高数指数函数精选(十四篇)

序言：作为思想的载体和知识的探索者，写作是一种独特的艺术，我们为您准备了不同风格的14篇高数指数函数，期待它们能激发您的灵感。

篇1

1.职高数学“函数”的知识范围和特点

目前国内大多数职高院校的数学课程普遍采用的教材中函数部分的内容主要包括：

1.1函数、一元一次函数和一元二次函数.函数在初中的课本就已有涉及，但并没有从本质上出发讲解函数，只是进行一些简单的应用，如：解一元一次函数，抛物线函数的根分布及图形画法.职高中的“函数”这一块的内容是从“函数”的基本定理性质出发讲解函数的意义，并且首次出现“映射”、“函数三要素”等新定义，这一点较之初中的函数更具有抽象性和本质性，学生在学习到这一部分内容时在理解上有一定的难度，需要结合练习不断在解题中理解概念.另外在此基础上的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、反函数、分段函数的定义及特点；增函数、减函数、奇函数、偶函数的划分和性质.这些内容对于初学者来说需要在充分理解定理定义的基础上加以足够的练习才能达到学以致用的目的.

1.2指数函数、对数函数.这一块内容是职高数学中新的教学内容，以往虽然在初中数学课本上稍有涉及但并未给与相应的章节予以介绍.职高数学在这一部分给予了定义和细致的讲解，尤其是对数函数是第一次出现在初学者的视野中，在理解起来有一定的难度，应当和指数函数联系对比学习，应当明白指数函数和对数函数间的关系.指数函数、对数函数的定义域是经常被学生予以忽视而出错的地方，在学习和教学中应当重点强调并引起重视.在实际的应用中以e和10为底的对数函数是经常使用的，在练习时应当多加侧重.另外指数函数和对数函数图象间的相互转换也是要重点掌握的.

1.3三角函数.这一块的内容是职高数学教学中的重点内容，这一块知识的特点就是需要记忆的公式比较多而且公式间容易出现混淆.三角函数的公式推导至关重要，结合几何图形充分理解三角函数也是学好三角函数的基础.另外还要结合余弦定理和正弦定理解决相关三角形的应用问题.

2.职高数学“函数”部分的学习教学现状及改进方向

目前，职高数学有关函数的教学存在着几大误区和对应改进方向.

（1）大多数教师注重函数理论的教学而忽视学生在课余之后的相应练习.“函数”这一知识体系定义抽象性、性质多样性的特点，决定在课堂之后需要大量对应的练习.大量的练习不仅可以让学生充分理解函数的定义，还可以准确记忆大量的函数公式，区别应用函数性质.

（2）课堂上对于函数定义和相关性质的讲解要根据不同的函数特点，总结出相关知识的重点难点易错点，在课堂重点讲解强调分析这些重难点，并随堂列举一些典型的题目进行讲解.

例如，在函数基本定义的讲解时：

函数的定义：设A、B是两个非空实数集合，如果按照某种对应法则f，对A内任一个元素x，在B中总有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到B的映射；称y是x在映射f作用下的象，记作f（x），于是y=f（x）；x称作y的原象.

在课堂讲解时，这个定义中要注意重点讲解有横下划线的点，这些点要在课堂上指明，这些点是理解概念和做题的关键点；下划曲线的点是在做题中容易出错的点.如果在讲解定义时根据不同定义将各自的重点难点易错点划出，可以帮助学生更快更好地理解定义，并掌握做题中应当注意的点.在遇到一些比较难的题目时可以根据这些点分析解决问题，可以避免在遇到困难题目时不知如何下手的情况发生.此外，在做错的题目中学生也可根据这些点重新分析问题，找出自己出错的原因，这样可以有效地避免下次出现同样的错误，并且也可以起到举一反三的作用.

在课后，需要一定量的配合练习，授课教师可以根据自己多年的教学经验，将一些典型题目和之前教学中发现学生易错题型进行整理，布置适量的练习供学生学习理解，也可以将有关函数公式让学生推导，因为这些公式书中大多都有列写，为防止学生直接照抄照背书中公式，可以让学生把做题过程一并写出.

如三角函数部分：

然后还可以再进行其他三角函数的拓展，如：求tanα= ， tan2α= .tan3α= 等.这里不再一一解释.这样将公式让学生自己用最基本的三角函数进行推导，不仅可以使学生快速掌握相关公式的记忆，避免死记硬背出现错用公式的现象，还能够让学生进一步明白三角函数相互之间转换的关系，这对于三角函数的应用是十分有用的.另外应当注意余弦定理和正弦定理的推导和应用，这是解决大量与三角形有关实际问题的关键.

篇2

1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质.

(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域.

(2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质.

(3)能利用指数函数的性质比较某些幂形数的大小,会利用指数函数的图象画出形如的图象.

2.通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合，全国公务员共同天地的思想方法.

3.通过对指数函数的研究,让学生认识到数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.使学生善于从现实生活中数学的发现问题,解决问题.

教学建议

教材分析

(1)指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究.

(2)本节的教学重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质.难点是对底数在和时,函数值变化情况的区分.

(3)指数函数是学生完全陌生的一类函数,对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题,所以从指数函数的研究过程中得到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法,所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法,以便能将其迁移到其他函数的研究.

教法建议

(1)关于指数函数的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是的样子,不能有一点差异,诸如,等都不是指数函数.

(2)对底数的限制条件的理解与认识也是认识指数函数的重要内容.如果有可能尽量让学生自己去研究对底数,指数都有什么限制要求,教师再给予补充或用具体例子加以说明,因为对这个条件的认识不仅关系到对指数函数的认识及性质的分类讨论,还关系到后面学习对数函数中底数的认识,所以一定要真正了解它的由来.

关于指数函数图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算,也应避免盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论,取得对要画图象的存在范围,大致特征,变化趋势的大概认识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.

教学设计示例，全国公务员共同天地

课题指数函数

教学目标

1.理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用.

2.通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.

3.通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.

教学重点和难点

重点是理解指数函数的定义,把握图象和性质.

难点是认识底数对函数值影响的认识.

教学用具

投影仪

教学方法

启发讨论研究式

教学过程

一.引入新课

我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类新的常见函数-------指数函数.

1.6.指数函数(板书)

这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要.比如我们看下面的问题:

问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出与之间的函数关系式吗?

由学生回答:与之间的关系式,可以表示为.

问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了次后绳子剩余的长度为米,试写出与之间的函数关系.

由学生回答:.

在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为指数函数.

一.指数函数的概念(板书)

1.定义:形如的函数称为指数函数.(板书)

教师在给出定义之后再对定义作几点说明.

2.几点说明(板书)

篇3

艺术如此高雅，何不让它走向人生之端。

艺术既高雅之称，则有雅俗之分。能叩击人心，提升人的品味，却难懂难明，不被大众所看透，一看就让人大失兴致的作品未必就是通俗之作，相反，高雅艺术能给人以感悟，得到升华。然而，高雅艺术常常被人忽视，所谓高雅艺术贬值，无非是人们的不懂欣赏，任何一份作品，都有它其存在的意义与价值，高雅艺术更应让更多人欣赏与接纳。

高雅艺术应走向家家户户，而不是被拒之千里，可望不可即。因为高雅艺术，徐悲鸿的《奔马》变得价值连城，贝多芬的《月光》被千古称颂，屈原的《离骚》刻与代代子孙之心.......我想这艺术与众人的欣赏与传播离不开的吧。

高雅艺术应怎样才能让更多人接纳与欣赏呢？这与我们的素质是息息相关的，我们要不断增长见识，丰富自己的内涵，提高自身素质修养.......崇尚艺术，是我们学会欣赏的具体表现，我们应学会欣赏高雅艺术，让高雅艺术更含价值。

篇4

高职院校内涵建设本身也具有内涵与要素等相关系统性特征，而且高职院校内涵建设的内涵是通过系统要素来体现的。但是，不同的专家学者对高职院校内涵建设的认识角度与理解层次存在一定的差异。在高职院校内涵建设的核心要素界定方面，不同学者分别认为专业建设、课程改革、师资队伍、教学质量等是高职院校内涵建设的核心要素，并且围绕各自的核心阐述了高职院校内涵建设的理念、体系、观点、方法与措施等。综合各种观点，笔者认为，高职院校内涵建设的核心要素是办学质量与效益，所有办学行为都必须围绕这两个要素来进行；而专业建设、课程改革、师资队伍建设、办学特色、校企合作、教育资源、管理体制等是内涵建设的基本要素，是办学质量与效益的外在体现。基本要素高职院校内涵建设涉及的基本要素很多，不同发展时期不同院校有不同的需要与认识，我们认为以下几个要素是具有普遍性的：专业建设是内涵建设的核心；课程改革是内涵建设的基础；师资队伍建设是内涵建设的关键；办学特色是内涵建设的导向；校企合作是内涵建设的方式；教学资源与管理体制是内涵建设的保障。专业建设无疑是高职院校内涵建设的核心内容，也是高职院校建设和发展的立足点。[3]课程改革是专业建设的基石，是内涵建设的基本工作。师资队伍的质量与水平是内涵建设成败的主观要素。办学特色关系到高职院校的战略发展问题，是内涵建设的大方向。校企合作是高职院校服务地方经济、提高内涵建设效果的重要途径。教学资源与管理体制保障内涵建设的顺利进行。

高职院校内涵建设的内在逻辑

从教育哲学的角度来看，高职院校内涵建设必须回答以下四个问题：为什么建设（建设意义）、谁来建设（建设主体）、建设什么（建设内容）、怎么建设（建设途径），才能构建一个完整的内在逻辑体系。第一个问题已经在本文第一部分（高职院校内涵建设的逻辑与使命）作了充分的说明，此处不再赘述。接下来重点探讨余下的三个问题。

（一）建设主体一般来说，主体的选择是事物发展的主观决定因素，合适的主体有助于认识事物发展的规律和改变事物发展的轨迹。按照传统的学校本位模式，高职院校内涵建设当然应该是学校自己的事，与别人无关。但是，按照开放办学的思想，高职院校应尽量避免单打独斗的建设思维，把学校本位模式、企业本位模式与社会本位模式有机结合起来，才能更好更快地实现内涵建设的目标。事实上，内涵建设的多元主体除了高职院校自身以外，还应该包括政府、企业、科研院所、行业协会、中介机构等社会组织。根据目前较为流行的协同创新理念，高职院校内涵建设应该是多个行为主体在交互作用与协同创新的过程中，通过主体之间的各种内涵建设要素的对接，彼此建立起相对稳定的、能够产生协同创新优势、有利于促进协同创新所形成的正式或非正式关系，建立一种根植于区域的动态创新网络，以此促进内涵建设的提高。在高职院校内部，内涵建设的主体可以分为集体主体与个体主体，集体主体包括学校、职能部门、院系、班级以及各种非正式组织等；个体主体包括学校领导、专任教师、管理人员、学生等。在以往的改革中，大多采取自上而下、以集体为主的模式，容易忽视个体主体的主观需要与自发动力，因此，适当采取自下而上、以个体为主的模式在有些情况下能够获得意想不到的效果。当然，按照不同的标准和需要，内涵建设的主体还可以分为其他类型。

（二）建设内容一般而言，内涵建设的基本要素是核心要素的外延拓展，而内涵建设的内容则是内涵建设基本要素的具体表现形式，也就是基本要素在具体实践中的分解与细化。核心要素通过基本要素来体现，基本要素则进一步通过若干项目或单元表现出来。例如，专业建设由培养目标、课程体系、教学条件、专任教师、教学方法与手段等若干个子项目组成；课程改革至少包括课程功能、课程结构、课程内容、课程实施、课程管理、课程评价等环节；师资队伍建设不仅要重视职称结构、学历结构、年龄结构、学缘结构等方面的动态调整，还要重视专兼职教师队伍的统筹协调，更要重视教学、科研、服务团队的建设；办学特色既要体现高职院校所依托行业的特色，又要发扬院校自身发展的校本精神与核心价值；校企合作不仅在人才培养、科技开发、社会服务方面有重要的促进作用，而且在体制机制改革与协同创新办学模式方面有重要的催化作用；教学资源建设必须做到软硬兼顾，才能为高职人才培养提供良好的必要条件；管理体制改革主要是理顺高职院校三大权力之间的关系，即政治权力、行政权力与学术权力之间的复杂三角关系。值得注意的是，每个基本要素分化为具体的建设内容时，经常会有交叉或重叠，需要根据情况加以协调，明确主次先后或轻重缓急。

篇5

【关键词】高职数学教学 函数学习 抽象思维能力

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）26-0084-01

高职阶段数学教学的意义不仅仅体现在继续升学的方面，更重要的是能提高学生发现、分析与解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力与空间想象能力，帮助学生学会理性思考、理性判断，为专业课程的学习奠定坚实有力的基础。

高职数学知识点丰富，而函数概念是众多数学概念中最重要的概念之一，是高职数学的重点和难点。在课堂教学过程中，有不少学生反映函数的概念太抽象，从初中开始就是自己的“老大难”，以至于只要看到与函数有关的内容就害怕，宁愿选择回避。

函数的思想充分体现了集合、对应、映射等基本数学思想，这与中学数学中的数、式、方程等有密切联系。教师在函数教学中应该从概念的本质属性、概念的内涵和外延入手，加强概念形象理解，培养学生良好的思维习惯。

一 函数概念的定义

传统定义：设有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数。

近代定义：设A，B都是非空集合，f：xy是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：AB就叫作函数，记作y=f（x）。

对函数概念的理解，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同。传统定义是从对应的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。定义都是文字和符号的连接，学生在理解时缺乏直观的认识，往往一知半解，此时需要让学生以自己独特的角度对函数概念形成理解，也有助于加深记忆。

如将函数y=f（x）的三要素与实际生活相联系，把“自变量x”看成是“待加工的货物”，把“因变量y”看成是“加工完成的产品”，把“对应法则f ”看成是“加工时的工序”，把“（）”看成是“工厂的大门”。如此学生以自己的理解，将理论与现实中的实物联系起来。

二 函数的定义域和值域

在函数y=f（x），x∈D中，自变量x的取值范围的集合D就是函数的定义域，而与x的值对应的y值就是函数值，函数值y的集合就是值域。

函数的定义域和值域考查的形式有很多，无论是选择题、填空题，还是解答题都会出现，是考试常考的内容，在求定义域、值域时我们会碰到各种不同类型的函数表达式，有些是我们熟悉的，有些相对比较复杂。同学们在遇到不熟悉的函数表达式时往往不知道应从何处下手。其实存在的问题都是心理紧张因素造成的，我们要理清思路，按部就班，掌握五大基本初等函数（反、对、幂、三、指）定义域、值域的特殊条件会有助于问题的解决。

第一，在求函数的定义域时，可以按照下面这几种方法来快速有效地判断和求解：（1）函数是整式时，自变量x可以取任意值，也就是定义域为全体实数所组成的集合。（2）函数是分式函数时，一定要注意，分母不能为0，那么定义域就是除使分母为零以外的一切实数所组成的集合。（3）如果函数是偶次根式时，就要注意被开方数不能为负；是奇次根式时，被开方数可以是任意实数。（4）当函数为指数函数和对数函数时，应尽量记住函数的大致图像，关注其在平面直角坐标系中的大体分布。（5）当函数为三角函数时，更应考虑其图像，特别注意正切函数其定义域与直线斜率的关系。（6）若函数中包含了若干个基本初等函数的四则运算，那么该函数的定义域很可能就是各基本初等函数的定义域的交集。

第二，值域的求法较之定义域的求法要复杂得多，更没有现成的结论，它必须通过不同的途径分析、观察、计算等才能求出不同函数的值域，通常有以下一些方法。（1）如果遇到的是熟悉的、学过的函数，可通过观察其图像直观判断出值域。（2）如果遇到不熟悉的、较复杂的函数，可通过“多点法”作出草图客观判断其值域。（3）通过求出函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质，辅助判断其值域。（4）利用换元法把复杂函数转化为熟悉的函数来求值域。（5）部分函数可通过反函数法求定义域来求原函数的值域。

总之，学好函数首先需要弄清函数的概念，真正搞懂什么是函数，掌握基本初等函数的定义、性质、图像，把概念性的知识点转化为自己独有的理解，不但不容易遗忘，而且可以充分发掘学生的想象力和思维能力。

参考文献

[1]杨红.函数概念及表示方法的知识点总结[J].理科考试研究（高中版），2013（5）

[2]张玲艳、熊昌雄.高中函数概念学习的理论基础[J].宜宾学院学报，2007（12）

[3]张晓燕、房元霞、藏亚玲.函数概念的发展对教学的启示[J].聊城大学学报（自然科学版），2006（3）

篇6

函数概念与基本初等函数Ⅰ

第四讲

指数函数､对数函数､幂函数

2019年

1.(2019浙江16)已知,函数,若存在,使得,则实数的最大值是____.

2.(2019全国Ⅰ理3)已知,则

A.

B.

C.

D.

3.(2019天津理6)已知,,,则的大小关系为

A.

B.

C.

D.

2010-2018年

一､选择题

1.(2018全国卷Ⅰ)已知函数.若存在2个零点,则的取值范围是

A.

B.

C.

D.

2.(2018全国卷Ⅲ)设,,则

A.

B.

C.

D.

3.(2018天津)已知,,,则a,b,c的大小关系为

A.

B.

C.

D.

4.(2017新课标Ⅰ)设为正数,且,则

A.

B.

C.

D.

5.(2017天津)已知奇函数在R上是增函数,.若,,,则a,b,c的大小关系为

A.

B.

C.

D.

6.(2017北京)已知函数,则

A.是奇函数,且在R上是增函数

B.是偶函数,且在R上是增函数

C.是奇函数,且在R上是减函数

D.是偶函数,且在R上是减函数

7.(2017北京)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是

(参考数据:≈0.48)

A.

B.

C.

D.

8.(2016全国I)

若,,则

A.

B.

C.

D.

9.(2016全国III)

已知,,,则

A.

B.

C.

D.

10.(2015新课标Ⅱ)设函数,则

A.3

B.6

C.9

D.12

11.(2015北京)如图,函数的图像为折线,则不等式的解集是

A.

B.

C.

D.

12.(2015天津)已知定义在

上的函数

(为实数)为偶函数,记

,,则

的大小关系为

A.

B.

C.

D.

13.(2015四川)设都是不等于1的正数,则“”是“”的

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

14.(2015山东)设函数,则满足的的取值范围是

A.

B.

C.

D.

15.(2014山东)已知函数(为常数,其中)的图象如图,则下列结论成立的是

A.

B.

C.

D.

16.(2014安徽)设,,,则

A.

B.

C.

D.

17.(2014浙江)在同意直角坐标系中,函数的图像可能是

18.(2014天津)函数的单调递增区间是

A.

B.

C.

D.

19.(2013新课标)设,则

A.

B.

C.

D.

20.(2013陕西)设a,

b,

c均为不等于1的正实数,

则下列等式中恒成立的是

A.

B.

C.

D.

21.(2013浙江)已知为正实数,则

A.

B.

C.

D.

22.(2013天津)已知函数是定义在R上的偶函数,

且在区间单调递增.若实数a满足,

则a的取值范围是

A.

B.

C.

D.

23.(2012安徽)=

A.

B.

C.

2

D.

4

24.(2012新课标)当时,,则的取值范围是

A.

B.

C.

D.

25.(2012天津)已知,,,则的大小关系为

A.

B.

C.

D.

26.(2011北京)如果那么

A.

B.

C.

D.

27.(2011安徽)若点在

图像上,,则下列点也在此图像上的是

A.

B.

C.

D.

28.(2011辽宁)设函数,则满足的的取值范围是

A.,2]

B.[0,2]

C.[1,+)

D.[0,+)

29.(2010山东)函数的图像大致是

30.(2010天津)设,,,则

A.

B.

C.

D.

31.(2010浙江)已知函数若

=

A.0

B.1

C.2

D.3

32.(2010辽宁)设,且,则

A.

B.10

C.20

D.100

33.(2010陕西)下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是

A.幂函数

B.对数函数

C.指数函数

D.余弦函数

34.(2010新课标)已知函数,若,,均不相等,且=

=,则的取值范围是

A.(1,10)

B.(5,6)

C.(10,12)

D.(20,24)

35.(2010天津)若函数,若,则实数的取值范围是

A.

B.

C.

D.

二､填空题

36.(2018江苏)函数的定义域为

.

37.(2018上海)已知,若幂函数为奇函数,且在上递减,则=_____.

38.(2018上海)已知常数,函数的图像经过点､,若,则=__________.

39.(2016年浙江)

已知,若,,则=

,=

.

40.(2015江苏)不等式的解集为_______.

41.(2015浙江)若,则_______.

42.(2014新课标)设函数则使得成立的的取值范围是__.

43.(2014天津)函数的单调递减区间是________.

44.(2014重庆)函数的最小值为_________.

45.(2013四川)的值是____________.

46.(2012北京)已知函数,若,则

.

47.(2012山东)若函数在上的最大值为4,最小值为,且函数在上是增函数,则a=____.

48.(2011天津)已知,则的最小值为__________.

49.(2011江苏)函数的单调增区间是__________.

答案部分

2019年

1.解析:存在,使得,

即有,

化为,

可得,

即,

由,

可得,可得a的最大值为.

2.解析:依题意, ,

因为, 所以,

所以.故选B.

3.解析

由题意,可知,

.

,所以最大,,都小于1.

因为,,而,

所以,即,

所以.

故选A.

2010-2018年

1.C【解析】函数存在

2个零点,即关于的方程有2

个不同的实根,即函数的图象与直线有2个交点,作出直线与函数的图象,如图所示,

由图可知,,解得,故选C.

2.B【解析】由得,由得,

所以,所以,得.

又,,所以,所以.故选B.

3.D【解析】因为,,.

所以,故选D.

4.D【解析】设,因为为正数,所以,

则,,,

所以,则,排除A､B;只需比较与,

,则,选D.

5.C【解析】由题意为偶函数,且在上单调递增,

所以

又,,

所以,故,选C.

6.A【解析】,得为奇函数,

,所以在R上是增函数.选A.

7.D【解析】设,两边取对数得,

,

所以,即最接近,选D.

8.C【解析】选项A,考虑幂函数,因为,所以为增函数,又,所以,A错.对于选项B,,又是减函数,所以B错.对于选项D,由对数函数的性质可知D错,故选C.

9.A【解析】因为,,,且幂函数在上单调递增,指数函数在上单调递增,所以,故选A.

10.C【解析】由于,,

所以.

11.C【解析】如图,函数的图象可知,的解集是

.

12.C

【解析】因为函数为偶函数,所以,即,

所以,

,

,所以,故选C.

13.B【解析】由指数函数的性质知,若,则,由对数函数的性质,

得;反之,取,,显然有,此时,于是,所以“”是的充分不必要条件,选B.

14.C【解析】由可知,则或,解得.

15.D【解析】由图象可知,当时,,得.

16.B【解析】,,,所以.

17.D【解析】当时,函数单调递增,函数单调递增,且过点(1,0),由幂函数的图象性质可知C错;当时,函数单调递增,函数单调递减,且过点(1,0),排除A,又由幂函数的图象性质可知C错,因此选D.

18.D【解析】,解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为.

19.D【解析】,

由下图可知D正确.

解法二

,,

,由,可得答案D正确.

20.B【解析】,,≠1.

考察对数2个公式:

对选项A:,显然与第二个公式不符,所以为假.对选项B:,显然与第二个公式一致,所以为真.对选项C:,显然与第一个公式不符,所以为假.对选项D:,同样与第一个公式不符,所以为假.所以选B.

21.D【解析】取特殊值即可,如取

.

22.C【解析】因为函数是定义在R上的偶函数,且,

所以,

即,因为函数在区间单调递增,所以,

即,所以,解得,即a的取值范围是,选C.

23.D【解析】.

24.B【解析】由指数函数与对数函数的图像知,解得,故选B.

25.A【解析】因为,所以,

,所以,选A.

26.D【解析】根据对数函数的性质得.

27.D【解析】当时,,所以点在函数图象上.

28.D【解析】当时,解得,所以;当时,

,解得,所以,综上可知.

29.A【解析】因为当=2或4时,,所以排除B､C;当=–2时,

,故排除D,所以选A.

30.D【解析】因为,所以

31.B【解析】+1=2,故=1,选B.

32.A【解析】又

33.C【解析】.

34.C【解析】画出函数的图象,

如图所示,不妨设,因为,所以,的取值范围是,所以的取值范围是.

35.C【解析】由分段函数的表达式知,需要对的正负进行分类讨论｡

.

36.【解析】要使函数有意义,则,即,则函数的定义域是.

37.【解析】由题意为奇函数,所以只能取,又在上递减,所以.

38.【解析】由题意,,上面两式相加,

得,所以,所以,

因为,所以.

39.

【解析】设,则,因为,

因此

40.【解析】由题意得:,解集为.

41.【解析】,,.

42.【解析】当时,由得,;当时,

由得,,综上.

43.【解析】,

知单调递减区间是.

44.【解析】

.当且仅当,即时等号成立.

45.1【解析】.

46.2【解析】由,得,于是

.

47.【解析】

当时,有,此时,此时为减函数,不合题意.若,则,故,检验知符合题意.

48.18【解析】,且,

篇7

【关键词】：函数；值域；教学

[Abstract]: function is an important part of high school mathematics "function of the three elements" in the mathematics examination papers in the conception, content, is one of the important content of essential mathematics review, in the high school mathematics teaching. Selected teachers teaching in the process of teaching method, students are absorbed to consolidate the knowledge, an important way to improve skills.

[keyword]: function ；range; teaching

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）

高中数学的函数知识，是数学高考的必考内容，其内容多，题型灵活多变，为求其值域，有时颇有一定的困难。但按其类型、依据其特点、探究其规律，仍可提出各种不同的求法。本文仅以最为常见的函数为线索提出其值域的十二种求法：

一、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

问题1：求函数(a、b、c为常数，且)的值域。

分析：由算术根的性质，可得

故：，即：

所以：函数的值域为

问题2：求函数，的值域

分析：通过观察，可得：

故函数y的值域为

二、配方法：对于求形如的函数的值域，可作代换，得代入函数关系式，即可化为关于的二次函数，但应注意t的取值范围：。

问题1：求函数的值域

解：令，，则

代入原函数关系式并化简得：

配方，得：

当

此时函数无最小值，故原函数的值域为

问题2：求函数的值域

解：由

故原函数有最小值

当时，函数有最小值0

故原函数有最大值

所以原函数的值域为：

三、反函数法：当函数的反函数存在时，其反函数的定义域即为原函数的值域。特别地，形如的函数都可应用此法求解。

问题1：求函数的值域

解：显然函数的反函数为，要使其反函数成立，则必须，即其反函数的定义域为

故原函数y的值域为：

问题2：求函数的值域

解：由原函数的解析式变形得：

即，进而可知其反函数为：

由于，即其反函数的定义域为

故原函数的值域为

四、判别式法：把函数关系式转化成关于的二次方程F，由于方程有实根，故判别式，从而求得原函数的值域。常适用于形如：（不同时为0）和的函数。

问题1：求函数的值域

解：将函数变形成关于x的二次方程

，当y＝1时，此方程无实数解；当，即：，解之得：，，故函数y的值域为

问题2：求函数的值域

解：移项后两边平方，得：，展开并化简整理成关于x的二次方程，，由于x是实数，故判别式。

即：，解之得

又，且对一切成立

故应舍去，取

因此函数y的值域为

五、换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如：的函数的值域常用此法求。对于含有结构的函数，均可利用三角代换，令，或令，，代换中要严格掌握代换的三角函数的值域要与被代换变量的取值范围一致。

问题1：求函数的值域

解：（换元法），令

当，即：时，函数y有最大值，

又由于，即：，故函数无最小值

所以，函数y的值域为

问题2：求函数的值域

解：（三角代换）考虑到函数y的定义域为:，即：，故原函数变形为：

，显然函数是连续的，而当时，函数y有最大值，此时；

当时，函数y有最小值，此时，

当时，函数y的值是y=1

故函数的值域为

问题3：求函数的值域

解：函数y的定义域为：，

原函数变形为：

即：

即：，当

= =时，

当时，有：

，此时

故：函数y的值域为

六、辅助角公式法，利用公式,其中角所在象限由a,b的符号确定，角的值由确定，由，即可求得y的值域。

问题：求函数的值域

解：将原函数关系式化为：

，再利用公式化为：

，其中

即：，且

化简整理得：，解得：

故原函数的值域为

七、复变量代换法：利用复数公式+…+

求函数的值域。注意代换时要使为定值。

问题：求函数的值域

解：将函数解析式变为：

令复数，则：

，故有：，

，再进行代换，得：

故函数y的值域为

八、基本不等式法：利用算术平均数不小于它们的几何平均数的基本不等式，求得函数的值域，这时要注意条件“一正二定三相等”，即：①；②为定值；③取等号条件。从而推出函数取得最大（小）值。

问题：求函数的值域

解：

由几个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数知：

＝

显然，要使等号成立，只需方程：有解

因此，函数可取到最小值

故函数的值域为

九、单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域。形如：的函数的值域均可使用此法求解；对形如函数均为常数，且，也可用此法求解，即主要看与是否同号，若同号用单调性法求值域，若异号则用换元法求值域。

问题1：求函数的值域

解：原函数解析式变为：

令，故不能使用不等式法

但是时为增函数

故函数y的值域为

问题2：求函数的值域

解：设

均为增函数

在定义域上单调递增

即：函数y的值域为

十、求导法：利用函数在其定义域上的可导性，对其函数求导，进而求函数的值域。

问题1：当时，曲线由两方程给出：

，求函数的最大值与最小值

分析：最值就是极值和区间端点值中的最大或最小函数值。

解：，其y的一阶导函数为：

解得：

因为，

又时，；当时，

故函数y的最大值，最小值

问题2：求函数在闭区间上的最大值和最小值。

解：

令：

在区间上在区间上，

时，取最大值；又

的最小值为：-17

十一、参数方程法：对于用二元不等式表示的题设条件，常引入参变量，将不等式化为等式，并给出参数的范围，然后将等式化为参数方程，求得函数的值域。

问题1：已知：，求函数的值域

解：设（其中k为参变数，且），则方程的参数方程为：代入函数关系式中得：

即：

即：函数z的值域为

十二、转化法和数形结合法

(一)转化法：对于求形如的函数值域，可设

将求函数Z的值域转化为求斜率的取值范围

问题：求函数的最大值和最小值（人教版，全日制普通高级中学《数学》教科书（必修）第二册（上）第82页第11题）。

分析：可以看成两点连线的斜率，而A是定点，P为圆上的动点，因此，求函数的最值问题就转化为求直线PA的斜率的最值问题。

解：如图所示，可以看成

点，A(2,1)两点连线的斜率，且P在圆上运动，过定点A作圆的两条切线AP1和AP2，则AP1的斜率最小，且的斜率最大。

设的斜率为k，则切线的方程为：

即：，且直线AP2与圆相切

圆心O到切线AP2的距离，即：

解得：，，（其中：，即为切线的斜率）

直线的斜率为

故函数的最大值为，最小值为

(二)数形结合法：用几何图形表示题设条件或函数关系式，通过图像的直观求得函数的值域。

问题1：求函数的值域

解：原函数变形为：

可看作单位圆外一点与圆上的点所连线段的斜率的2倍，由图示知：

设过P点的直线方程为：

即：，令

解得：

函数y的值域为

问题2，若，求函数的值域

解：方程表示圆，Z表示圆上任意一点到点的距离的平方，作出图形,由图形的直观可知：，，而直线的参数方程为： 代入圆方程中，并化简整理得：，解得。

篇8

一、代数问题

一般通过考察常见函数的单调性，或者能够利用导数问题研究其单调性，在定义域内求最值，或者通过方程思想，得到不等式再求最值.

【例1】（2008·江西·第9题）若0

A.3y

C.log4x

简析：本题直接利用指数函数、对数函数的单调性，但对于B选项，真数相同，底数不同的情况，通过数形结合，可排除，选C.

【例2】求二次函数在[0，a]上的最值.

解析：=+2

结合图像，需对a进行分类讨论：

①若0≤a≤1，==3，=；

②若1

③若a>2，=，==2.

评注：求在有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住两点：①二次函数图像的开口方向；②二次函数图像的对称轴与所给闭区间的相对位置关系.

此类型最值必然在区间端点或图像顶点处取得.

【例3】（2005·全国卷Ⅱ·文21题改编）

设a为实数，函数，求的最值.

解析：令=3x2-2x-1=0得=-，=1

，≥0，

函数在上是增函数，

==a+

显然不存在最小值.

与本题类似，2008全国卷I第19题、全国卷Ⅱ第22题（文）都出现了与导数有关的判断函数单调性的问题.

评注：导数知识放在高中阶段学习，为高中数学增添了许多亮点，同时也为高考数学的考查方向和难度提供了许多有利的条件.

【例4】已知，，求的最小值.

解法1：==5+≥5+=9

（当且仅当且x+y=1，即时取“=”号）

的最小值等于9.

说明：此法符合均值不等式的条件“一正二定三相等”.

解法2：x+y=1，令，（）

=

=

=

=≥=9

说明：此解法运用了三角换元，最后又运用了重要不等式，与法1实质相同.

解法3：利用柯西不等式

==

≥==9

说明：实质上令，，是的应用.

解法4：令=t，由，消去y可得：

转化为上述方程在内有解，故有，可得到t≥9.

所以最小值等于9.

说明：本解法体现了转化思想、方程思想.

评注：对本题的四种解法中，我们可看到解法1、解法2是较为简洁的.我们提倡一题多解，善于发现、总结，从中找出最优解法，逐步提高分析问题、解决问题的能力.

二、三角函数问题

三角函数作为一种重要的函数，也是高考考查的重点.三角函数常借助三角函数的有界性或利用换元转化为代数的最值问题.

【例5】（2008·全国卷Ⅱ·第8题）若动直线与函数与的图像分别相交于M、N两点，则的最大值为（ ）.

A.1 B. C. D.2

分析：画图像，数形结合是很难得到答案的.

易得，，则，利用正弦函数的有界性易知最大值为.

【例6】（2004全国卷）求函数的最大值.

解析：，

而，

评注：令，则，这样转化为区间或其子集上的二次函数的值域问题.类似的结构还有：，，等.

【例7】（2008重庆·第10题）

函数的值域为（ ）.

A. B. C. D.

分析：观察式子结构，若化为

，

但最小值不能直接观察出.因为分子取最小值时，分母取不到最小正数.

变形为另一种形式：，观察结构，

再配凑，会发现什么？

令，，问题转化为求的最值问题，数形结合，易知的范围是[]，从而选B.

篇9

关键词： 高中数学 函数 解题

高中数学解题受到函数概念认知的干预，在高中数学习题解答中，函数模型的应用有着很重要的作用，要想高效解答高中函数习题，利用函数模型解答是最正确的行为。高中数学中最困扰学生的一个问题就是函数，大多数高中生对函数概念的认知程度不够，导致函数习题解答中出现了很多困难，学生对高中数学产生畏惧心理。高中生必须具备函数概念认知，才能从根本上解决函数习题中遇到的困难，减轻对函数乃至于数学的畏惧心理。

一、认识函数

1.认识重要性，提高学习动力。

学生大量接触函数是在高中时期，函数是大多数高中生心目中比较难掌握的知识点，但是高中时期函数是数学课中很重要的知识点，要想提高高中生的数学成绩，就必须解决函数这个对高中生来说很难的问题。对一般实际生活中的问题利用函数模型解决就是函数，高中数学学习中，函数占据重要地位，并且是最难懂最难学的知识点，函数在大多数高中生心目中并没有清晰的认知，导致函数学习中存在很多不容易解决的难题。并不是说没有办法提高高中生对函数概念的认知，深入了解函数模型和概念，能够有效解决函数中的难题[1]。函数同时是高考数学科目考查的难点和重点，所以对函数概念进行深刻把握具有重要意义。

2.了解概念，破除认知障碍。

函数的概念：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

在一般书籍和资料中，函数的概念就是用x和y表示一个函数模型，函数习题中经常解决的是实际存在的问题，高中学生的函数学习任务就是利用函数模型对这些实际问题进行解决。函数对于高中学生来说并不陌生，学生对实际中存在的问题也不陌生，但是在解决实际问题中使用函数就不一样了，大多数高中生利用函数模型解决实际问题的时候常常不能灵活运用函数模型，学生对函数概念的认知障碍就是这样形成的[2]。所以必须提高学生利用函数解决实际问题的能力，但是提高运用能力的时候首先要对函数的概念有深刻的认识。

二、函数的了解方法

1.参考资料，实地思考。

高中学生深入了解函数概念的最主要方式就是参考相关资料，翻阅对函数模型有一定解释的书籍，通过书籍中对函数概念的理解对函数概念有深入认识。高中函数最重要的问题就是利用函数解决实际生活中的问题，所以通过相关资料和书籍对函数概念有深刻认识之后，要结合实际生活情况，把习题放进实际生活环境中解答，这样关于函数的一切问题就会变得更加简单化和生活化，再把和习题相关的函数模型运用到习题解答中，就能快速高效地解答函数习题。

2.结合实际，举例分析。

枯燥的理论对于学生的学习来说往往不重要，为了让学生感受到课堂乐趣及让学生更信服，需要相关函数例子佐证。

案例：

题目：纳税是我国每一个公民都应该尽到的义务，进行生产经营活动的商铺和企业必须向税务部缴纳一定的税务。某市对于服装业的税收标准如下：每月销售额在2000元以内的征税400元，超过2000元的，前2000元收300元的税款，超出2000元部分的税率是3%.

问：（1）写出该市服装业征收的税金y（元）和营业额x（元）的函数关系式。

（2）该市某一个服装店7月份的营业额是50000元，这家服装店七月份该缴纳的税金为多少？

分析：这道函数习题背景就是我国一般的纳税问题，结合实际生活中纳税的情况进行分析，根据题目中表达的情况，对税金（y）和营业额（x）之间的函数关系式进行设定，这样不仅解决了函数习题，而且是对实际生活中的问题的解答。

高中生的数学学习受到函数概念认知的影响和干预很大，用函数习题的解答能够帮助学生对函数概念有深刻的认知，灵活地对实际生活中的问题利用函数概念解决。

三、结语

在高中数学乃至高考数学科目中，函数占据重要地位，所以高中学生必须学好函数。利用函数模型解答实际生活中的问题，这就是数学解题受到函数概念认知干预的后果。

参考文献：

[1]朱健忠.例析三角函数的解题技巧[J].理科考试研究（高中版），2014，21（7）：14.

篇10

【关键词】函数；值域；常用方法

求函数值域的常用方法有：配方法、分离常数法、判别式法、反解法、换元法、不等式法、单调性法、函数有界性法、数形结合法、导数法.

一、观察法

有些函数结构简单，我们可以通过基本函数的值域以及不等式直接观察出函数的值，这种通过观察函数特点做为解题突破口的一类函数值域的求法，简洁明了，不失为一种巧法.

二、配方法

配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.F（x）=af 2（x）+bf 2（x）+c的函数的值域问题，都可使用配方法，解题过程中要特别注意自变量的取值范围.

三、判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用二次方程根的判别式法求函数的值域.

四、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.也叫反解x法，将y视为变量，利用数式的性质或已知函数的值域求y，体现了逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一.

五、分离常数法

形如y=cx+dax+b（a≠0）的函数.思路是用分母表示分子，分离出常数，使得分子不含变量，最后借助基本函数的值域求解.

六、换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域.

形如y=ax+b±cx+d（a，b，c，d均为常数，且a≠0）的函数常用换元法.令u=cx+d，x=u2-dc且u≥0，使之变形为二次函数，再用配方法；如果函数中含有a2+x2形式，用三角代换，令x=asinα，α∈-π2，π2或者x=acosα，α∈[0，π]，这种方法用到的是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识.

七、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab.用此法求值域时，要注意条件“一正二定三相等”.即① a>0，b>0；② a+b（或ab）为定值；③ 取等号条件a=b.其题型特征：解析式是和时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧.考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域.不等式法是重要的解题工具，它的用非常广泛，是数学解题的重要方法之一.

八、单调性法

先确定函数在定义域（或定义域某个子集上）的单调性，再求出函数的值域的方法为单调性法.

九、数形结合法

若可以画出函数图像时，通过图像可以求出值域和最值；或者利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域.利用函数的图像求函数的值域，体现数形结合的思想，是解决数学问题的重要方法.

十、求导法

篇11

知识的确是天空中伟大的太阳，它那万道光芒投下了生命，投下了力量。下面小编给大家分享一些高中数学函数知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!

高中数学函数知识点11.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2.复合函数

(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;

点击查看：高中数学知识点总结

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;

5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);

6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;

(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

8.判断对应是否为映射时，抓住两点：

(1)A中元素必须都有象且唯一;

(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：

(1)定义域上的单调函数必有反函数;

(2)奇函数的反函数也是奇函数;

(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

(4)周期函数不存在反函数;

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

(6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;

13.恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法;

(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解。

高中数学函数知识点2奇偶性

注图：(1)为奇函数(2)为偶函数

1.定义

一般地，对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

2.奇偶函数图像的特征：

定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

点(x,y)(-x,-y)

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

(1) .两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2) .两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3) .一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4) .两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5) .两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6) .一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

定义域

(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，

(3)函数单调性法，

(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等

高中数学函数知识点3对数函数

对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1，0)这点。

(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

(5)显然对数函数无界。

指数函数

指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

可以看到：

(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。

(3) 函数图形都是下凹的。

(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

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【关键词】高等数学 条件极值 拉格朗日乘数法 梯度法 标准量代换法

高等数学中的函数条件极值不仅在理论上有着重要的作用，而且在解决实际数学方面也起着非常重要的作用。笔者在本文主要对求解条件极值的方法进行探究，并通过一些实例来加以阐述。希望能得到教学一线的教学能手的指导。

条件极值是解决问题的有效方法，在我们日常生活中，很多问题都可以通过条件极值把问题简单化，从而有效地解决它，可以提高我们解决实际问题的效率。

我国学者对条件极值的研究也有很长的时间了，并且取得了一定的效果。2000年，王延源阐述了解决条件极值问题的几种有效方法。2009年，侯亚红通过例题详细介绍了判定多元函数条件极值的几种方法。 2010年，赵德勤、殷明讨论了如何用构建函数条件极值的方法证明不等式。

在高等数学教学中，极值问题和生活当中的最值问题密切相关，它受到数学当中的条件的限制，因此分为两大类：无条件极值和条件极值。本文略谈其求解方法。

一、拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是求条件极值最常见的方法之一。但是在使用这一方法时，一定要符合以下步骤：

务必要构建拉格朗日乘数法的辅助函数；2。在辅助函数构建后，找出它的稳定点就成为解题的关键之处，从而求得满足方程组的的稳定点；3。要考虑实际问题的意义，如果条件极值存在，那么该方程组的稳定点就是该函数的极值点。

例如：抛物面被平面截得一椭圆，求该椭圆上的点与坐标原点的最短和最长距离。

在使用拉格朗日乘数法去求解时，首先要构建它的辅导函数：

在应用拉格朗日乘数法求解条件极值时应注意，拉格朗日乘数法只是取得条件极值的必要条件。上述问题是在利用拉格朗日乘数法求出稳定点后，根据问题的实际意义来判断所求的稳定点是否为极值点。

二、梯度法

三、标准量代换法

求某些有多个变量的条件极值时，我们务必要选择一个量作为不变量，作为其它变量的参照量，我们也可称之为标准量，称其余各量为比较量，除了此两种量之外，辅助量也是必不可少的，辅助量在计算时起着不可替代的作用。在所用的量确定后，将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来，这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了。如果给定条件是几个变量之和的形式，一般设这几个量的算术平均数为标准量.。

参考文献：

[1]王延源. 再谈条件极值的初等解法[J]. 临沂师范学院学报，2000，22（6）： 71-72

[2]侯亚红. 多元函数条件极值的几种判别方法[J]. 山西经济管理干部学院学报，2009，17（2）： 118-120

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关键词：高中数学;函数;性质;图像

一、函数的考察重点和难点

一般函数考察的重点主要有以下几个：1.函数的奇偶性、单调性和周期性;2.函数与不等式结合;3.函数与方程的结合;4.函数与向量的综合;5.利用导数来刻画函数。

函数的难点主要有两个方面，一个是新定义的函数问题，二是代数推理问题，通常作为高考压轴题。

二、几种常见函数的性质和图像

（一）一次函数

一次函数是最为简单并且最常见的一种函数，在数学的很多其他领域中也经常涉及到相关的运算，在平面直角坐标系中的显示的图像是一根直线。没有特别说明的情况下，其定义域的取值范围为所有值，为一切实数，通常用R表示;其值域也为一切实数R;没有奇偶性和周期性。所有的一次函数都有倾斜角，它指的是X轴正方向与直线之间的夹角。一次函数的平面直角坐标系解析式有：①ax+by+c=0[一般式];②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）;③y-y1=k（x-x1）[点斜式]（k为直线斜率，（x1，y1）为该直线所过的一个点）;④（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）[两点式]（（x1，y1）与（x2，y2）为直线上的两点）;⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）。相对应的这些解析式表达存在局限性： ①所需条件较多（3个）;②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）;④参数较多，计算过于烦琐;⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

（二）二次函数

二次函数在平面直角坐标系中表现的是一条对称轴与y轴平行的抛物线。其定义域为一切实数;值域需要根据解析式来判定，一般分a大于0和a小于0的情况进行讨论;其奇偶性为偶函数，不存在周期性。其解析式为：①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，则抛物线开口朝上;a0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）;Δ=0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）;Δ

（三）反比例函数

反比例函数在平面直角坐标系中的图像为双曲线。其定义域为除了0以外的一切实数;值域也是除了0以外的一切实数;其奇偶性为奇函数，没有周期性。在平面直角坐标系中的解析式为：y=1/x。

（四）幂函数

幂函数的解析式为y=x^a。当y=x^3时，幂函数在直角坐标系中的图像类似于将一个过圆点的二次函数的第四区间部分关于x轴作轴对称后得到的图象，其定义域为一切实数R，值域也为一切实数R，为奇函数且无周期性;当y=x^（1/2）时，图象类似于将一个过圆点的二次函数以原点为旋转中心，顺时针旋转 90，再去掉y轴下方部分得到的图象，定义域为0到正无穷，值域为0到正无穷，无奇偶性和周期性。

（五）指数函数

在直角坐标系中指数函数的图像类似于一个滑梯，永远过x=0，y=1这个点。其定义域为一切实数;值域为0到正无穷;无奇偶性和周期性。其解析式为y=a^x（a>0且a≠1），若a>1则函数在定义域上单调增;若0

（六）对数函数

在图像中与对应的指数函数（该对数函数的反函数）的图象关于直线y=x轴对称，永远过x=0，y=1这个点。定义域为0到正无穷;值域为一切实数R;没有奇偶性和周期性。其解析式为y=log（a）x（a>0且a≠1），若a>1则函数在定义域上单调增;若0

（七）三角函数

1.正弦函数解析式为y=sinx ，图象为正弦曲线，是一种波浪线，也是所有曲线的基础。其定义域为一切实数;值域为-1到1;为奇函数且最小正周期为2π。其对称轴为直线x=kπ/2 （k∈Z）;中心对称点是与x轴的交点：（kπ，0）（k∈Z）。

2.余弦函数解析式为y=cosx ，图象为正弦曲线，由正弦函数的图象向左平移π/2个单位（最小平移量）所得。其定义域为一切实数R;值域同样为-1到1;为偶函数且最小正周期为2π。对称轴为直线x=kπ （k∈Z）;中心对称点是与x轴的交点：（π/2+kπ，0）（k∈Z）。

3.正切函数解析式为y=tg x ，图象的每个周期单位很像是三次函数，有很多个，并且均匀分布在x轴上。其定义域：{x│x≠π/2+kπ};值域为一切实数R;为奇函数且最小正周期为π。正切函数没有对称轴，其中心对称点是与x轴的交点：（kπ，0）（k∈Z）。

三、结语

综上所述，函数可以说是高中数学中的一大核心内容，其涉及的内容特别多，可以作为贯穿整个高中数学的一条主线，进行着不断的穿插。我们在学习的过程中应重视这一方面的内容，只有打好坚实的基础，将所有的内容吃透和消化，便能有效提高自己的思维能力，有助于建立自己的自信心，挖掘自己在数学方面的兴趣爱好。

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关键词：职高 三角函数 有效性

社会对人才的需求量越来越大。职业教育作为我国社会人才重要的输出方，已经成为当前我国教育系统中的重要组成部分，为社会培养了一大批专业的技能型人才。数学是职高课程教学体系中的基础性学科，而三角函数一直是数学教学中的重点与难点，学生对知识的掌握存在一定困难。因此，如何提高职高数学教学中三角函数教学的有效性一直受到广大教师的关注。

一、课堂有效教学的评价标准

1.师生同参与，教学相长

在课堂教学过程中，只有通过师生合作共同开展的教学活动才能够获得较好的教学效果。学生能够发现自身存在的困难与疑惑，教师能够及时地有针对性地进行解答。师生之间的良性互动能够激励学生更好地学习。

2.理实一体化，激发兴趣

只有将知识性教学与学生的日常生活密切联系起来，才能让学生感受到学习的意义所在。在教学中根据学生具体的生活环境进行知识与技能的衍生与拓展，充分尊重学生生活背景的差异性，引导学生根据自己的生活经历去对课本进行知识的自我解读，将大众化的数学教学活动转化为一个个性化的自我展示过程。教师不仅要深入挖掘学生已有知识体系与新课知识内容的关联性，还需要善于发现抽象的数学知识与学生的现实生活之间的关联，从而更好地指导学生去理解新知识并进行巩固，将新知识同化。

3.知识深挖掘，提高认知水平

教学的最终落脚点是人作为一个生命的成长。在数学教学中要充分进行教学内容挖掘，发现更适合学生挑战的内容，开展挑战活动，对学生的认知进行挑战，培养学生的数学思维，将教学从一种呆板、机械化的无趣活动变成一种思维挑战活动，点燃学生与教师的激情。

4.效果三标准，教学参考

学生在学习过程中是否掌握了相关的知识目标，是否掌握了运用知识解决问题的能力，是否在学习过程中完成了一定的情感体验，是判断学生最终学习效果的三大标准。

二、提升三角函数教学中教学有效性的途径

1.构建和谐师生关系

从教育心理学上来说，学生的情感与认知具有紧密的联系，学生的情感能够影响到学生的具体认知行为。同样，学生的认知行为也会对学生的情感体验产生反作用。教学是学生与教师之间的互动活动，教师的状态会影响到教学效果，同样学生的主观感受也会影响到学习效果，而学生与教师之间的情感在很大程度上会影响到一个学生对一门课程的感观。“亲其师而信其道”，学生对教师的喜爱与尊重程度会影响到学生对教师所教授的课程的喜感与参与程度。在班级生活中积极创建良好的师生关系，不仅能够营造一个更有利于学生学习的班级气氛，还能够调动学生对数学学习的积极性，积极配合教师参与课堂教学，从而获得更好的教学效果。一般来说，就读于职高学校的学生大多是学习基础不扎实的学生，学习的主动性并不高，很多甚至还存在厌学情绪，学习中遇到困难就会产生退缩情绪。这种心理上的不配合是教师在课堂中再努力都没法子的事情。教师需要课后多下工夫，给学生更多的关爱，鼓励学生，帮助学生走出不自信的阴影，让其相信自己能够学好数学，从而愿意参与到数学学习中去。

2.重视课堂导入

对课堂教学来说，一个好的教学导入就意味着教学已经成功一半。课堂导入对教学的重要性很突出，教师能否在导入环节很好地完成课程导入，取得好的导入效果，直接影响到整个教学质量与效果。教师需要在导入新课的过程中巧妙地借助结题、留悬念、类比等教学手段突出教学重点与难点，吸引学生的思考。问题导入法是新课导入中常的教学方法，在最短的时间内能够将学生的注意力集中起来，同时能够将学生过去学习过的知识与新课知识有机结合起来，构建一个更加活跃的数学课堂。

例如，在讲解三角函数模型的应用时，通过把相关知识与物理中的交流电、单摆等知识的相结合，能有效激发学生学习的积极性与求知欲。以下是教师设置的情境：把一根线的一端固定，另一端悬挂上小球，从而形成一个简易的单摆，给出这个单摆的绳的固定端与小球球心的距离与小球摆动的周期，把绳子拉直让小球偏离平衡位置最远，这个时刻记为t=0，然后松手让小球随着绳子自由摆动。同时提问：小球离开平衡位置的位移与时间之间的函数关系式？这种跨学科的情境创设的课堂导入方式，不仅有效增加了学生对数学知识的学习动力，同时把数学知识与物理知识背景紧密联系，有助于学生对数学知识的重视与掌握。

3._展小组教学

小组学习是合作学习理论在实际教学中的一种表现形式。这是一种相对来说更为有效的教学学习方法。教师在开展三角函数教学过程中可以将学生进行分组，引导学生开展小组交流，在思想的碰撞中加深对问题的理解，积极开展研究，探究如何去解决问题。一般来说，在进行小组设置时要确保组内成员之间数学水平存在阶梯性差异，同时要尽可能地缩小小组与小组之间存在的差异，才能够更好调动组内合作与互助及组间的良性竞争，从而获得更好的学习效果。同时，小组合作何时开展是一个时机的选择。通常情况下，在学生的思考遇到阻碍或者出现观点不同的时候就是开展合作探究学习的最佳时机。

例如，在开展“诱导公式”学习的过程中，教师完成诱导公式中的基本公式的讲解后，为了让学生更好地理解诱导公式的相关知识，强化学生的记忆，可以组织学生进行小组合作学习。在通过对诱导公式的学习之后，老师为学生准备了相关题目的练习。例如，通过分层设置先让学生推导sin（4π/2-α）=？根据公式，学生很快得出答案。这时老师可以适当引导，当α是锐角时，2π-α∈（270°，360°），sin（2π-α）

在进行习题的讨论过程中，教师不仅引导学生进行研究，而且在课堂中为学生的讨论与研究预留足够的时间，避免预留时间不够出现打断学生研究过程的情况的发生。在小组讨论结束后，教师可以采用提问的形式随机提问，要求他们写出相关公式。这种小组合作的学习形式，不仅能够加强学生与学生之间的感情，培养学生的团队合作意识，还能够深化学生对三角函数相关知识的理解，帮助学生搭建数学知识体系。

4.结合专业特点

职高数学教学与普通高中的数学教学不一样，学生在毕业后大多数直接踏入社会就业，将主要从事技术性劳动，因此职高的教学更注重的是教授的知识的实用性。在三角函数教学中教师也需要注意这一点，明确学生三角函数的最终目的，从枯燥的概念讲解中跳脱出来，在教学中指导学生如何利用三角函数知识去解决生活、专业中的问题。职高的学生学习的专业方向并不都是一样的，需要针对不同专业的学生有意识地将专业知识与三角函数知识结合在一起，加深学生的深度理解。事实上职高学生的专业课上很多内容与三角函数有关联，如机电、建筑等专业，数学不仅是学习的专业工具，同时也是对理性思维、分析能力的一种培养。除此之外，三角函数还被广泛运用于机械制造的测量、建筑的测量以及大地与天文的测量之中。目前，在电工技术与电力工程中的电流与电压，也常常会用到正弦型函数。与此同时，在教学中教师需要改变传统多个教学评价方式，将对学生学习成绩的关心更多地转移到学生在实际学习中的表现，更多地强调技能型学习，从而激发学生的学习积极性。

5.重视课后作业的应用

在课堂教学完成后，教学并没有结束，还需要充分利用作业做好课后练习巩固。为了使得练习与课堂教学内容进行有效配合，达到最好的效果，教师需要根据过往自身在三角函数教学中的教学经验，选择典型的习题，适量安排给学生，引导学生在课后保持思维的活跃性，积极进行思考，强化学生对知识点的理解。同时要将三角函抵兄匾的公式推导作为练习，多鼓励学生积极进行推导，在推导中完成对公式的理解和熟记。

数学是我国教育阶段设置的课程系统中一门基础学科，不仅是衡量学生学习情况的重要标准，还能够有效提升学生的素养。引导学生更好地将数学知识应用到实际生活中去，数学的重要性不言而喻。在职高也是如此。作为职高数学教学中的重点与难点，三角函数教学的有效性一直是教师头疼的问题。教师不仅要注重学生对知识的掌握，还需要不断对课堂教学方法进行改进与创新，根据具体开展的三角函数教学内容开展教学，提升三角函数教学的有效性，提高教学质量，引导职高学生进行综合素质的提升。

参考文献：

[1]张学超，陈伟江.职高《数学》“三角函数”多媒体教学软件的建构[J].中国新技术新产品，2011（15）.

[2]蒲大明.高职高专数学有效教学的实践与思考[J].科教文汇（下旬刊），2012（10）.

[3]曾德新.浅谈职高数学教学中的创新精神培养[J].教育教学论坛，2014（16）.