函数最值的应用精选(十四篇)

序言：作为思想的载体和知识的探索者，写作是一种独特的艺术，我们为您准备了不同风格的14篇函数最值的应用，期待它们能激发您的灵感。

篇1

一、三角函数最值

1.构造复数法

根据所给函数表达式的特点，把它与复数联系起来，再通过复数的性质来确定最值。如复数a+bi的模为■，若函数表达式中一些项形如■时可考虑构造相关复数。某些三角函数式实质上可以看成几个复数的模的和或差，因此，求这样的式子的最值可以转化为求复数的模的最值问题。根据三角问题的条件、结构，找出与复数知识的沟通点，明确解题方向，然后利用复数的模，将题设对照复数模的形式，结合模的性质构造复数。

例1：求函数f（x）=■+■的最值。

解：原函数可改写为：

f（x）=■+■，

显然当sinx=-1时，f（x）max=■+■，

下面求其最小值，可构造两个复数：z1=（1-2sinx）+2i，z2=2sinx+i，

则f（x）=|z1|+|z2|；|z1+z2|=|1+3i|=■，

由不等式|z1|+|z2|≥|z1+z2|=■当且仅当■=■时取等号，即当sinx=■时，f（x）min=■。

2.利用立体几何图形法

根据约束条件和所求量的几何意义构造几何模型，再通过图象来确定最值。

有些三角函数问题蕴含着丰富的几何直观性，若能“以数思形”，进行“数形联想”，就可以通过构造图形并研究图形的几何性质来达到求最值的目的。给出函数表达式求最值时，应该考查表达式和约束条件有什么几何意义，把代数条件及函数表达式分别做出几何解释，为题中所给定的代数值选取适当的几何量，根据题意来设计图形的大小和位置关系，通过几何学构造图形，使题目图形化，借助于图形的直观性来揭示函数的最值。此外，这种化抽象为具体、数形渗透的做法，往往还可以减少复杂的推导。

例2：若α、β、γ均为锐角，满足sin2α+sin2β+sin2γ=1，求y=cotαcotβcotγ的最小值。

分析：sin2α+sin2β+sin2γ=1可构成一条对角线为1的长方体，将已知函数转化为立体几何图形上。

解：如右图，设长方体AC1的对角线B1D=1，∠BB1D=α，∠A1B1D=β，∠C1B1D=γ。

则有sin2α+sin2β+sin2γ=1。

设长方体的三边长为a、b、c，则

y=cotαcotβcotγ

=■■■

≥■=2■，

即ymin=2■。

二、总结

在新课程标准下更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。因此，数学教学应该将课堂与生活紧密联系起来，体现数学来源于生活、寓于生活、用于生活，引导学生把数学知识运用到学生的生活实际中去体验感受，使学生充分认识到数学既来源于生活，又是解决生活问题的基本工具，达到数学课堂教学生活化的目的。

参考文献：

1.赵裕民.用数学思想方法探求三角函数的最值例谈.数学通讯，1996.9：11-13.

2.刘艳玲.求函数最值的初等方法.菏泽师专学院，1999（21）：98-100.

篇2

三角函数的最值问题是三角函数性质的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具.因此，对三角函数最值的考查总是每年高考的一个热点，题型有客观题和主观题，多数处在高考试卷解答题中的中档题位置，也具有一定的灵活性和综合性. 

 

重点难点

求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类型的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法来处理；还可以通过数形结合利用三角函数的图象或其他几何意义求解.

 

重点：明确三角函数的最值的常见类型和处理方法，能运用转化思想，通过变形、换元等方法熟练地求解三角函数的值域和最值.

难点：三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的角的取值范围，还要注意弦函数的有界性. 含参数三角函数的最值的分类讨论也是一个难点.

 

方法突破

三角函数的值域或最值的考查，一般有两种形式：一种是化为一个角的三角函数的形式，如y=asin（ωx+φ）+k，要注意角的取值范围的考虑；另一种是转化为以某一三角函数为未知数的常见函数问题，如y=f（sinx），要注意数形结合思想的应用. 具体类型有：

篇3

关键词：均值不等式 函数 最值 应用

均值不等式是高中数学不等式中的重要内容，均值不等式在求函数最值、解决一些取值范围问题时运用非常广泛，是历年高考考查的重要知识点之一。在实际应用时，我们应因题而宜地进行变换，并注意等号成立的条件，达到解题的目的，变换题目所给函数的形式，利用熟悉知识求解是常用的解题技巧，熟练运用该技巧，对于提高思维的灵活性和严密性大有益处。

一、运用均值不等式时应注意事项

在解决这一类型的题时需要特别注意的是等号成立的条件，特别是遇到一些函数本身就有取值限制范围时，需要根据函数合理存在的限制取值范围再求函数的最值。

二、把所给函数巧妙转化成均值不等式后求最值

这是一种比较难掌握的方法，因此运用此法需要具有扎实的基础知识，敏锐的观察力。下面举两个例子对此法加以介绍。

欲灵活应用此法，需要多练习，并在解题的过程中体会总结规律，达到孰能生巧，总之，遇到此类型的题，最重要的是需配出相应的形式。

三、结语

以上通过几个实例简单介绍了利用均值不等式求最值问题需要注意的一些事项，但对于具体题目，有时可能有多种解题方法，究竟如何求出函数合理的最值，还需要我们在教和学的实践中不断探索和总结。

参考文献：

[1]王影.求函数值域的几种常用方法.解题技巧与方法，2010.

[2]蔓，孙锰.妙用均值不等式求多元函数的最值.高中数学教与学，2010，（4）.

[3]魏福军.用均值不等式求最值须注意的几点.中学生数学，2003，（1）.

[4]徐丽聘.利用均值不等式求最值.求实篇――学习方法总结，2009，（9）.

[5]刘新良，李庆社.十二种求函数值域的常用方法.高中生，2006，（18）.

[6]高飞，朱传桥.巧用均值不等式球最值.高中数学教与学，2007，（5）.

篇4

误区一：二次函数的顶点纵坐标为最大值

在二次函数的实际应用中，二次函数的顶点纵坐标并不一定为最大值，我们应具体问题具体分析，如下题：

例1.如下图，某鸡场要建一个矩形的养鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙，（墙长20米），另三边用木栏围成，木栏长100米，设AB=x米，矩形的面积为S平方米，那么x为多少时，S的值最大？

错解：AB=x BC=100-2x

S=AB・BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

a=-2

当x=25时，Smax=1250

正确解答：

AB=x BC=100-2x

S=AB・BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由题意可得：0

解得：40≤x

a=-225

S随x的增大而减小

当x=40时，Smax=-2（40-25）2+1250=800

点评：很多学生在学习中经常犯这样的错误，他们认为利用二次函数求最大值，只要求出二次函数表达式，并将之化为顶点式，顶点纵坐标即为最大值，而没有考虑自变量的取值范围，此题中的顶点就不在自变量范围内，因此最大面积就不会取到1250，又由于自变量x的范围全部在对称轴x=25左侧，根据二次函数的增减性，我们可知当x=40时，S会有最大值。

误区二：二次函数开口向上没有最大值

例2.根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示，种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）。（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？

图（1） 图（2）

解：（1）设y1=kx（x≥0），设y2=ax2（x≥0）则由题意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 y1=2x，y2=0.5x2

（2）设这位专业户种植树木和花卉能获得的利润为w万元，其中投资x万元种植树木，则投资（8-x）万元种植花卉，由题意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 a=0.5>0，当x=2时，wmin=140≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，当0≤x≤2时，w随x的增大而减小，当x=0时，wmax=（0-2）2+14=16当2≤x≤8时，w随x的增大而增大，当x=8时，wmax=（8-2）2+14=32 32>12，这位专业户能获得的最大利润是32万元。

点评：此题第（2）问，很多学生会说a=0.5，二次函数开口向上，应该没有最大值，其实不然，本题中自变量x的取值范围是0≤x≤8，在二次函数w=0.5（x-2）2+14对称轴x=2左侧（即当0≤x≤2时），由于w随x的增大而减小，故当x=0时，w有最大值16；在对称轴x=2右侧（即当2≤x≤8时），w随x的增大而增大，当x=8时，w有最大值32，通过比较16与32，我们得出最大值为32，此时自变量x=8。

总述：

篇5

关键词： 最小二乘法 直线拟合 LINEST函数 应用

一、最小二乘法求直线拟合的原理

在大学物理实验中，有不少直接从实验的数据求某种物理规律的经验方程即函数关系的问题，此类问题称为方程的回归问题。方程的回归的首要问题就是确定函数形式，两个物理量x、y之间存在：y=a+bx（1）的线性关系，如用自由下落物体测量重力加速度，在气垫导轨上验证牛顿第二定律，用拉脱法测量液体表面张力系数实验中力敏传感器的定标，等等，（1）式中a、b均为常数，且只有一个变量x，此类关系也称为一元线性回归。回归的问题可以认为是用实验数据来确定方程中的待定常数，即求解参数a、b。例如实验测得的数据是x=x，x，…，x时，与之对应的y=y，y，…，y。假设x的误差可以忽略，仅y具有相互独立满足正态分布的测量误差，记作d，d，…，d。这样，把实验数据代入（1）式中，有：y=a+bx+dy=a+bx+d……y=a+bx+d（2），此方程由于未知数比方程数多，故不能直接求解，要想得到合理的a、b值，就要根据最小二乘原理，使y的残差平方和RSS=?蒡（y-（a+bx））（3）为极小值。由=0和=0，分别可得?蒡（y-（a+bx））=0（4）和?蒡（y-（a+bx））x=0（5），联立上式可得：a=（6），b=（7），进一步可得x和y的相关系数r：r==（8）。

二、LINEST函数的应用举例

拉脱法测量液体表面张力系数实验是大学物理实验中的一个经典实验。随着实验仪器的更新，传统的焦利氏称逐渐作简便准确度更高的FD-NST-Ⅰ型液体表面张力系数测定仪所取代，实验仪器如图1所示。

在该实验中，记下吊环即将拉断液柱前一瞬间数字电压表读数值，拉断时瞬间数字电压表读数U，便可依据公式f=（U-U）/b（9）测得液体表面张力f，（9）式中b为硅压阻力敏传感器的灵敏度。在力敏传感器上分别加各种质量的砝码，测出相应的电压输出值，结果见表1所示。

力敏传感器为测力装置，在拉力小于0.098N时，拉力和数字电压表的输出值成y=a+bx的线性关系，其中b为力敏传感器的灵敏度。得到b值的过程我们称为力敏传感器的定标。在定标过程中需要用最小二乘法拟合仪器的灵敏度b，该计算很繁琐，但根据误差理论此方法最佳，我们可利用Excel软件中的LINEST函数进行数据处理，方便简洁不易出现错误。

打开Excel软件，在A栏和B栏分别输入数字电压表的输出值和砝码对应的拉力数值，其中B栏数值的单位为N，如图2。

选C、D栏为放计算结果的区间，鼠标点击“插入”栏选择“插入函数”，弹出“插入函数”二级界面后，在“或选择类别”栏选择“统计”，在“选择函数栏”点击LINEST函数，如图3所示。

鼠标点击确定后进入如图4所示的界面，在Known_y’s栏输入A1∶A7，在Known_x’s栏输入B1∶B7，Const和Stats栏分别输入true。

按Ctrl+Shift+Enter键，便得到了最小二乘法求直线拟合后的数据，如图5所示。其中C1栏显示为斜率，即经最小二乘法拟合后的仪器的灵敏度b，b=3.015×10mV/N。C3栏为拟合的线性相关系数r=0.9994。

三、结语

通过以上的实例分析可知，在大学物理实验数据处理中，用传统方法求解一元线性回归方程的参数计算量大，容易出现错误，学生在处理数据时也易产生抵触心理。合理利用Excel软件中的LINEST函数进行数据处理，简单方便，不失为最小二乘法求直线拟合的一种好方法。

参考文献：

［1］杨述武.普通物理实验（2版）.北京：高等教育出版社，1993.3.

篇6

关键词 三角函数 最值 思维方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

Six Thinking Methods to Get the Most Value of Trigonometric Function

ZHANG Jianlu

（Yangquan Vocational Secondary School，Yangquan，Shanxi 045000）

Abstract Trigonometric function is an important function in Mathematics， it is closely linked with other mathematical knowledge， and there is often a wide range of applications in the study and research of other mathematical knowledge. In the study of trigonometric function， method for the best values of trigonometric function plays an important role. The correct thinking method in calculating the trigonometric function most value is meaningful to learn the knowledge of the trigonometric function.

Key words Trigonometric function； the most value； thinking method

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。三角函数是函数的一种重要的函数，三角函数的最值问题包括了对三角函数的概念、图像、性质及诱导公式、同角三角函数间基本关系式、两角和差以及倍角公式的考查，是函数思想的具体体现，有广泛的实际应用，一直是高考命题的热点。我们从以下六个方面举例介绍求三角函数的最值。

1 将已知函数转化为 = （ + ） + 的形式，其中“ ”表示“” “”等，再求已知函数的最值

求三角函数的最值问题的主要依据就是正弦、余弦函数的值域。求三角函数的最值时，常常通过恒等变换，使它转化为反含同名函数的各项。而恒等变换，一般要综合运用同角三角函数间的关系、和角、半角、半角的三角函数及和差化积、积化和差公式等转化为 = （ + ） + 的形式，只要能转化，问题就迎刃而解。

求 = + 的最值。

解： = （ + ）（ + ）

= （ + ）23 = 1

= 1 （1 ） = +

当 = （）时 = 1，当 = + （）时 = 。

2 应用平均值定理求最值

求函数 = （为锐角）的最大值。

解： = >0

= = 4·≤4（）3 =

当 = ，即 = 时， = 。

应用平均值定理求函数最值的基本思路就是建立不等式 （）≤或 （）≥，即通过分析将 （）放大或缩小成一个常数，这就是求最值的基本思维方法——放缩法，平均值定理是放缩法的一种极好手段。

3 应用二次函数判别式求最（极）值

求 = （，，其中为三角形内角）的最大值。

解：原函数化为 = [ ]

+ 2 = 0

= 8 ≥0 ≤≤

当 = 时， = = ，

所以当 = = 时， = 。

此题也可用放缩法解

= · ≤

= - （ ）2 + ≤。

注意在用放缩法时，等号必须成立。

4 应用函数的有界性

求 = 的值域。

解：由已知得：（） + （） = ——①

令 = ， =

①式化为 （ + ） =

∣∣≤

解得≤ - 或≥1，所求值域为（，- ]∪[1，）。

5 应用函数的单调性

已知 = + ， （0，），求的最小值。

解：令 = = ，则（0，）。 = + 。

6 利用数形结合

求函数 = 的最值。

图1

解：原函数变形为 = 这可看作点（）和（-2，0）的直线的斜率，而是单位圆 + = 1上的动点，由图1可知，过（-2，0）作圆的切线时，斜率有最值，由几何性质得 = ， = - 。

前面介绍了六种常见的求三角函数最值的思维方法，但在解题中并不固定于一种方法。如

求 = 的极值，用什么方法好呢？

解：

方法一：原式化为（） + - 4（）（）≥0 ≤≤8。显然≠，所以用 求出最小值。

方法二：用第一种方法化为 = （ + ） + 的形式，

原式化为 = + · = 0时， = 8。

当 = 1时， = 4。

篇7

一、 形如y=a sin x+b（或y=a cos x+b）函数的最值

这种类型的函数的最值求解可用三角函数的有界性。解这类三角函数的最值问题时首先要让学生知道最值都是在给定的区间上取得的，因而要特别注意题设中所给出的区间或是挖掘题中的隐含条件。

例题 函数y=k sin x+b的最大值为2，最小值为－4，求k，b的值。

分析：通过观察可以发现函数y=k sin x+b是由一次函数与正弦函数复合而成的，我们就可以根据正弦函数的有界性以及一次函数的单调性来求解，注意在解题的时候要对k进行合理分类讨论。

解： 若k>0，则当 sin x=1时，y max=2；

当 sin x=－1时，y min=－4

k+b=2，-k+b=-4， 解得k=3，b=-1

若k

当 sin x=1时，y min=－4

当 sin x=－1时，y max=2

-k+b=2，k+b=-4，

解得k=－3，b=-1

k=3，b=-1或k=－3，b=-1

［α，β］上有最大值f（α），最小值f（β）

二、形如y=a sin 2x+b sin x cos x+m cos 2x的函数型

这种类型的三解函数的特点是含有 sin x, cos x的二次式，解此类问题的最值思想是降幂，再化为y=a sin x+b cos x的形式来解。

例题 求函数y= sin2 x+2 sin x cos x+3 cos 2x的最小值、最大值。并写出函数y 取最值时的x的集合。

分析：此题引入辅助角φ，化为y=a2+b2 sin (x+φ)，利用| sin (x+φ)|≤1即可求解。

y= sin 2x+2 cos 2x+1= sin 2x+ cos 2x+2=2 sin 2x+ π 4+2

当 sin 2x+ π 4=-1时， 有y min=2-2

当 sin 2x+ π 4=1时，有y max=2+2

此时有2x+ π 4=2k π - π 2, x=k π -38 π (k∈z)

2x+ π 4=2k π + π 2, x=k π +38(k∈z)

故函数y取最小值2-2时x 的集合是{xx =k π -38 π , k∈z}

y取最大值2+2时x的集合是{xx=k π +38 π , k∈z}

三、形如y=a sin 2x+b sin x+c(或y= cos 2x+ cos x+c)的函数

这种类型的函数的最值求解策略是把 sin x,cos x看成一个整体或换元，然后转化成一元二次函数的值域问题。具体方法是应用 sin 2x+ cos 2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数后再求解，则使复杂问题简单化。

例3 求函数y= sin 2x+2 cos x-3的值域。

分析：此类题目可以转化为y= cos 2x+ cos +c型的三角函数的最值问题。可令t= sin x(或t= cos x)，|t|≤1化为闭区间上的二次函数的最值问题。

解：由于y= sin 2x+2 cos x-3

=1- cos 2x+2 cos x-3

=- cos 2x+2 cos x-2

令t= cos x，|t|≤1

则原式转化为：y=-t2+2t-2 |t|≤1

对上式配方得：y=-(t-1)2-1 |t|≤1

从而当t=-1时，y min=-5；当t=1时，y max=-1。

所求函数的值域为［－5，－1］。

四、 形如y=a sin x+bc sin x+d(或y=a cos x+bc cos x+d)的最值

解此类题型的基本思路是解出 sin x(或 cos x)，利用| sin x| ≤1(或| cos x|≤1)去解或利用分离常数的方法去求解。

例题 求函数y= cos 2 cos x+1的值域。

分析：由y= cos x2 cos x+1求出 cos x后，运用| cos x|≤1求出y的范围。

解：由y= cos x2 cos x+1可得(1-2y) cos x=yy≠12，

cos x=y1-2y | cos x|≤1 cos 2x≤1

即y1-2y2=y2(1-2y)2≤1，即3y2-4y+1≥0,y≤13或y≥1。

故函数y= cos x2 cos x+1的值域为-∞,13∪［1,+∞）

五、 形如y=a sin x+bc cos x+d(或y=a cos x+bc sin x+d)的最值

这种类型的函数简称“分式型”，特点是一个分式，分子、分母分别含有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种：一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成两点连线的斜率；三是利用万能公式转换，转化成一元函数的最值问题，其中斜率法相对比较简单。

例题 求函数y=2- sin x2- cos x的最大值和最小值。

解法1：应用三角函数的有界性。

原解析式即： sin x-y cos x=2-2y， 即 sin (x+φ)=2-2y1+y2，

| sin (x+φ)|≤1, |2-2y|1+y2≤1，解出y的范围即可。

解法2：应用数形结合法求解。

函数y=2- sin x2- cos x表示的是过点(2,2)与点( cos x,sin x)的斜率，而点( cos x,sin x)是单位圆上的动点，通过观察图形，故只须求此直线的斜率的最值即可。

解法3：应用万能公式换元求解。

设t=tgx2， 则y=

2t2-2t+23t2+1

，即(2-3y)t2-2t+2-y=0

根据 Δ ≥0解出y的最值即可。

六、 形如y= sin x+a sin x的函数型

解这类三角函数的最值，当a>1时，不能直接用均值不等式，往往是用函数在区间内的单调性来解决。

例题 已知x∈(0, π )，求函数y= sin x+2 sin x的最小值。

分析： 此题为 sin x+a sin x型三角函数求最值问题，当 sin x>0，a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。

篇8

关键词：最值问题； 数学教学； 举例

一、灵活应用不等式转换

例1.设 且 ，求 的最大值。

分析：注意到 不是定值，而条件 中无根号，因而想到去掉根号凑成 的形式。

一般的：当 且 ，则 的最大值是 （其中 都是常数）

此例可见灵活应用不等式并不是无目标的猜想，其要求我们不墨守陈规，化生疏为熟悉，在推理过程中做到严密正确。

二、合理使用配方法

例2.求函数 的最值。

在应用配方法前，注意隐含条件的思维方法，不可盲目使用导致最值的扩大或缩小，注意条件的严密性。

三、充分利用数形结合

例3.求函数 的最小值

① 选取坐标的科学严谨性

② 转化数学思维的灵活性

四、谨慎使用判别式法

例4.求函数 的最值

① 用判别式法求函数最值时，解 0中，其“>”与“=”有一个成立即可。故写出最值时，务必考虑到它的“极端”情况“=”能否成立。

② 由于函数到方程，中间将有个变形（不一定是恒等变形）过程，将原函数转化为关于 的二次方程，在解关于 的不等式。

③ 若忽视隐含条件就容易出错，故务必考虑到其函数本身的取值，应谨慎使用。

五、合理使用换元法

当已知函数的次数较高，则想方设法降次是必须解决的任务。所以应用换元将是一个有力的工具。

例5.求函数 的最值。

六、奇妙的增量代换法

例6.求函数 的最大值和最小值。

解：函数 的定义域是 。所以 是4与一个增量之和，且这个增量在 内取值。

当 时， 取得最大值2；

当 时， 其的最小值1。

利用增量代换法取得来解决和处理最值问题，是中学数学中的一种重要方法，可表现出奇妙的作用。

七、利用导数求最值

例7.一个容器，下半部是圆柱上半部是半球，且圆柱底面半径和半球的半径相等；设容器的表面积为s，问圆柱的高与底面半径之比为何值时，容器的容量最大？

解：设圆柱的高为h。底面半径为R，则

（1）

容器的容积 （2）

把（1）代入（2），整理得

令 ，即 解得 （舍去负值）。

经检验，这个R值能使V有最大值，代入（1）得

故当 时，容器容积最大。

八、应用函数求最值

例8.已知 所在平面内有一条直线 过其直角顶尖 ，且 在直线的同一侧，求 以 为轴旋转所得旋转体的最大体积。

解：所得旋转体的体积等于一个圆台的体积减去一个小圆锥和一个大圆锥的体积，分别通过A.B做 的垂线，垂足为D.E，设圆台上、下底面半径分别为 ，大、小圆锥的高分别为 ，设 ，则

故所得旋转体的体积为

上两例，不管用导数还是有界函数求最值，都选择了某一几何量作为自变量，建立函数解析式。这是求最值问题的一种有效方法。

九、以市场经济为背景

例9.某旅行社在某地组织旅游团到北京参观，共需6天，每人往返机票、食宿费、参观门票等费用共需3200元，如果每人收费标准为4600元。则只有20人参加旅游团；高于4600元时，没有人参加，如果每人收费标准从4600元降低100元，参加旅游团人数就增加10人；试问：每人收费标准定为多少时，该旅行社所获得利润最大？

（职高教材基础版第一册P137第32题）

解这类营销应用问题需理解有关名词的含义，如“利润=销售价-成本价”，掌握有关函数及计算方法：

解：设每人收费标准为 元 ，则收费标准下降了4600- 元，旅游团人数增加了 人，根据题意得利润 （元）与收费标准 （元）的函数关系式：

整理得：

当 =4000元时， =6400元

答：当收费标准定为4000元时，该旅行社所获得利润最大，最大利润为6400元。

综上各例，无论用哪种方法求最值，奇妙的规律性是解决最值问题的关键；我们在教学中应积极培养学生的洞察能力来处理不同题型，才能进一步提高数学教学的质量。

参考文献

[1] 苏居宁.《立体几何中的最值问题》《中学数学研究》1996-8

[2] 邱志明.《关于函数最值问题的教学》.《中学数学研究》2003-10

[3] 邱润发.《用函数解决市场经济的最值问题》.《数学通讯》2005-2

篇9

函数f（x）在区间I上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。

最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。

（1）代数法。代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。

①判别法：判别式法是等式与不等式联系的重要桥梁，若能在解多元函数最值过程中巧妙地运用，就能给人一种简单明快、耳目一新的感觉。而应用判别式的核心在于能否合理地构造二次方程或二次函数，还需注意是否能取等号。若函数可化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0时，由于x，y为实数，必须有：=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范围确定函数最值。

②配方法：配方法多使用于二次函数中，通过变量代换，能变为关于t（x）的二次函数形式，函数可先配方成为f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根据二次函数的性质确定其最值（此类题的解法关键在于用“配方法”将二次函数一般式化为顶点式，同时要考虑顶点的横坐标的值是否落在定义域内，若不在定义域内则需考虑函数的单调性）。

③不等式法：均值不等式求最值，必须符合“一正、二定、三相”这三个必要条件，因此当其中一些条件不满足时应考虑通过恰当的恒等变形，使这些条件得以满足“和定积最大，积定和最小”，特别是其等号成立的条件。（在满足基本不等式的条件下，如果变量的和为定值，则积有最大值；变量的积为定值，则和有最小值。本例中计算的目的，是利用隐含在条件之中的和为定值，当然这里还需要利用系数的凑合才能达到目的，具有一定技巧）

④换元法：换元法又叫变量替换法，即把某个部分看成一个式子，并用一个字母代替，于是使原式变得简化，使解题过程更简捷（在利用三角换元法求解问题时，关键还是要在掌握好三角函数常用关系式的基础上，结合所求解的函数式，慎重使用）。

（2）数形结合法。数形结合法是数学中的一种重要的思想方法，即考虑函数的几何意义，结合几何背景，把代数问题转化为几何问题，解法往往显得直观、简捷。通过数与形之间的对应和转化来解题，有许多的优越性。将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，借助几何图形活跃解题思路，使解题过程简化。有时函数最值也借助数形结合方法来求解。

①解析式：解析法是观察函数的解析式，结合函数相关的性质，求解函数最值的方法。

②函数性质法：函数性质法主要是讨论利用已学函数的性质，如函数的单调性求函数最值等。

③构造复数法：构造复数法是在已经学习复数章节的基础上，把所求结论与复数的相关知识联系起来，充分利用复数的性质来进行求解。

④求导法（微分法）：导数是高中现行教材新增加的内容，求导法求函数最值是应用高等数学的知识解决初等问题，可以解决一类高次函数的最值问题。找闭区间[a，b]上连续的函数f（x）的最大（或最小）值时，将不可导点、稳定点及a，b处的函数值作比较，最大（或最小）者即为最大（或最小）值。

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【关键词】数学 最值

最值问题是中学数学中的一个重要内容，其题型较多，解法也因题而异，面对此类问题，学生往往无从下手。那么，怎样利用我们学过的有关知识，将此类问题化难为易，让学生能够轻松掌握呢？结合本人的教学经验，下面我谈一点儿自己的体会。

一.利用单调性求函数的最值。

当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。

若函数在整个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取得最大值或最小值。

分析：由于参数的存在，a的取值不同，函数的增减性也不一样，所以先对a值分类确定最值。

二、利用配方法求最值。

配方法是求解函数最值问题的基本方法之一。 在实际解题中有着广泛的应用。主要适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

三、利用判别式法求最值。

四、利用换元法求函数的最值。

1、形如y=f（x）+ 型的函数求最值，考虑到平方形变时f（x）的取值可能会扩大产生增值，所以常采用代数换元法求解，但要注意引入中间变量的取值范围。

例4、已知f（x）的值域是[ ， ]，求函数y=f（x）+ 的最值。

分析：以t= 代换研究，f（x）可化成关于t的二次函数，利用二次函数求最值的方法进行求解。

五、利用不等式法求最值。

利用定和（积）求积（和）的最大（小）值原理，求函数的最值问题，是学生必须掌握的技能和方法之一，利用不等式求最值，必须掌握（1）所给的几个变数必须是正变数，（2）这几个正变数的和或积必须为常数，（3）当且仅当几个正变数均相等时取最值，即“一正二定三相等”，无论与哪一条相悖都会出现矛盾的结果。

例5、已知x>0，求y=x + 的最小值。

分析：x>0满足第一条，其次要转化为积为定值， 分解为 + ，第三考虑到等号成立的条件， 分解成 + 。

六、利用反函数法求最值。

若函数的解析式中存在 e 、x 、sinx或cosx的独立变量时，常求出函数的反函数的解析式，然后再利用e >0，x ≥0，|sinx|≤1、|cosx|≤1求y的最值。

例6、求函数y= 的最值。

七、利用复数的模的性质求最值。

有关复数问题和可化为复数表示的函数求最值时，常借助于||z |-|z ||≤|z z |≤|z |+|z |，但要注意到等号成立的条件，以确保最值存在的可能性。

例7、已知|z|=1，求u=|z+ +i|的最值。

以上是本人的一点拙见，目的只想在茫茫题海中，帮助学生总结规律，掌握类型，提高分析问题和解决问题的能力。

【参考文献】

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关键词： 最值；综合性；灵活性；发散思维

中图分类号： G427 文献标识码： A 文章编号： 1992-7711（2013）22-091-1

函数最值定义：函数最值：一般地，设函数的定义域为A.若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，有f（x0）≥f（x）恒成立，则称f（x0）为函数f（x）的最大值，记为f（x）max=f（x0）；若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，有f（x0）≤f（x）恒成立，则称f（x0）为函数f（x）的最小值，记为f（x）min=f（x0）.

分式三角函数最值求解方法很多，现主要归纳为以下几点：1.拆项观察；2.反解法；3.数形结合法；4.应用函数单调性求解法.如何求函数y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

一、拆项观察法

分析 可将原式化为整式和分式两部分，其中分式部分：分子是常数、分母是关于变量sinx的多项式.

解 在原函数仅含有变量sinx，于是原函数可进行如下整理：

y= sinx-2 2sinx+3 = 1 2 （2sinx+3）- 7 2 2sinx+3 = 1 2 - 7 4sinx+6 .

又由-1≤sinx≤1知2≤4sinx+6≤10，

于是有- 7 2 ≤- 7 4sinx+6 ≤- 7 10 ，

所以 -3≤y≤- 1 5 .

因此 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

二、反解法（三角函数有界性）

对于求形如y= ct+d at+b （其中t为三角函数）分式最值问题，可用反解法，即把原分式y= ct+d at+b 整理成t=- by-d ay-c ，然后由t的有界性得出y的取值范围.

例2 求y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

解 用反解法，由y= sinx-2 2sinx+3 得y・（2sinx+3）=sinx-2，

可整理为 sinx= -3y-2 2y-1 ，

由|sinx|≤1知 -3y-2 2y-1 ≤1，

易解得 -3≤y≤- 1 5 .所以 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

三、数形结合法（斜率与两点之间的距离有两种情形）

数形结合法即将代数问题转化为几何问题来处理.根据所给表达式的特点，在坐标平面上考虑各种曲线间的关系，以获得该三角函数问题的最值.

例3 y= sinx-3 cosx-2 的最值.

解 设P（cosx，sinx），Q（2，3）即y是直线PQ的斜率的取值范围点P的轨迹是圆a2+b2=1，即求圆上点与Q点连线斜率最值.由图知当PQ与圆相切时，斜率取得最值.

设PQ的方程为y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0.

由相切条件得原点到直线的距离等于1得

|3-2k| 1+k2 =1，即k= 6±2 3 3 .

因此

ymin= 6-2 3 3 ，ymax= 6+2 3 3 .

注 此题中点P的轨迹，若是直线又如何呢？例8将为你介绍.

四、应用函数单调性求解法

例4 求f（x）= x+sinx 2+cosx （0≤x≤ π 2 ）的最值.

分析 可先证明f（x）在[0， π 2 ]上是单调增函数.

解 设x1，x2∈[0， π 2 ]，且x1

f（x1）-f（x2）= x1+sinx1 2+cosx1 - x2+sinx2 2+cosx2 =

2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+x1cosx2-x2cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

< 2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+（x1-x2）cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

所以

f（x1）

因此f（x）min=f（0）=0，f（x）max=f（ π 2 ）= π+2 4 .

注 此种解法仅实用于函数在给定区间是单调函数.

以上探讨了多种求分式三角函数最值的方法，由于三角函数最值问题题目类型的多样性，在求此类问题时，我们会发现其中许多题型的解法并不唯一，一题可能有多种方法求解.诸多方法也并非是独立的，解一道题目可能会应用多种方法，才能最终解出最值.并且在求解的过程中，我们要学会进行转化的思想.也许所给题型不是以上列举的类型，但是我们需要判断是否能够转化为已知类型的问题来求解，这就需要我们有一定的转化变换技巧和思想.因此，在解此类问题时不仅要灵活运用三角变换的方法和技巧，还要充分注意代数知识和几何知识的运用，以提高解决此类问题的能力.

[参考文献]

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关键词：最值问题；三角函数；解法总结；系统分析

一、三角函数最值问题的题型归纳及解法策略

在现阶段中学数学三角函数最值问题中，题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下6种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。

1.y=asinx+bcosx型的函数

这样的函数是我们经常遇到的，对于这样的题型处理思想应该引入辅助角，化为y=sin（x+），利用函数即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化为此类，下面介绍一道实例来体会感受其中的方法。

例1 已知函数f（x）=2cosxsin（x+）-sin2x+sinxcosx

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的值；

（3）若当x∈[，]时，f（x）的反函数为f-1（x），求f--1（1）的值.

从上面这道例题可以清晰地看出，这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方

法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin（）” 的形式，将异名三角比化归成同名三角比。同时，也应对自变量的取值范围要仔细地考察。

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数

这样的函数题型看上去很长，也很复杂，但是其中有一定的规律，通过下面这样一个实例，你会发现它其中的玄机。处理方式是降幂，再化为“Asin（）”的形式来解。

例2 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。

3.y=asin2x+bcosx+c型的函数

在三角函数的题型中，这题型是比较常见的，经常和其它函数一起应用，特别是出现在“存在”问题中，对于这类题型的处理方式是应用sin2x+cos2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。下面通过一道例题来体会这方法。

例3 是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a・cosx+a-在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.

分析：

这道题就是利用在闭区间上求二次函数最值的方法，只是其自变量变为cosx。值得注意的是在运用这个方法前，首先要将引用三角比之间的转换使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比视为二次函数的自变量。在题目条件没有给你限制条件时，任何一种那个情况都应该作分类讨论，当然要结合已有的法则和三角函数相关的公式，及三角函数隐藏的条件，这样才能做到解题全面。

综合上述知，存在符合题设。

4. y=型的函数

这是一个分数形式的求三角函数最值的题型，往往出现在需要转化思想的综合题目中，下面介绍这个例题，让同学有直观感觉。

例4求函数y=的最大值和最小值。

对于这一类题型，分子、分母只有常数项不同的三角函数式，便可以在分子中添置辅助项后，通过恒等变形把它化成只有分母含有自变量的三角函数式，只需研究分母的最值，就能求出原函数的最值。在这样的变形中若遇到要把分子“翻下去”作为繁分式分母一部分时，这个“翻下去”的式子不能为零，如果这个式子可能为零，则应将为零的情况另作处理。“设其不为零的”情况下继续解下去，最后把各种情况下求得的值综合起来考虑最值。

5.y=sinxcos2x型的函数

这样的三角函数题型有一定的难度，并且有的题目角和函数很难统一，还会出现次数太高的问题，这是关于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。在高中数学中涉及三次函数的最值问题，几乎都用均值不等式来求解。但需要注意是否符合应用的条件及等号是否能取得。下面介绍一个实例来体会均值不等式的方法。

例5 在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k・，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式

在这样混合的函数式中，也是经常会遇到的，对于含有sinx±cosx，sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t，，将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。通过下面这个例题了解这样的方法。

例6 求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

例7 求函数y=cos（sinx）的值域

结合如图1 所示：y=cos（sinx）的图像，知cos1=cos（-1）

例8 如图2：ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值。

解：如图2，连结AP，设，延长RP交AB于M，

则，，故矩形PQCR的面积

设，

，故当时，

当时，

例9 如图3所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心O高度相同）时开始计时，

（1） 求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；

（2） 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米。

解：（1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为，所以t秒时，Q点的纵坐标为，故在t秒时此人相对于地面的高度为（米）

（2）令，则

Fig 2-4 Example 9 here

二、对三角函数最值问题的小结

1.求三角函数最值的常用方法有：

（1）配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；

（2）化同角函数法（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；

（3）数形结合法（常用到直线的斜率关系）；

（4）换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；

（5）基本不等式法等（主要遇到三次式之类的情如运用均值不等式等）；

（6）降幂法（主要利用三角函数的基本公式和定义）。

2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设所给出的区间：

（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性。

（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响。

（3）在涉及到综合实际生产并运用基本不等式法解最值问题时，需要注意所得结果是否符合实际情况及等号是否取得到。

3.如“表1求解三角函数最值的常用方法”是个人对以上题型及解法的总结。

表1 求解三角函数最值的常用方法

参考文献：

[1]赵钰林.素质教育新教案数学[M].北京：西苑出版社，2004.

[2]曹晓春.三角函数的最值问题[N].数学学习与研究，2007（10）.

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关键词：高考数学； 最值问题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2012）12-029-001

一、最值问题是中学数学中的热点问题

在科学领域里，实践生活中，我们常会碰到一些事件的范围问题，也就是事件的最值问题。通过建立适当的数学模型，它们一般可归结为变量或函数的最大值和最小值问题，在中学数学教材中这类问题占了很大的比重。在最值问题的教学过程中，对学生解题能力的培养很大程度上通过例题，习题的讲解和练习来体现，因此对于解题教学及训练过程中落实“问题解决”思想也就成了课堂教学改革的一个众人关注的课题。

二、求解函数最值问题的配方法

在函数最值问题的学习过程中，一般来说求解最值问题的基本方法有：配方法

二、应用题中的最值问题

实际生活中有许多问题需要求最大值与最小值，这一类问题占有很大的比重，它要涉及到商品利润、建筑物的设置、资源配置、产品设计、环境美化等。解决这类问题关键是将实际问题中的数量关系转化为数学问题，建立数学模型，然后利用函数、不等式、方程等知识求出最值，这类题型常见求解策略如下：

利用函数的性质求最值

三、小结

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一、求曲线上某点的切线方程

求切线方程是解决曲线切线问题的基础，因此我们必须准确理解导数的几何意义，并牢固掌握求导法则.求曲线上某点的切线方程又可以分两类：⑴此点为切点，这就意味着不用再求出切点，可以直接求切线方程了；⑵求过某点的切线方程，点在曲线上，这类问题就要求我们注意了，此点是否为切点还要我们验证才知道，如果我们一开始就认定此点为切点，那就很容易出错了.此点为切点的题目我们见得多了，但也很可能出现在曲线上的点却不是切点，这就要求我们先判断再解题了.

例1.曲线上点，求过点的切线方程.

分析：点在已知曲线上，本题要求的是过点的切线方程，但点不一定是切点，故我们解题时要先求出切点坐标.

解设切点坐标为，则 ，

则处的切线方程是 .

该切线过点，

化简得：，

解得： 或，

过点的切线的斜率是 或 ，

过点的切线方程为：

或.

即所求的切线方程是： 或 .

评注：我们做这类题型时往往会把点作为唯一一个切点，这样的话我们就只求出点处的切线，而漏解另外一条切线.从本题求解过程我们不难悟出求切点坐标的方法，这很重要，要记住.

应用导数求切线方程的一般步骤：

（1）设切点.

（2）求.

（3）写出切线方程：.

2.在解析几何中求最值

在解析几何中的最值问题一般是求两条曲线之间的最短距离，在高考中常出现的类型是求一条抛物线（或双曲线）到一条直线的最短距离，这类题的解题步骤一般为：先求出与直线平行的抛物线（或双曲线）的切线的切点坐标，然后由点到线的距离公式得出所求的距离.

例2 求抛物线的点到直线的最短距离.

解设与直线平行的抛物线的切线的切点坐标为，

则，

， 因此，切点坐标为，

切点到直线的距离为，且 .

所以抛物线上点到直线的最短距离为.

评注：求抛物线上的点到直线的最短距离，应先求出与直线平行的抛物线的切线的切点坐标，再求出该切点到直线的距离就是所求的最短距离了.

3.求函数的解析式

例3. 已知函数的图像过点，且不等式对于一切实数都成立，求的解析式.

分析：由所给不等式的几何意义知，抛物线夹在直线与抛物线之间，而直线与抛物线只有唯一公共点，故知直线与抛物线、相切于同一个点，此为解题的关键.

解的图像过点，

①

，则

②

由①、②解得：，

则有.

则有.

设、、，

我们可以知道的图像夹在与之间，又与的图像有且只有一个公共点，故直线与抛物线、切于同一点.

而，即

，，.

所以所求函数为：.

评注：函数的解析式往往要结合该函数的图像特点来解决，而应用导数来解函数的解析式也可以使问题简化.上面的例题用函数的图像特点可以解出、的值，而要解出值就要对所求函数进行求导，再把切点的坐标代入就可以求出值了，进而可以求出函数的解析式.

4.解与函数图像特征有关的问题

例4.设函数的图像为，函数的图像为，已知在与的一个交点的切线相互垂直.

（1）求，之间的关系；

（2）若，，求的最大值.

解（1）对于：，有

对于：，有

设与的一个交点为.

由题意知过交点的两条切线互相垂直，

，

即 ①

又点在与上，故有

，

所以②

由①、②消去，可得

（2）由于，且

当且仅当时取等号，故的最大值为.

评注：本题以函数图像为背景考查导数的几何意义和语言转化能力，而应用导数的几何意义是解决这类问题的关键.

不管是求函数的解析式还是解与函数图像特征有关的问题，这往往要观察函数图像的特征，结合导数的几何意义解题，这样会使解题过程变得简便.

5.求含参数的函数的单调性

有时在求函数的单调性时，常常搭配几个参数来增加题目的难度，像这类型的题通常需要对参数经分类讨论求函数的单调性.

例5.已知，求函数的单调区间.

解

（1）当时

若，则；若，则 ，

所以当时，函数在区间内为减函数，

函数在区间内为增函数.

（2）当时

由，解得或，

由，解得 ，

所以，当时，函数在区间内为增函数，在区间内为减函数.

（3）当时

由，解得

由，解得或，

所以当时，函数在区间内为增函数，

函数在区间内为减函数.

评注：不管是求不含参数的函数的单调性还是求含参数的单调性，都要先对所求函数进行求导，通过对所求导数的大于零（或小于零）的值来判断所求函数的单调性，而在求含参数的函数的单调性时就要对参数进行分类讨论后再判断.

6. 求函数极值

例6. 求函数的极值.

解，

令，解得，，，

当变化时，，的变化情况如下表:

所以，当时，有极大值，，

当时，有极小值，.

评注：求函数的最值重要的是先求出的值，然后根据在定义域中的变化，、随着的变化情况再判断函数的极大值和极小值.

7.求函数最值

例3.4求函数在区间上的最大值与最小值.

解，

令，有 解得

，，

当变化时，，的变化情况如下表：

从上表可知，最大值是17，最小值是8.

评注：函数的最值要求与函数的极值区分，函数的最值不一定是极值，函数的极值也不一定是最值，求函数的最值要求在极值和端点中比较，最大的值才是最大值，而最小的值就是最小值.函数的最值是在求出函数极值的基础上再与函数的端点值的比较后再得出所求的最大值（或最小值）.

8.求数列的最大（小）项

用导数求函数的最值应先求出函数极值再判断，而求数列最大（小）项，我们可以作辅助函数，通过判断辅助函数的单调性再得出数列的最大（小）项.

例8.已知数列｛｝是通项是，求数列｛｝的最大项.

解作辅助函数 ，

则

令解得：

令解得： 或

在区间上是增函数，在区间上是减函数.

在区间内，

当时，函数取到最大值.

对，

，

即数列｛｝的最大项是3，且.