高数和概率论精选(五篇)

序言：作为思想的载体和知识的探索者，写作是一种独特的艺术，我们为您准备了不同风格的5篇高数和概率论，期待它们能激发您的灵感。

篇1

关键词：高等数学；概率论；探讨

一、用中值定理对命题的证明

在高等数学教学中学生对于使用罗尔中值定理，对一些命题进行证明的时候往往得不到要点，解不出相关的题目。这种类型的题目的特点是比较抽象，需要有一定的想象能力、观察能力。在此以以下三个题目为例，对此类型的题目做一些归纳总结。

例1：证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点ξ∈（a,b），使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。（该题为2009年研究生入学考试数学三的真题）

这个题目是教材上的定理教材作了详细的证明。有一本教材是这样证明的：

作辅助函数φ(x)=f(x)-f(a)- (x-a)

由定理假设易知φ(x)满足条件：（1）在闭区间在[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)可内导；（3）φ(a)=φ(b)=0，因此由罗尔定理可知，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得φ'(ξ)=f'(ξ)- =0即f'(ξ)= 。

有不少学生会学得为什么要造让φ(x)=f(x)-f(a)- (x-a)这样的辅助函数，理论依据是什么，如果没有依据是很难联想到这样的函数的。

例2：已知常数b＞0，函数f(x)在闭区间[0,b]上连续，在开区间(0,b)内可导，则至少存在一点ξ∈(0,b)，使得f(ξ)+ξf'(ξ)=f(b)。

证明方法如下

证明：作辅助函数，φ(x)=xf(x)-f(b)x显然φ(x)满足条件：（1）在闭区间在[0,b]上连续；（2）在(0,b)可内导；（3）φ(0)=φ(b)=0因此由罗尔定理可知，至少存在一点ξ∈(0,b)，使得φ'(ξ=)f(ξ)+ξf'(ξ)-f(b)=0即f(ξ)+ξf'(ξ)=f(b)。

这个题目与拉格朗日中值定理的证明有很大的类似之处，不同的是辅助函数不同，应用罗尔中值定理的区间具体化了，函数不同了。下面一个例子难度就更大了，借助于这个例子我们可以从中找出规律。

例3：证明：已知函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 内可导，f(b)=0，则至少存在一点ξ∈(0,b)，使得f'(ξ)= 。

证明方法如下：

证明：作辅助函数φ(x)=(x-a)bf(x)，显然φ(x)满足条件：（1）在闭区间在[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)可内导，由拉格朗日中值定理可知：至少存在一点ξ∈(0,b)，使得φ'(ξ)= ，整理后可得f'(ξ)=

这个证明题的难点在于，辅助函数的构造很难。遇到这个题目，头脑比较灵活的学生会想到令φ(x)=(x-a)f(x)，但这样却达不到解题的目的。

那么这一类型的题目有没有相应的依据呢。我们可以沿着这样的思路去解这个题目：在微分学中，只有两个定理可以证明存在一点ξ∈(a,b)，使得某个等式成立。这两个定理分别是介值定理和中值定理。介值定理中不含有某一个函数的导数，因此对于该题目不适用。那只有用中值定理，而中值定理分为三个，分别是：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。但后两者都是在罗尔中值定理的基础上得以证明的。因此我们只需要使用罗尔中值定理即可解出这一类题目。罗尔定理的内容是：如果函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)可内导；（3）在区间两个端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。罗尔定理的主体是一个函数和一个区间。要想使用罗尔中值定理必须找到一个函数和一个区间，而区间往往是题目已经给定的，所以重点就在于找一个辅助函数，然后应用罗尔定理，证明出该题目。因为要证明的是：f'(ξ)= ，整理后可得： +f'(ξ)=0，这种形式与罗尔定理的结论比较接近了，但是我们仍旧不容易找出哪一个函数在ξ处的导致为 +f'(ξ)，联想到[eg(x)f(x)]'=eg(x)[g'(x)f(x)+f'(x)]，我们令g'(x)= ，然后求出g(x)那么令φ(x)=eg(x)f(x)，将是我们需要的辅助函数。不难求出eg(x)=(x-a)b，然后对函数φ(x)=(x-a)bf(x)在区间[a,b]上使用罗尔中值定理即可解出该题目。

该类题目看似是微分学的内容，却使用了不定积分的方法，这也是这类型题目的难的地方。希望这种方法可以给讲授微积分课程的老师和学习微积分课程的学生带来一定的帮助。

二、数学期望存在的一个条件的说明

离散型随机变量的数学期望定义是：设随机变量X的分布率为P{X=xi}=pi(k=1,2,…)，EX= x p{X=x }= x P 称为X的数学期望。（注：若X的可能值的个数是可数的，要求级数 x P 绝对收敛）由于有些课本对此没有进一步说明读者难以深刻理解在此做以说明。

因为离散型随机变量的可能值x1,x2,…xr,…之间实际上没有先后顺序的关系，故要求级数绝对收敛，因此只有绝对收敛级数的和才与其项的顺序无关。例子如下：

由于若x∈(-1,1)，则In(1+x)=(-1)n+1 xn+…，

当x=1时， (-1)=1- + - + - + - +…=1n2①

上式乘以 后，有(-1)= - + - +…= 1n2②

①+②可得：1+ - + - - +…= 1n2

因此离散型随机变量的数学期望必须加上一个条件就是：若X的可能值的个数是可数的，要求级数 x p 绝对收敛。

以上两个问题是学生在学习过程中的难点，也是作者本人在教学过程中一总结，希望对在学习微积分和概率论课和中的学生有所帮助。

参考文献：

［1］数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

篇2

关键词： 小学数学 新课标 教学效率

小学数学是义务教育的重要学科之一，是小学教育的重要组成部分。但如今的小学数学课堂教学却陷入了一个怪圈，一方面新课改要求以人为本，通过挖掘学生的潜质，激发学生的潜能来达到教学的目的。另一方面，一线教师又要背负着升学的巨大压力。“教授学生的”与“考核学生的”两者之间似乎形成了难以调和的矛盾，影响着教学效率的提高。不过，世界原本就是矛盾的统一体，有矛盾才会有进步。只要端正态度，积极寻找解决问题的方法，提高学习效率，这一难题一定会迎刃而解。那么，新课改下我们又该通过什么样的途径来提高小学数学课堂教学效率呢？我将从以下几个方面进行探讨。

一、创设情境，正确引导学生

《数学课程标准》指出：“应力求从学生熟悉的生活情境与童话世界出发，选择学生身边的、感兴趣的事物，提出有关的数学问题，以激发学生学习的兴趣与动机。”生活是丰富多彩的，是人类展现自我的大舞台。在生活中，人们会面临各种各样的状况，需要通过主动地探寻、摸索规律，来解决实际问题。针对这一特性，小学数学教师应紧贴生活，创设相关的情境，把教材融入到生活中去，通过对相似情境的刺激和启发，让学生发现、质疑、探究数学中的一些实际问题。在此过程中，小学数学教师若能够正确地引导学生，在学生面临问题时为之提供有效的引导与证实，则一定能激发学生的兴趣，唤醒学生对数学学习的求知欲与创造欲。

需要特别注意的是，一些小学数学老师教学设计中的“创设情境”多为“为创设而创设”。创设上缺乏挑战，跳跃性过强，忽视关联性，情境创设演变成学生被老师强行从一个情境中转移到另一个情境中。如此下来，学生眼花缭乱，疲于应付，很难做到真正地去思考问题。对于这一现象，我认为，不能因为新课标提倡情境创设，就一味迎合，情境的创设应在同一个数学情境中，这样有利于学生消化所学知识。同时，数学情境不应只是“生活情境”与“数学问题”的叠加，而应从学生的发展需要出发，基于数学本质（包含数学思想方法与相关数学知识于一体），有选择地融入生活元素。

二、启发式教学与讨论式教学双管齐下

教学实践告诉我们，并非老师教了，学生就能获取知识。只有让学生喜欢“参与”，并积极地参与其中，才是真正学了，学到的东西才是真的会了。在教学中，学生应该以学习的主人的身份出现，在老师的启发和引导下自己探索和思考出现的问题。在我的课堂教学中，每讲到一个关键问题，就先启发学生：为什么会这样？结果又会怎样？这种结果会不会改变？等等。如，在给学生讲授“能被2.3.5整除的数的特征”时，我通过先和学生们做游戏来启发他们对数学的兴趣。我说：“同学们，老师有特异功能，不管你们说出多大的整数，老师不用计算就知道它是不是能被2.3.5整除，你们信不信，不信的话，我们可以试一试。”此话一出，课堂气氛立即活跃起来，同学们也都跃跃欲试。结果，不管他们说出多大的数，我都能当即答出，而后学生们通过计算证明了我的答案。如此一来，学生们就很好奇：老师是怎么做到这一点的呢？真的是拥有特异功能吗？还是运用了什么方法？这时，我鼓励学生提问，或者学生提问学生答，再或者学生提问老师答，最后大家一起讨论，等到讨论得差不多了，再一一解开谜底。结果不言而喻，学生对数学的学习兴趣自然提高了，同时也找到了学习数学的归属感。

三、提升小学数学教师专业素养

有研究表明：教师的数学专业素养偏低，这在较大程度上影响了新课程的推进，影响了教学质量的提高。［1］我认为：“数学教师的数学专业知识的深度是数学教师对数学课程调适和开发创新及数学教学方式转变的保证。”［2］想要提高小学数学的教学质量，首先要实现小学教师的专业化。所谓实现小学数学教师的专业化，就是要努力实现由“经验型教学”向“理论指导下的自觉实践”、由单纯“教学型”向“教学与科研并重型”的重要转变。［3］其次，要树立新的数学观念。新的数学观念包括：课程观、学生观、教学观等，同时也要求教师从传授知识的单一角色中解放出来，逐步转化为教育教学的研究者、课程的建设者、学生学习的促进者等多元角色。最后，加强数学科学素质培养。如，让教师加深对数学知识演变史，数学基本性质的认识，了解现代数学发展的趋势和主流，把握每一个细小知识点的理论背景，以全新的视觉对小学数学进行多角度、全方位的透视。

四、重视教学设计的反思与完善

通过课堂教学实现“高效”的教学目标是每一位一线教师的理想，而这一理想的实现有赖于反复的、科学的反思。反复反思可以让教师发现教学中存在的问题和差距，并能够及时地解决问题和调整方案，有利于在二次教学中有效地整合设计，提高教学质量，进而提高自己的教学水平。在教案分析时，我发现很多教师的教学设计里缺少教学反思这个环节。即便是个别教案中涉及教学反思，也仅仅是一些如“教材分析清楚”“教学方法有待改进”“把握学生不是很准确”等毫无用处的套话，教案中也没有修改的痕迹。由于很多小学数学教师并不重视对教学设计的反思和完善，日常的教案只是为应付学校检查或作为抄袭的教参，以至连写教案都成了形式主义更别说主动去翻阅以前的教案进行修改和完善了。然而，没有反思和完善，就不会有积累，教师的教学设计能力也不会得到提高。要知道，教学设计的课后反思与完善是实现高效课堂的保障，其目的就是为了总结已有的知识经验并进行有效的内化，查找失误，指导未来。

数学家华罗庚曾说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”数学是一门抽象性、逻辑性、思维性都很强的学科。一个人的数学素养最重要的就是能够以数学的角度去发现、观察、分析日常生活中的现象，运用数学的思维方式解决现实生活中遇到的实际问题。所以，在数学教学中，小学数学教师应通过积极地引导和启发，让学生学会用数学的眼光去发现、研究周边发生的事物，了解生活；学会自觉运用所学知识和方法去分析、解决问题。

参考文献：

［1］张学杰.小学数学教师的数学专业素养例谈［J］.贵州教育，2007，（10）:18.

篇3

关键词：高等数学;概率论;教学方法

概率论作为数学的分支，主要研究一些随机现象的数量规律。多数高等数学题目难度较大，步骤繁琐且较困难，但是如果巧妙把概率论的知识代入其中，能够化难为易，使复杂的过程变得简单，进而激发学生对高等数学的学习兴趣。

一、概率论

在17世纪的时候，人们就已经开始对概率论进行研究了。然而一直到18世纪，它才得到了快速发展。概率论发展的奠基人是瑞士著名数学家雅克比・伯努利，他在自己的论著中提出了伯努利定理――严格按照规定进行多次实验，某些事件发生的频率会朝着逐步稳定的趋势发展。伯努利这一定理的提出对概率论的发展具有直接的推动作用。从此，概率论逐步被应用到不同领域中。

19世纪初，法国数学家普拉斯通过概率论分析理论著作，完成了对整个概率论学科体系的构建。他在自己的著作中明确阐述了概率论的定义：假设一个整体共由N个事件组成，假如每一事件发生的相同程度是肯定的，情况E由n个事件组成，那么情况E发生的概率就是n/N。

概率论的知识从17世纪开始被研究到发展至今，已逐渐完善并逐步成熟。它在许多领域内被广泛应用，如物理学、生物学、军事技术、农业技术、医学等。人们对概论的研究水平也不断提高，为社会的进步打下了基础。

二、概率论在高数中的运用

高等数学是一个难度较大的学科。如果只是一味地运用传统思路答题做有些高难度的高等数学题目，就会造成答题过程繁琐，最后得出正确答案的几率也很小。这时如果能够把概率论的知识运用到具体的解题中，就往往可以快速、准确地算出结果。下面就通过一些不同的数学题目探讨分析概率论在高等数学中的应用，为学生答题提供答题思路。

1.利用概率分布简化解题步骤

概率论的基础知识是概率分布，在解题时利用概率分布的知识可以简化解题过程，提高解题的效率。在具体答题时可以把0～1之间的数字作为事件发生的概率，利用概率分布得到最后的答案。同时，这种答题方法可以使题目变得简单，提高了结果的正确率，也节省了学生的时间，使学生更能够理解高等数学和概率论之间的联系。

概率论的知识也可以用来求极限问题。例如，求极限。在答这道题时，先假设ξ符合λ=6的泊松分布，那么P（ξ=a）=e-6=1，最后根可以据级数收敛必要性的有关知识得出。这种答题方法同样适用于一些难度较大的题目，同样可以使用概率论的知识简化答题步骤。

2.概率论在计算广义积分和级数中的运用

在概率论知识中，数学期望和方差是随机变量所特有的特征。在解高等数学题时，利用方差与数学期望的随机变量的关系，可以计算高数中求广义积分和求级数等类型的题目。

在高等数学中，求解级数类型的题目可能会遇到很多问题，因此在解决这类题目时，应该更加注重方差和数学期望的引入。只有这样，才能使题目化繁为简，得出正确结果。

所以很容易就得出该题的最终结果是45。

篇4

报考专升本层次的成考生，如果选择的是理工类专业，参加全国统考时，除政治、外语2门公共课外，还要加考高等数学(二)。从现行大纲的复习要求看，高数(二)要求考生掌握高等数学、概率论初步两部分内容。

高数(二)的复习考试大纲适用于经济学、管理学及职业教育类、生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类、药学类(除中药学类外)6个一级学科的考生，是报考这些学科的考生复习备考的指导。

相关辅导老师介绍，从大纲规定看，考生具体复习考试内容共有极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、概率论初步5类内容。

考生要对不同部分的内容做相应程度的掌握。其中，对“高等数学”部分中的极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学部分，以及“概率论”部分中的古典概型、离散型随机变量及其数字特征等内容，要了解或理解其基本概念与基本理论。复习时，考生还要注意各部分知识结构及知识的内在联系，要具有一定的抽象思维、逻辑推理和运算能力。同时，还要能运用基本概念、基本理论和基本方法判断和证明，准确计算，并能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

从高数(二)试卷内容比例来看，一元函数微分学和一元函数积分学两部分所占比例较大，分别为30%和32%，考生复习时可重点加强这两部分。在一元函数微分学部分，考生要了解导数的定义、左导数与右导数等概念，掌握导数的四则运算法则与基本公式，掌握复合函数、隐函数、对数等的求导方法及其他内容;在一元函数积分学部分，考生要掌握不定积分、基本积分公式、换元积分法等知识，同时要掌握定积分的概念、性质及计算等知识。

篇5

据了解，高数（二）的复习考试大纲适用于经济学、管理学及职业教育类、生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类、药学类（除中药学类外）6个一级学科的考生，是报考这些学科的考生复习备考的指导。

北京向导学校相关辅导老师介绍，从2011年大纲的规定看，考生具体复习考试内容共有极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、概率论初步5部分内容。

考生要对不同部分的内容做相应程度的掌握。其中，对“高等数学”部分中的极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学部分，以及“概率论”部分中的古典概型、离散型随机变量及其数字特征等内容，要了解或理解其基本概念与基本理论。复习时，考生还要注意各部分知识结构及知识的内在联系，要具有一定的抽象思维、逻辑推理和运算能力。同时，还要能运用基本概念、基本理论和基本方法判断和证明，准确计算，并能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

从高数（二）的试卷内容比例来看，一元函数微分学和一元函数积分学两部分所占比例较大，分别为30%和32%，考生复习时可重点加强这两部分。在一元函数微分学部分，考生要了解导数的定义、左导数与右导数等概念，掌握导数的四则运算法则与基本公式，掌握复合函数、隐函数、对数等的求导方法及其他内容；在一元函数积分学部分，考生要掌握不定积分、基本积分公式、换元积分法等知识，同时要掌握定积分的概念、性质及计算等知识。