x-a)bf(x)，显然φ(x)满足条件：（1）在闭区间在[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)可内导，由拉格朗日中值定理可知：至少存在一点ξ∈(0,b)，使得φ'(ξ)= ，整理后可得f'(ξ)=

这个证明题的难点在于，辅助函数的构造很难。遇到这个题目，头脑比较灵活的学生会想到令φ(x)=(x-a)f(x)，但这样却达不到解题的目的。

那么这一类型的题目有没有相应的依据呢。我们可以沿着这样的思路去解这个题目：在微分学中，只有两个定理可以证明存在一点ξ∈(a,b)，使得某个等式成立。这两个定理分别是介值定理和中值定理。介值定理中不含有某一个函数的导数，因此对于该题目不适用。那只有用中值定理，而中值定理分为三个，分别是：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。但后两者都是在罗尔中值定理的基础上得以证明的。因此我们只需要使用罗尔中值定理即可解出这一类题目。罗尔定理的内容是：如果函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)可内导；（3）在区间两个端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。罗尔定理的主体是一个函数和一个区间。要想使用罗尔中值定理必须找到一个函数和一个区间，而区间往往是题目已经给定的，所以重点就在于找一个辅助函数，然后应用罗尔定理，证明出该题目。因为要证明的是：f'(ξ)= ，整理后可得： +f'(ξ)=0，这种形式与罗尔定理的结论比较接近了，但是我们仍旧不容易找出哪一个函数在ξ处的导致为 +f'(ξ)，联想到[eg(x)f(x)]'=eg(x)[g'(x)f(x)+f'(x)]，我们令g'(x)= ，然后求出g(x)那么令φ(x)=eg(x)f(x)，将是我们需要的辅助函数。不难求出eg(x)=(x-a)b，然后对函数φ(x)=(x-a)bf(x)在区间[a,b]上使用罗尔中值定理即可解出该题目。

该类题目看似是微分学的内容，却使用了不定积分的方法，这也是这类型题目的难的地方。希望这种方法可以给讲授微积分课程的老师和学习微积分课程的学生带来一定的帮助。

二、数学期望存在的一个条件的说明

离散型随机变量的数学期望定义是：设随机变量X的分布率为P{X=xi}=pi(k=1,2,…)，EX= x p{X=x }= x P 称为X的数学期望。（注：若X的可能值的个数是可数的，要求级数 x P 绝对收敛）由于有些课本对此没有进一步说明读者难以深刻理解在此做以说明。

因为离散型随机变量的可能值x1,x2,…xr,…之间实际上没有先后顺序的关系，故要求级数绝对收敛，因此只有绝对收敛级数的和才与其项的顺序无关。例子如下：

由于若x∈(-1,1)，则In(1+x)=(-1)n+1 xn+…，

当x=1时， (-1)=1- + - + - + - +…=1n2①

上式乘以 后，有(-1)= - + - +…= 1n2②

①+②可得：1+ - + - - +…= 1n2

因此离散型随机变量的数学期望必须加上一个条件就是：若X的可能值的个数是可数的，要求级数 x p 绝对收敛。

以上两个问题是学生在学习过程中的难点，也是作者本人在教学过程中一总结，希望对在学习微积分和概率论课和中的学生有所帮助。

参考文献：

［1］数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

篇2

关键词： 小学数学 新课标 教学效率

小学数学是义务教育的重要学科之一，是小学教育的重要组成部分。但如今的小学数学课堂教学却陷入了一个怪圈，一方面新课改要求以人为本，通过挖掘学生的潜质，激发学生的潜能来达到教学的目的。另一方面，一线教师又要背负着升学的巨大压力。“教授学生的”与“考核学生的”两者之间似乎形成了难以调和的矛盾，影响着教学效率的提高。不过，世界原本就是矛盾的统一体，有矛盾才会有进步。只要端正态度，积极寻找解决问题的方法，提高学习效率，这一难题一定会迎刃而解。那么，新课改下我们又该通过什么样的途径来提高小学数学课堂教学效率呢？我将从以下几个方面进行探讨。

一、创设情境，正确引导学生

《数学课程标准》指出：“应力求从学生熟悉的生活情境与童话世界出发，选择学生身边的、感兴趣的事物，提出有关的数学问题，以激发学生学习的兴趣与动机。”生活是丰富多彩的，是人类展现自我的大舞台。在生活中，人们会面临各种各样的状况，需要通过主动地探寻、摸索规律，来解决实际问题。针对这一特性，小学数学教师应紧贴生活，创设相关的情境，把教材融入到生活中去，通过对相似情境的刺激和启发，让学生发现、质疑、探究数学中的一些实际问题。在此过程中，小学数学教师若能够正确地引导学生，在学生面临问题时为之提供有效的引导与证实，则一定能激发学生的兴趣，唤醒学生对数学学习的求知欲与创造欲。

需要特别注意的是，一些小学数学老师教学设计中的“创设情境”多为“为创设而创设”。创设上缺乏挑战，跳跃性过强，忽视关联性，情境创设演变成学生被老师强行从一个情境中转移到另一个情境中。如此下来，学生眼花缭乱，疲于应付，很难做到真正地去思考问题。对于这一现象，我认为，不能因为新课标提倡情境创设，就一味迎合，情境的创设应在同一个数学情境中，这样有利于学生消化所学知识。同时，数学情境不应只是“生活情境”与“数学问题”的叠加，而应从学生的发展需要出发，基于数学本质（包含数学思想方法与相关数学知识于一体），有选择地融入生活元素。

二、启发式教学与讨论式教学双管齐下

教学实践告诉我们，并非老师教了，学生就能获取知识。只有让学生喜欢“参与”，并积极地参与其中，才是真正学了，学到的东西才是真的会了。在教学中，学生应该以学习的主人的身份出现，在老师的启发和引导下自己探索和思考出现的问题。在我的课堂教学中，每讲到一个关键问题，就先启发学生：为什么会这样？结果又会怎样？这种结果会不会改变？等等。如，在给学生讲授“能被2.3.5整除的数的特征”时，我通过先和学生们做游戏来启发他们对数学的兴趣。我说：“同学们，老师有特异功能，不管你们说出多大的整数，老师不用计算就知道它是不是能被2.3.5整除，你们信不信，不信的话，我们可以试一试。”此话一出，课堂气氛立即活跃起来，同学们也都跃跃欲试。结果，不管他们说出多大的数，我都能当即答出，而后学生们通过计算证明了我的答案。如此一来，学生们就很好奇：老师是怎么做到这一点的呢？真的是拥有特异功能吗？还是运用了什么方法？这时，我鼓励学生提问，或者学生提问学生答，再或者学生提问老师答，最后大家一起讨论，等到讨论得差不多了，再一一解开谜底。结果不言而喻，学生对数学的学习兴趣自然提高了，同时也找到了学习数学的归属感。

三、提升小学数学教师专业素养

有研究表明：教师的数学专业素养偏低，这在较大程度上影响了新课程的推进，影响了教学质量的提高。［1］我认为：“数学教师的数学专业知识的深度是数学教师对数学课程调适和开发创新及数学教学方式转变的保证。”［2］想要提高小学数学的教学质量，首先要实现小学教师的专业化。所谓实现小学数学教师的专业化，就是要努力实现由“经验型教学”向“理论指导下的自觉实践”、由单纯“教学型”向“教学与科研并重型”的重要转变。［3］其次，要树立新的数学观念。新的数学观念包括：课程观、学生观、教学观等，同时也要求教师从传授知识的单一角色中解放出来，逐步转化为教育教学的研究者、课程的建设者、学生学习的促进者等多元角色。最后，加强数学科学素质培养。如，让教师加深对数学知识演变史，数学基本性质的认识，了解现代数学发展的趋势和主流，把握每一个细小知识点的理论背景，以全新的视觉对小学数学进行多角度、全方位的透视。

四、重视教学设计的反思与完善

通过课堂教学实现“高效”的教学目标是每一位一线教师的理想，而这一理想的实现有赖于反复的、科学的反思。反复反思可以让教师发现教学中存在的问题和差距，并能够及时地解决问题和调整方案，有利于在二次教学中有效地整合设计，提高教学质量，进而提高自己的教学水平。在教案分析时，我发现很多教师的教学设计里缺少教学反思这个环节。即便是个别教案中涉及教学反思，也仅仅是一些如“教材分析清楚”“教学方法有待改进”“把握学生不是很准确”等毫无用处的套话，教案中也没有修改的痕迹。由于很多小学数学教师并不重视对教学设计的反思和完善，日常的教案只是为应付学校检查或作为抄袭的教参，以至连写教案都成了形式主义更别说主动去翻阅以前的教案进行修改和完善了。然而，没有反思和完善，就不会有积累，教师的教学设计能力也不会得到提高。要知道，教学设计的课后反思与完善是实现高效课堂的保障，其目的就是为了总结已有的知识经验并进行有效的内化，查找失误，指导未来。

数学家华罗庚曾说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”数学是一门抽象性、逻辑性、思维性都很强的学科。一个人的数学素养最重要的就是能够以数学的角度去发现、观察、分析日常生活中的现象，运用数学的思维方式解决现实生活中遇到的实际问题。所以，在数学教学中，小学数学教师应通过积极地引导和启发，让学生学会用数学的眼光去发现、研究周边发生的事物，了解生活；学会自觉运用所学知识和方法去分析、解决问题。

参考文献：

［1］张学杰.小学数学教师的数学专业素养例谈［J］.贵州教育，2007，（10）:18.

篇3

关键词：高等数学;概率论;教学方法

概率论作为数学的分支，主要研究一些随机现象的数量规律。多数高等数学题目难度较大，步骤繁琐且较困难，但是如果巧妙把概率论的知识代入其中，能够化难为易，使复杂的过程变得简单，进而激发学生对高等数学的学习兴趣。

一、概率论

在17世纪的时候，人们就已经开始对概率论进行研究了。然而一直到18世纪，它才得到了快速发展。概率论发展的奠基人是瑞士著名数学家雅克比・伯努利，他在自己的论著中提出了伯努利定理――严格按照规定进行多次实验，某些事件发生的频率会朝着逐步稳定的趋势发展。伯努利这一定理的提出对概率论的发展具有直接的推动作用。从此，概率论逐步被应用到不同领域中。

19世纪初，法国数学家普拉斯通过概率论分析理论著作，完成了对整个概率论学科体系的构建。他在自己的著作中明确阐述了概率论的定义：假设一个整体共由N个事件组成，假如每一事件发生的相同程度是肯定的，情况E由n个事件组成，那么情况E发生的概率就是n/N。

概率论的知识从17世纪开始被研究到发展至今，已逐渐完善并逐步成熟。它在许多领域内被广泛应用，如物理学、生物学、军事技术、农业技术、医学等。人们对概论的研究水平也不断提高，为社会的进步打下了基础。

二、概率论在高数中的运用

高等数学是一个难度较大的学科。如果只是一味地运用传统思路答题做有些高难度的高等数学题目，就会造成答题过程繁琐，最后得出正确答案的几率也很小。这时如果能够把概率论的知识运用到具体的解题中，就往往可以快速、准确地算出结果。下面就通过一些不同的数学题目探讨分析概率论在高等数学中的应用，为学生答题提供答题思路。

1.利用概率分布简化解题步骤

概率论的基础知识是概率分布，在解题时利用概率分布的知识可以简化解题过程，提高解题的效率。在具体答题时可以把0～1之间的数字作为事件发生的概率，利用概率分布得到最后的答案。同时，这种答题方法可以使题目变得简单，提高了结果的正确率，也节省了学生的时间，使学生更能够理解高等数学和概率论之间的联系。

概率论的知识也可以用来求极限问题。例如，求极限。在答这道题时，先假设ξ符合λ=6的泊松分布，那么P（ξ=a）=e-6=1，最后根可以据级数收敛必要性的有关知识得出。这种答题方法同样适用于一些难度较大的题目，同样可以使用概率论的知识简化答题步骤。

2.概率论在计算广义积分和级数中的运用

在概率论知识中，数学期望和方差是随机变量所特有的特征。在解高等数学题时，利用方差与数学期望的随机变量的关系，可以计算高数中求广义积分和求级数等类型的题目。

在高等数学中，求解级数类型的题目可能会遇到很多问题，因此在解决这类题目时，应该更加注重方差和数学期望的引入。只有这样，才能使题目化繁为简，得出正确结果。

所以很容易就得出该题的最终结果是45。

篇4

报考专升本层次的成考生，如果选择的是理工类专业，参加全国统考时，除政治、外语2门公共课外，还要加考高等数学(二)。从现行大纲的复习要求看，高数(二)要求考生掌握高等数学、概率论初步两部分内容。

高数(二)的复习考试大纲适用于经济学、管理学及职业教育类、生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类、药学类(除中药学类外)6个一级学科的考生，是报考这些学科的考生复习备考的指导。

相关辅导老师介绍，从大纲规定看，考生具体复习考试内容共有极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、概率论初步5类内容。

考生要对不同部分的内容做相应程度的掌握。其中，对“高等数学”部分中的极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学部分，以及“概率论”部分中的古典概型、离散型随机变量及其数字特征等内容，要了解或理解其基本概念与基本理论。复习时，考生还要注意各部分知识结构及知识的内在联系，要具有一定的抽象思维、逻辑推理和运算能力。同时，还要能运用基本概念、基本理论和基本方法判断和证明，准确计算，并能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

从高数(二)试卷内容比例来看，一元函数微分学和一元函数积分学两部分所占比例较大，分别为30%和32%，考生复习时可重点加强这两部分。在一元函数微分学部分，考生要了解导数的定义、左导数与右导数等概念，掌握导数的四则运算法则与基本公式，掌握复合函数、隐函数、对数等的求导方法及其他内容;在一元函数积分学部分，考生要掌握不定积分、基本积分公式、换元积分法等知识，同时要掌握定积分的概念、性质及计算等知识。

篇5

据了解，高数（二）的复习考试大纲适用于经济学、管理学及职业教育类、生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类、药学类（除中药学类外）6个一级学科的考生，是报考这些学科的考生复习备考的指导。

北京向导学校相关辅导老师介绍，从2011年大纲的规定看，考生具体复习考试内容共有极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、概率论初步5部分内容。

考生要对不同部分的内容做相应程度的掌握。其中，对“高等数学”部分中的极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学部分，以及“概率论”部分中的古典概型、离散型随机变量及其数字特征等内容，要了解或理解其基本概念与基本理论。复习时，考生还要注意各部分知识结构及知识的内在联系，要具有一定的抽象思维、逻辑推理和运算能力。同时，还要能运用基本概念、基本理论和基本方法判断和证明，准确计算，并能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

从高数（二）的试卷内容比例来看，一元函数微分学和一元函数积分学两部分所占比例较大，分别为30%和32%，考生复习时可重点加强这两部分。在一元函数微分学部分，考生要了解导数的定义、左导数与右导数等概念，掌握导数的四则运算法则与基本公式，掌握复合函数、隐函数、对数等的求导方法及其他内容；在一元函数积分学部分，考生要掌握不定积分、基本积分公式、换元积分法等知识，同时要掌握定积分的概念、性质及计算等知识。

篇6

考研数学包括数学一、数学二、数学三和数学四，其难度是依次下降的，其中数学一最难，数学二不考概率论，数学三和数学四对高数的要求比较低，数学三的概率论的题目可能会多一些，数学四最简单。

数学一适应于偏工科的专业，如计算机与物理之类的专业。数学二比较偏向理科专业，如化学与生物之类的专业。数学三和数学四的界限不是很明显，都是考经济类的专业。

（来源：文章屋网 ）

篇7

进入高职院校的这部分90后大学生，约80%来自高中毕业生，20%来自中专、职校、技校及成人高考，高中毕业生们从精英教育迈向职业教育，产生了很大的心理落差，学习积极性受到一定程度的打击，本来数学基础就薄弱的他们根本很难接受数学的抽象性，很难深刻理解数学结构的严谨性，很难熟练掌握数学应用的广泛性。这些，实实在在地导致了他们对数学避而远之，甚至谈数学色变。我们都深知高数在培养学生基础科学素质中的重要性，在人才培养方案中举足轻重的作用，但却苦于无法用实例说服学生，使得数学教学与专业实践实训脱节。数学教研组通过组织专业课教师、学生代表座谈会，了解管理学院相关专业对高数知识的不同需求。具体来说，工商管理、市场营销专业的核心课程体系中市场调查与预测需运用数学中的最小二乘法计算二元线性回归模型，而最小二乘法的理解需要微积分的基本理论；统计学原理的学习也需概率论的相关知识作为基础。工商管理、市场营销、国际商务专业的学生在学习管理经济学前需熟练掌握微积分的相关数学理论和思想。电子商务、国际商务专业的核心课程体系中，经济学基础的学习需要熟练掌握微积分中导数、运用导数解决最大值和最小值的计算问题、理解边际的思想，同时还需要一定的概率论与数理统计的知识作为后续学习的基础等。人力资源专业核心课程薪酬管理的学习需要熟练掌握微积分基本知识；房屋建筑基础、房地产金融、房地产市场营销等课程的学习均需要概率与统计相关知识对数据进行统计分析。由此可见，数学课程的教学在管理学院各个专业的专业课程的学习中起着举足轻重的作用。因此，管理专业的高数教学中渗透数学素质的教育和能力的培养是刻不容缓的，提高运用数学知识和思想方法解决各种专业问题的能力也是迫在眉睫的。

二、管理学院的高数教学改革的探索

立足于高职教育的培养目标是培养有一定理论知识和较强实践能力的高素质技能型人才，着眼于学生的未来发展要求是毕业生们能顺利地完成从学校到工作的过渡，具有良好的职业素质。通过高数的学习，在知识层面上，学生掌握数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习奠定必要的数学基础；在能力层面上，逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自主学习能力，学生能够理解数学思想，明晰数学方法，建立数学思维，全面提升职业核心能力；在思想层面上，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，踏实细致、严谨科学的学习习惯，树立辩证唯物主义世界观。高职管理类数学教学的改革也应以这几点为根本，从以下几个方面着手进行。

首先，合理安排数学的教学内容和教学体系，实现分专业区别教学，分模块区别教学，课程教学以一元函数微积分为基础，线性代数及概率论为辅修，数理统计为选修内容。在教学内容上，教学要以强化概念、注重应用、培养能力、提高素质为重点，针对不同专业对数学知识的需求，大胆地抛弃传统的过于强调理论的教材，同时，适当选取自学内容，对于部分与中学教学内容重叠的数学知识，可作为自学内容，自学要求要明确，并且要有自学提纲，引导学生自主学习、独立思考。更加注重能力的培养和创新精神的培养，引入相关专业实践实训中的实际案例，通过相关案例的介绍引出相关的数学概念及其相关数学思想及理论，提高学生学习数学的积极性，让学生在用数学思想和数学方法解决专业相关问题的同时，加强数学修养，提高了数学素质。

其次，合理安排数学课程和相关辅修课程的教学顺序，如计算机基础课程，我们建议在一年级就开设相关语言课的学习，同时在高等数学、线性代数、概率论与统计等数学基础课程的教学中，我们辅助介绍运用计算机相关软件分析、解决一些数学问题。如运用Matlab软件画出经济函数的图形，从而了解经济函数的相关特性，如：单调性、极值、最值，了解函数的边际和弹性，让学生走入机房，自己动手，从中真正地体验到以计算机作为工具解决数学问题，用数学理论作为工具解决经济问题的乐趣，在“用数学”的过程中体会“用数学”的乐趣。

篇8

关键词：高中数学；解题；高中生视角；总结和启发

高中数学的题型多种多样，都涉及到大量的已知条件以及未知条件，然而高中数学题型都有各自的特点，因此高中生不能拘泥于题海战术，需要“化题海为题塘”，通过对某类题型中的解答研究分析收获总结和启发。由于数学题型多种多样，千变万化，本人只能选取一种数学板块有代表性的概率论与数理统计典型题型并以解题的方式得到启发。

一、高中数学概率论与数理统计解题得到的启发

概率论与数理统计是高中数学的重要版块，该版块的知识点与生活联系紧密，通过对过去数据的分析与读取来判断整体数据的趋势与走向，或者是事件发生的概率，通过对这些的分析之后，人们可以得到完整准确的外界信息，从而作出最理智与科学的判断。概率论与数理统计题型在高考中的作为重点与难点需要高中生把握好解体要领。高中数学概率论与数理统计相关题型解题中得到的启发很多，在此无法一一详尽，只能选取以下三个题型解答过程作为案例以供参考：

1.要对相关事件与独立事件进行最准确的分析与判断如例题（1）小明投掷骰子，小明前五次掷骰子，得到的点数从小到大排序分别为1，3，3，4，5，小明认为五次都没有掷到6，那么最后一次必定为6，问小明的判断是否正确，如果不正确，请给出理由。这是考察高中生对数学概率论最基本相关概念的区分与判断，解答概率题型的首要条件是判断事件是否相互独立，第六次掷骰子与前五次掷骰子是互相独立的，因此不管是前五次6出现了多少次，第六次掷骰子出现6的概率都为六分之一。

2.要运用整体思想，简化求解，活用概念还是以小明掷骰子为例题（2），求小明六次掷骰子，至少由一次为6的概率是多少？高中生遇到这种题型是最为头疼的，因为需要对五种情况做出假设，依次判断出一次到六次得到6的概率，这就需要大量繁琐的计算且容易出错，因此这种计算方式花费时间长正确率还不高。高中生在解答这道题时应该活用数学概念，根据所有事件出现的概率总和为1的大前提出发，没有一次得到6的概率与至少一次得到6的概率之和为1，因此高中生可以通过算出没有一次得到六的概率，再由1减去这个概率，就能够得出答案，这就是整体思想与数学概念的活用。

3.古典概率事件的运用分析例题（3）中小明从5双不同的鞋任取4只，求这4只鞋中至少有两只能配成一双的概率，求解答并算出先算没有配对的概率：总数是C（10，4）=210种；没有配对的选法，先選择四双，再从每一双里选择一只，共C（5，4）×2×2×2×2=80种，故没有配对的概率是8/21至少有一双配对的概率是13/21。这种解题方式在于，判断出事件是否相互独立，并且等概率发生，如果是，则判断为古典概率模型，将所有事件发生的等可能情况表达出来。古典概率模型中，将独立事件相互区分与判断，最后假设多种情况，根据题目求解出已知信息，获得新的表达式，从而迅速解答问题。高中生在解答这类问题的时候充分运用这种思想，判断分析假设再计算，能够快速得到准确的答案。

二、高中数学概率论与数理统计题型解题要领

高中数学概率论题型对于没有掌握好解题要领的高中生而言是难入登天的，花费大量的时间精力还不一定能够得到答案，但对于掌握了解题型要领的高中生却是易如反掌，因为他们的数学水平得到了质的飞跃。高中数学概率论与数理统计题型解题要领很多，以下无法一一列举，只能选取三个方面作为案例以供参考：

1.认真审题，判断并分析各种事件的联系

许多高中生在解答概率论与数理统计的题型时，并没有准确而完善的概念，进一步对事件的独立性与联系性进行相关的判断，从而在接下来的计算出频频出错，无法找到解题思路，这是输在起点的一种方式。在解答这类题型之时，高中生一定要做好细致而明确的区分，判断事件A与事件B属于相互独立事件还是相互联系的事件，从而进行下一步的计算，尽管这是第一步，但却决定了解题的成与败，无法通过概念的理解判断，得出二者之间的联系，下一步的计算也必然是失败的。

2.转化角度，利用多种思想方式解答问题

在判断了事件的关联之后，可以进一步的进行解答，然而数学考试的时间是有限的，只有一百二十分钟，高中生不能够在一道题上花费过多的时间，否则其他题型会难以兼顾和解答。高中生在计算前可以用少部分的时间进行分析解答，从中得到最简便的答题方式，简化计算，节省时间与计算的次数，既能提高答案的准确性又能节约大量时间，在遇到困难时，不妨转化角度变换思维进行求解。

3.通过建立概率事件的模型进行分析运用

对于概率题型的计算，要建立一定的模型，因为概率题型涉及到的计算多，求解复杂，因此在计算时兼顾已知条件之间的相互联系，分类讨论各种情况，再结合这些计算成果加以分析和运用，最后才能得出准确的答案。高中生在解答时通过函数模型的正确建立，能够有条不紊地进行下一步解答，找到各种各样的思路，并代入不同的数学思想加以应用，才能够把握此类题型，在考试中脱颖而出。

综上所述，高中数学概率论与数理统计题型难且复杂，高中生应该在平时的学习生活中总结这种题型的特点，并将通过解题得到的启发与感悟总结，掌握解题要领，只有这样才能够从根本上提高数学水平，从量变化为质变。

参考文献： 

篇9

【关键词】概率论与数理统计 数学方法 数学学习 教学方法

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0152-01

概率论与数理统计是高等学校理工科专业的一门重要工程数学课程，也是应用性极强的一门学科，其理论和方法的应用几乎遍及自然科学、社会科学、工农业生产和国民经济各个领域。因此，概率论与数理统计的学习就显得非常重要，然而很多学生在初学这门课程时感到很多知识难以理解和掌握，学习效果欠佳。为解决这样的问题，培养学生对随机现象的理解及对概率的直觉，提高学生的数学修养及严密的思维能力，我们在概率论与数理统计课程教学理念和方法上进行了一些探讨和研究。

一、数学方法的培养

数学方法的掌握与数学能力的形成紧密相关，所以怎样进行数学方法的培养就是个值得研究的课题。

如何加强数学方法的培养，我们认为应该特别注意以下几点：

1.从思想上提高对数学方法培养的认识，把学生掌握数学知识和掌握数学方法都纳入教学目的。这不是出自形式的考虑，是为了从总的方面不会忽视培养数学方法的教学，促使在备课、讲课过程中都要注意到培养学生掌握应用数学方法的能力。

2.备课时既要注意数学知识也要注意数学方法；数学知识，如概念、定理、公式，都明显地写在教科书上，不会被人忽视，而数学方法如同有机体中的生命现象、化学元素的性质等，是无形的东西。我们要提倡老师在备课时要注意有关的数学方法，留意从知识中发掘，提炼出数学方法并明确的告诉学生，阐述方法的作用，引起学生思想上的重视。例如契比雪夫不等式的证明，不能停留在证完题就了事的地步，也要告诉学生，把原来不明显的不等式，一步一步转化成明显的或已知的不等式，是证明不等式的基本思想方法。证明不等式的求差法、求比法、放缩法、利用著名不等式法等等，都是符合这种基本思想方法的。

3.运用对比手法显示方法的优越性。例如已知随机变量X的密度函数为f（x）=■e■，-∞

4.互相关联、前后照应，注意同一方法在不同教材内容中的作用。有些教学方法，如换元法、特殊值法、待定系数法，不只是使用于某段特定的教材内容，而是适用许多不同性质的问题。在不同性质问题的解决中，遇到了相同的方法，就可以加深对这种方法作用的认识，提高运用方法的技巧。

5.对不同类型的数学方法应有不同的教学要求，采取不同的教学方法。对宏观性的数学方法，应着重理解期思想实质，认识到它们的重大作用。例如常见的三种对单个正态总体参数的假设检验，我们主要是让学生根据题目（看题目要求是对哪个参数进行假设检验）选择统计量从而进行假设检验，要求学生从宏观的角度来对此类题目的方法来进行学习，并且加以应用。

二、如何组织学生

我们要求数学教师成为学生群体和个体参与数学教学过程的引导者、创造性思维的激发者、有效学习的调控者和良好学习条件的提供者、从事教学活动的组织者。因此，组织学生不仅要约束、控制学生的不良行为，更重要的是要组织学生从事积极的学习活动，提高数学学习的效率。

组织学生的几个关键字是：策划、调控、慎惩、公平。

1.教师策划可预见的课堂规则和惯例，安排清楚连续、节奏明快的教学程序，授课时注意提高课堂教学效率，让学生在学习的过程中感到学习充实，信息量大，这样学生都投入的紧张而有意义的学习活动中，也就不去违纪了，例如玩手机，上网等。

2.创设适合学生的物质和心理的课堂学习环境。比如：合理的座位安排、学习小组的划分、课后兴趣小组的讨论等等，这样可以预防一些问题的产生

3.在课堂教学中教师应正确导向，用强化的策略督促学生维护课堂规则，养成良好的学习习惯。要善于调控、正面引导，将学生的情绪调整到有利于激发思维，参与到有趣或富有挑战性的学习活动的状态上来，建立良好的师生关系，教师要充分调动学生的情感和意志这些精神需要。

4.教师应当公平对待所有学生，一视同仁。切忌偏爱学习成绩好的学生而忽视差生。要深入了解学生的心理，教师的教学行为方式对课堂教学有着明显的影响，分析其相关的因素和采取相应的策略，对提高教师的课堂教学技能有重要意义。

高校学生在学习概率论与数理统计课程时，因为思维方式和概念都跟高等数学有很大不同，特别是初次接触统计学时，一般都认为这门课程是枯燥、复杂、无趣的。我们在教学过程中要着重培养学生的兴趣和实践创新能力，提高学生运用数学理论知识解决实际问题的能力，从而改善教学效果。

参考文献：

[1]胡细宝，王丽霞，概率论与数理统计，第2版，北京邮电大学出版社，2005.

[2]傅丽芳，邓华玲. 高等院校概率论数理统计课程分级教学的实践与思考，大学数学，2008，24（1）：13-16.

[3]王永开，“概率论与数理统计”课程教学改革思考，苏州市职业大学学报，2011第4期：89-91.

篇10

概率论与数理统计教学模式层次划分一、引言

《概率论与数理统计》是目前各大高校普遍开设的一门基础课，通过学习本门课程，使得学生能够基本了解随机现象的统计规律性，并利用所学知识提高其解决实际问题的能力。随着我国高等教育大众化趋势的步伐加快，不同专业学生水平参差不齐，推行分层次教学法，是大学数学教学的必然趋势，能最大限度地挖掘学生的潜能，调动学生的学习积极性，提高数学教学质量。我校在《概率论与数理统计》的教学实践中充分考虑原有的师资力量和学生水平，通过分层次教学，充分满足各专业各水平不同层次学生的数学素质的要求，最大限度地挖掘学生的潜能，引导学生发挥其优势，使每个学生都能获得所需的概率统计知识，同时能够充分实现学校的教育功能和服务功能，达到教书、育人的和谐统一。

二、分层次教学中考虑的问题

大多数独立院校，早期的数学教学采用的是统一的教学大纲、教学日历。这就造成了不一样的数学基础，不一样的能力，却要掌握相同知识。经过实践检验，这样的教学存在一定的弊端。高等教育具有大众化、多样化，本质上讲应该是个性化的。而素质教育的最大特点之一是要面向全体学生，挖掘每个学生的潜力，发挥每个学生的个性特长，提高全体学生的素质和能力。由于未针对基础不同的学生采用不同的教学方法，使得基础好的学生“吃”不够，基础差的学生“吃”不了，学生在课程结束后往往达不到理想的教学效果。

三、《概率论与数理统计》中新教学模式的实施

1.新教学模式之层次划分

各专业对概率统计知识的不同要求，将制定出不同的教学大纲。目前我独立院校对大部分专业开设《概率论与数理统计》，课程大纲内容包括：（1）概率论的基本概念；（2）随机变量及其分布；（3）多维随机变量及其分布；（4）随机变量的数字特征与极限定理；（5）数理统计的基本概念；（6）参数估计；（7）假设检验。

对于数学基础较好的专业，如工程教育学部的学生还有土木工程学部的学生，我们将按照教学大纲的要求，使学生对概率统计知识有一个很清晰直观的理解，不仅对概念理论要加以说明，而且还要联系实际，带动学生积极思考，运用所学知识去解决问题。我们将这类专业的学生划分在A环中；而对于数学基础不好的专业，如商学人文部的学生，我们在教授概率统计课程时，将淡化理论的推导证明，更注重培养学生直接运用已有结论去解决实际问题的能力。我们将这类专业的学生划分在B环中。

2.新教学模式之层次教学（下面举例说明）

例题1.有一大批袋装糖果，从中随机地取出16袋，称得重量（单位：g）如下：

设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求置信度为0.95与0.90的总体方差σ2的置信区间。

在解决此问题时，我们会对A，B两群的学生提出不同程度的要求。

（1）对于A环

我们将带领学生全面分析此题其中所涉及到的知识点，先判断是何类检验，分析如下：

σ2的无偏估计量是S2，由已知

此分布不依赖任何未知参数，对给定的置信度1-α，可x2分布表中上1-α2和α2分位点为，使得：

从以上不等式可解得：

故α的置信度为1-α的置信区间为 。

由例题1中已知信息S2=38.4667，n=16，

①当1-α=0.95时，x20.975（15）=6.262，x20.025（15）=27.488带入上式中，得到置信区间为（20.9907，92.1411）.

②当1-α=0.90时，，x20.975（15）=7.261，，x20.05（15）=24.996带入上式中，得到置信区间为（23.0839，79.4663）。

（2）对于B环

相对于A环来说，我们只要求学生会判断例题是属于哪种类型的求置信区间问题，判断出来后直接带入相应的置信区间公式求得结果。由例题1，判断出是求α2的置信区间，那么直接就可将置信区间的公式列出：

其中，S2和分位点可由已知求得和查表得到。

3.新教学模式之考核形式

为了更好地发掘A环学生的潜力，激励鼓励B环学生，将课程最终成绩分为两部分，一是期末的考试成绩占到总成绩的70%，另一个是平时成绩占到总成绩的30%。而期末的考试成绩，我们将采用上机考试的形式得到。对于不同环的学生，我们将会派发不同难度系数的考题。而平时成绩则由教师按照学生的作业完成度、课堂回答问题等情况酌情打分。

4.新教学模式之现代化信息技术的应用

我校在校内网引入网上教学互动平台，学生可以通过该平台与教师进行课程交流，教师也可以通过该平台给学生习题，然后了解学生的学习状况，从而使得教师更有针对性地教学。

四、新教学模式之自我评价

经过多年的教学实践，本着“以学生为主体，教师为主导，以知识应用为目的”的教学思想，我校在《概率论与数理统计》课程中施行了这种新教学模式已经取得了较好的效果。首先，教师个人素质在新教学模式中得到了提高；其次，学生获取知识和运用知识的能力得到大幅提高。近5年来，我校组织学生参加国内和国际的数学建模竞赛，获得国际比赛一等奖12项，国际二等奖33项，其他各类奖项220多项，位居河北省前列。

参考文献：

[1]高等学校工科数学课程指导委员会（本科组）.关于工科数学系列课程教学改革的建议：数学与教材研究.高等教育出版社，1995.

[2]刘黎.分层次培养：理念与实践.辽宁教育研究，2004，（5）：48-50.

篇11

2009年全国统考时，经济学等6个一级学科的专升本考生，复习时均要参照高等数学（二）的复习考试大纲。

根据要求，高等数学（二）的考试大纲适用于经济学、管理学以及职业教育类、生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类、药学类（除中药学类外）6个一级学科的考生。

根据大纲规定，考生复习时要掌握“高等数学”及“概率论初步”两部分内容，复习也要重点围绕这2部分的5点内容进行。“高等数学”中的极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学等4部分的基本概念和基本理论，都是考生要复习的内容。同时考生还要了解或理解“概率论”中古典概型、离散型随机变量及其数字特征的基本概念与基本理论。考生复习时，要注意各部分知识结构及知识的内在联系，要具有一定的抽象思维、逻辑推理和运算能力。同时，还要能运用基本概念、基本理论和基本方法判断和证明，准确计算，并能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

高数（二）满分为150分，考试时间为150分钟，采取闭卷笔试方式。从试卷内容比例来看，一元函数微分学和一元函数积分学所占比例较大，分别为30%和32%，考生可重点加强这两部分的复习。在一元函数微分学部分，考生要了解导数的定义、左导数与右导数等概念，掌握导数的四则运算法则与基本公式，掌握复合函数、隐函数、对数求导法等求导方法及其他内容。在一元函数积分学部分，考生要掌握不定积分、基本积分公式、换元积分法等知识，同时要掌握定积分的概念、性质及计算等知识。

高数（二）的试卷只有选择题、填空题和解答题3类，其中解答题约占试题的46%，其余两种题型均为27%.成考试卷中，题目一半为中等难度题，3成为容易题，较难题仅为2成。

篇12

一、调查对象情况介绍

本次调查以社会学专业大三、大四学生为调查对象。共发放问卷100份，回收有效问卷100份，回收率为100%，所有变量均无缺失值。在100个有效个案中，有66名大三学生，34名大四学生，分别占总调查人数的66%和34%，年龄为19岁、20岁、21岁、22岁、23岁和24岁的分别占2%、11%、45%、29%、10%、3%，年龄基本上属于正态分布。11%的同学对社会学“毫无兴趣”，61%的同学“有一点兴趣”，28%的同学对社会学“非常感兴趣”。“坚决不考社会学的研究生”、“有可能考社会学研究生”和“一定会考社会学的研究生”的学生分别占33%、52%和15%。社会学专业第一志愿学生有13%，非社会学第一志愿学生为87%。

二、社会统计分析课程教学效果分析

（一）前期数理学基础普遍较差社会统计分析的基础课程是高数和概率论。100名被调查的同学中，对概率论高数和概率论的掌握程度“非常差”和“很差”的分别占6%和14%，43%的人认为自己掌握得“一般”；认为自己掌握得“还行”和“挺好的”的人分别占27%和10%。这说明同学们对这两门课程的掌握程度还有待提高。究其原因，第一，这些同学在学社会学之前的学科背景均为文科，数学底子很薄弱；第二，在大一、大二期间，对高数与概率论公共课缺乏足够的重视。

（二）对社会统计分析课程具有畏难心理通过在学习社会统计分析课程前后对该课程的难度印象来看，学之前对社会统计分析课程的印象是：超过一半的同学（51%）认为该门课程很难，33%的同学认为该门课程难度适中，仅有10%的同学认为该门课程较为简单。学习之后对社会统计分析课程的印象是：有3%的同学认为该门课程非常难，26%的同学认为很难，50%的同学认为该课程难度适中。认为容易的同学增长了7个百分点，认为非常容易的同学增长了1个百分点。可见，学生因为数理学底子差，普遍对社会统计分析课程具有畏难心理。

（三）对社会统计分析课程重要性的评价很高调查中，仅有5%的同学认为统计学“非常不重要”，7%的同学认为“一般”，其他绝大多数同学都认为统计学“重要”（46%）和“非常重要”（42%）。被调查的同学中，85%的人认为统计分析课程非常有必要学，15%的同学认为学一点统计学有助于加深对社会学理论的理解。

（四）对社会统计分析课程内容方面的要求调查显示，认为现阶段社会统计分析课程的“内容太简单”、“内容合适”和“内容太难”的比例分别为13%、75%和12%，说明学生基本能够接受目前初级统计部分的内容安排。当问到“在本科阶段是否有必要开设高级统计学的内容”时，回答“非常没必要”、“没必要”、“无所谓”、“有必要”和“非常有必要”的同学分别占3%、11%、15%、53%、18%，说明较多同学认识到高级统计学知识的重要性，并且有学习的欲望，但是有半数的同学对高级统计软件的开设持较消极态度。由此可见，在本科阶段学生对高级统计软件的认识还不是很深，可能是由于没有接触过高级统计软件强大的数据处理功能，也可能是对高级统计的认识不足，还需要在课程内容方面添加一部分高级统计知识。

（五）对社会统计分析课程教师的要求在对课程作业的期望方面，有近10%的同学希望“没有作业”，超过半数的同学（63%）希望“有少量作业”，有近三成的同学（28%）希望“在课后习题后附加作业”，这在一定程度上反映了同学们的学习积极性较高，对作业比较重视。82%的同学认为教师应该对课程习题进行“详细讲解”，而16%的同学希望教师“只给参考答案不讲解”，仅有2%的同学认为教师对习题“不用作任何处理”。在讲课手段方面，大部分同学（80%）认为统计软件的授课方式应该是“以操作演示为主，理论讲解为辅”，20%的同学认为应该“以理论讲解为主，而以操作演示为辅”，可见学生对教师的操作演示比较重视。

（六）对统计分析课程目标的定位76%的同学希望能“熟练掌握数理统计理论知识，了解公式的推导、各类统计分析方法的具体运用及原理，精通统计软件的操作”；24%的同学希望在统计分析课程上能“解决一些简单问题，简单操作一些统计软件”。

篇13

【关键词】教学方法 概率论 教学案例

【中图分类号】G432.07 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）33-0005-02

概率统计是现代大学理工、经济、社科、农林、体育等专业必修课程。课程的学习对于培养和提高学生的创新能力与综合素质起着极为重要的作用。其不但为学生学习一些后续课程奠定必要的数学基础，而且对学生在数学知识的抽象性、逻辑性与严密性方面进行一定的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力。与其他数学研究对象和分析方法都不一样，概率统计的难点和关键是对概念的理解，学生普遍反映很难听懂。如何把抽象概念形象化、具体化、简明化，值得我们思考。

本文给出笔者在长期从事概率统计的教学过程中针对概率统计和高数各章疑难点，收集和构想的一批趣味性教学实例，与诸位同行交流，希望能够丰富概率统计课堂教学的内容，提高学生学习兴趣，改善教学效果。以下面几个例子介绍概率统计问题：

一 赌徒分庄问题

上概率统计第一堂课，先简单介绍该课程的起源。概率论最初是研究赌博中的概率问题，其中之一是著名的赌徒分庄问题。三百多年前（17世纪中叶）法国有一个非常有名的赌徒名叫Mere，有一次他与Mitton赌博，两人约定：各掷一次骰子出现点数六者为胜一局，五局三胜制，赌金各一万法郎。赌博进行了三局，Mere两胜一负，此时因为特殊原因赌博中止。问如何根据现有结果来分割赌金。提供三种分庄方案（比例）：

Mere

1/2

1

2/3

Mitton

1/2

1/3

问学生选哪种方案，或有另外的分配方案？学生回答各种方案的都有，其中选第三种方案的居多。事实上，当时两赌徒选的就是第三种方案。但事后Mere觉得自己吃亏了，

――――――――――――――――――――――――――

就请教数学家Pascal。Pascal经过分析得出结论，并把此问题转给另一位数学家Fermat，Fermat也得出同样的结论。其

结论是Mere应得，为什么？原分配方案对，只考虑

了已经发生的结果（2∶1），没有考虑到如果赌博继续进行可能发生的结果。设赌博进行完五局，后面有四种可能的结果：（+、+）、（+、-）、（-、+）、（-、-），其中“+”表示Mere胜，“-”表示Mere负。上述四种结果是等可能

的，且前三种是Mere赢，故Mere应得。

据说，就是从此问题讨论开始，法国数学家Pascal和Fermat与他们的好友荷兰数学家Higens对赌博的概率问题展开了系统的研究，并由Higens写成《论赌博中的概率》一书。它是一部最早的概率论著作，那个时期也被定为概率论萌芽时期。

二 三张卡片的故事

有些古典概率结果是很直观的，如掷硬币出现正面和反

面的概率各一半;掷一颗骰子，出现1～6点的概率都是

等等。但是有些直观是错误的，看下面三张卡片的故事：

有三张卡片大小、形状和颜色都一样，其中一张中间两面都画有一个圆圈，另一张两面中间画有一个黑点，第三张一面中间是圆圈，另一面是黑点，如图1所示。

从三张卡片中随机地取一张，让你看见其中一面，猜另一面的图形。

分析1：假设你看到一面中间是圆圈，那么排除上述第二张，而第一、第三张反面一张是圆圈、一张是黑点，故猜

另一面中间是圆圈或黑点的概率都是。

分析2：同样假设你看到圆圈，排除第二张，把第一、第三张卡片中的图案编号如图2。

图1 图2

你看到的圆圈是1、2、3中之一，且是等可能的。当你看到1号或3号时，猜另一面为圆圈正确，当你看见2号时，猜反面是圆圈错，所以当你看见一面是圆圈时猜另一面是圆

圈猜中的概率为。

分析3：当你看见图案是什么，就猜出另一面也是什么，

成功的概率是（抽中第一、第三张卡片猜对，第二张猜错）。

显然，上述分析2、3是对的，而分析1直观对，实际错了。

三 薄丰投针问题

圆周率π是一个无理数。中国古代数学家祖冲之是世界上第一个将π值计算到小数点后面7位数的人，即3.1415926，这一纪录保持了一千多年。法国数学家薄丰通过一个游戏得到π的近似值，精确到小数点后面5位，让人叹为观止。在讲几何概型时，我补充了这个例子。

薄丰是法国数学家，据说他非常富有，每个周末都邀请亲朋好友到家里度假。有一个周末，他邀请到20多位亲朋好友到家，晚上酒足饭饱后，他对朋友说：今天我们来做一个游戏，大家每人拿一盒针（100枚），一根一根地往下丢，统计地上的针与地面平行线（地面砖交线）相交的数量，把统计结果告诉我。

一个小时过去了，游戏结束，大家把统计数据交给薄丰。薄丰统计出结果，并把它代入一个预先设定好的计算公式，计算结果让大家大吃一惊，其结果是3.14136，太奇妙了。

让我们看看奇迹是如何发生的。设地面平行线的距离为2d，针的长度为2L，针的中点至最行线的距离为x，针与平行线的夹角为θ，如图3。

这是几何概率问题：

样本空间

针与线相交的充要条件是

图3 图4

故针与直线相交的概率为

设投针总量为N，针与线相交的数量为n，则其频率为。

由频率与概率的关系得：。

已知N=2000，n=382，d=20cm，L=6cm，一并代入

上式得：。

通过这个实验，求出π的近似值，确实让人惊奇。学生们可以自己设计一个薄丰投针的程序用电脑模拟实验，可以得到更精准的π值。

四 概率为0与不可能事件

我们知道，不可能事件的概率为0，即P（φ）=0。但是，概率为0的事件一定是不可能事件吗？答案是否定的。

例如，向[0，1]区间内随机投点，问点恰好落在上的概率

P（）=？，设P（）=p，若p>0，则P（）=P（）=

p>0，n=1，2，…

由可列可加性，矛盾。故p=0，而“点恰

好落在上”是可能发生的事件。

注：此例也表明，概率为1的事件不一定是必然事件。

五 可列无穷与不可列无穷

细心的同学可能会问，在上例中，对，有

P（χ）=0。于是，矛盾。是呀！问题出在哪里呢？

概率公理化定义中第三条可列可加性是指：设有可列多个不相容事件A1，A2，…，An

有

而是不可列无穷多之和，下式是不成立的。

概率公理化定义中第三条可列可加性之所以强调“可列可加”而不是任意无穷可加，上述例子正是好的注解。

六 最大似然的估计

最大似然的估计是参数点估计的一种重要方法，一般教材中是这样阐述的：设总体X～f（x，θ），其中θ是要估计的参数，抽取一个样本（X1，X2，…，Xn）其联合概率函数为

∠（θ），其中（x1x2…xn）为样本值称∠（θ）为

似然函数。选取θ的估计值，使∠（θ）取到最大值，这个估计值就称为最大似然估计。为什么要选θ的估计值，使∠（θ）取到最大值？学生很难理解这种思维方法。在长期的教学过程中，我构想了下面这个例子：

1个盒子中有10个球，分黑白两种颜色，两种球比例为9∶1，但不知哪种球多，现从中任取一个球，发现是白球，问盒中黑白球各多少？

学生回答：白球9个，黑球1个。为什么呢？学生回答，白球多，取到的概率大。如此简单的一个例子可以让学生对这一抽象概念有直接的认识。

七 结束语

本文是笔者在概率统计教学改革与实践中获得的一点粗浅的认识和体会，愿与各位同仁交流。

参考文献

[1]宋桂荣.概率论与数理统计课程教学改革研究[J].时代教育，2012（19）：9～11

篇14

一、数学文化的含义

数学是人们定性把握客观世界，定量刻画与抽象概括，并且在这个前提下产生特定的方法与理论系统。基于这个角度分析，非物质世界的事物便是数学研究的对象，也是组成抽象思维体系中的主要部分。也可以理解为在人类文化中数学是一种主要的表现形式，要求教学者基于文化的角度对概率统计教学进行审视。一般来讲，我们学习学校的数学知识以后，虽然很少能够应用到实际工作与生活中，但是不管是工作还是生活，人们通常会采取数学的方法、推理方式处理各种问题，并且随着不断积累的实践经验，如此的数学方法就会变成文化载体。

二、概率统计教学中数学文化渗透的重要性

第一，作为文化重要表现方式的数学文化，在概率统计教学中渗透数学文化，促使数学研究与学习形成更加广泛的范围，领域越加多样化，这样不但对数学知识极大进行了丰富，还有效调整与优化了概率统计教学的结构。第二，在概率统计教学融合数学文化时，可以很好的塑造数学文化修养，最大程度避免了高数传统教学理论的教学方法，帮助学生更加全面的理解与判断概率统计教学理论知识，为学生发展创造力奠定了基础。第三，在概率统计教学过程中不断渗透数学文化，可以帮助学生建立完整的数学理念，形成较好的数学思想，通过严谨的教学态度对待问题。

三、数学文化在概率统计教学中的应用

（一）在概率统计教学内容中应用数学文化

1.介绍概率统计史

将概率统计史的内容渗透到概率统计教学中，能够培养学生的学习兴趣，也有利于学生理解学科概念与原理。并且，通过介绍学科历史，仿佛学生进入了学科发展历史之中，帮助他们逐步理解知识，通过体会研究者的艰辛，以及他们不怕艰险、追求理想的精神，帮助自己培养正确的人生价值观。再者，一门学科的发展无法离开创新，其也是科学的血液，创新精神能够使人们产生生活热情，进一步很好的认知人生。比如在讲解概率定义时，可以简单介绍概率定义的发展过程。法国数学家拉普拉斯在1812年通过分析工具对概率论内容进行了处理，促使概率论成功从组合技巧过渡到分析方法，开启了概率论发展的崭新时期。

2.培养概率统计思想

在概率统计学科中概率统计思想是其灵魂，其也被认为是解决科研研究活动问题的最本质想法，是发展学科的动力，也是组成概率统计这门学科文化的重要部分。因此，在概率统计的教学过程中，需要对知识中的概率统计思想进行挖掘与概括，并且对其魅力积极展现，加深学生对其的认识，进一步从思想层面培养和提升学生对素质能力。

比如，概率论中的主要知识点是贝叶斯公式，若仅仅是向学生展示公式表达式和推导过程，这样的知识势必缺少活力。但是，教师如果可以向学生揭示公式后隐藏的思想，知识立刻有了活力，同时对学生产生了极大的吸引力。

3.必须与实际联系

生活酝酿了概率统计，生活中到处都可以看到它的身影，反之，在生产、生活以及科学技术的各个领域中国也可以用到概率统计。因此，概率统计的教学必须与实际紧密联系，多从实际生活中寻找素材，充分展现概率统计的活力和魅力，严禁与实际脱离，向学生灌输知识理论，好像概率统计仅有公式和方法。

比如贝叶斯公式较为繁琐，一些学生在应用过程中会觉得吃力。若教师在为学生提供公式的同时，可以充分展现它的思想，再与实际生活中的有趣例子配合，学生就可以更好的掌握贝叶斯公式的内涵，极大提升了教学效果。

（二）在教学方式中应用数学文化

1案例教学

案例教学，是把一些典型的实际案例作为代表，帮助学生获取知识以及培养实际能力。相较于直接的讲述，案例教学法更加容易技法学生的积极性，能够更好的培养学生独立考虑问题的能力，并且由于其亲自参与会帮助他们更加深刻的理解知识，很好体会概率统计的主要思想，进一步内化为本身的思考习惯，提升了整体素养。因此，可以在概率统计教学中科学应用案例教学，这对于提升学生理论结合实际的能力具有极大的意义。

2.实践教学

在概率统计教学过程中，可以合理设置实践教学阶段，帮助学生深刻理解概率统计知识，提升他们的实践操作能力。教师可以亲子设计教学实践活动，比如学习了常见分布之后，可以设置题目问题“常见分布随机数的产生”、“在图像去噪中正态分布的应用”等。也可以鼓励学生自己设置实践题目，问题可以来自于学生观察生活的经历。在实践操作时，鼓励学生独自完成工作，遇到问题独立学习，学用结合。如此，能够培养学生的学习兴趣，帮助学生获得很好的学习体会。