函数最值的应用精选(五篇)

序言：作为思想的载体和知识的探索者，写作是一种独特的艺术，我们为您准备了不同风格的5篇函数最值的应用，期待它们能激发您的灵感。

篇1

一、三角函数最值

1.构造复数法

根据所给函数表达式的特点，把它与复数联系起来，再通过复数的性质来确定最值。如复数a+bi的模为■，若函数表达式中一些项形如■时可考虑构造相关复数。某些三角函数式实质上可以看成几个复数的模的和或差，因此，求这样的式子的最值可以转化为求复数的模的最值问题。根据三角问题的条件、结构，找出与复数知识的沟通点，明确解题方向，然后利用复数的模，将题设对照复数模的形式，结合模的性质构造复数。

例1：求函数f（x）=■+■的最值。

解：原函数可改写为：

f（x）=■+■，

显然当sinx=-1时，f（x）max=■+■，

下面求其最小值，可构造两个复数：z1=（1-2sinx）+2i，z2=2sinx+i，

则f（x）=|z1|+|z2|；|z1+z2|=|1+3i|=■，

由不等式|z1|+|z2|≥|z1+z2|=■当且仅当■=■时取等号，即当sinx=■时，f（x）min=■。

2.利用立体几何图形法

根据约束条件和所求量的几何意义构造几何模型，再通过图象来确定最值。

有些三角函数问题蕴含着丰富的几何直观性，若能“以数思形”，进行“数形联想”，就可以通过构造图形并研究图形的几何性质来达到求最值的目的。给出函数表达式求最值时，应该考查表达式和约束条件有什么几何意义，把代数条件及函数表达式分别做出几何解释，为题中所给定的代数值选取适当的几何量，根据题意来设计图形的大小和位置关系，通过几何学构造图形，使题目图形化，借助于图形的直观性来揭示函数的最值。此外，这种化抽象为具体、数形渗透的做法，往往还可以减少复杂的推导。

例2：若α、β、γ均为锐角，满足sin2α+sin2β+sin2γ=1，求y=cotαcotβcotγ的最小值。

分析：sin2α+sin2β+sin2γ=1可构成一条对角线为1的长方体，将已知函数转化为立体几何图形上。

解：如右图，设长方体AC1的对角线B1D=1，∠BB1D=α，∠A1B1D=β，∠C1B1D=γ。

则有sin2α+sin2β+sin2γ=1。

设长方体的三边长为a、b、c，则

y=cotαcotβcotγ

=■■■

≥■=2■，

即ymin=2■。

二、总结

在新课程标准下更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。因此，数学教学应该将课堂与生活紧密联系起来，体现数学来源于生活、寓于生活、用于生活，引导学生把数学知识运用到学生的生活实际中去体验感受，使学生充分认识到数学既来源于生活，又是解决生活问题的基本工具，达到数学课堂教学生活化的目的。

参考文献：

1.赵裕民.用数学思想方法探求三角函数的最值例谈.数学通讯，1996.9：11-13.

2.刘艳玲.求函数最值的初等方法.菏泽师专学院，1999（21）：98-100.

篇2

三角函数的最值问题是三角函数性质的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具.因此，对三角函数最值的考查总是每年高考的一个热点，题型有客观题和主观题，多数处在高考试卷解答题中的中档题位置，也具有一定的灵活性和综合性. 

 

重点难点

求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类型的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法来处理；还可以通过数形结合利用三角函数的图象或其他几何意义求解.

 

重点：明确三角函数的最值的常见类型和处理方法，能运用转化思想，通过变形、换元等方法熟练地求解三角函数的值域和最值.

难点：三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的角的取值范围，还要注意弦函数的有界性. 含参数三角函数的最值的分类讨论也是一个难点.

 

方法突破

三角函数的值域或最值的考查，一般有两种形式：一种是化为一个角的三角函数的形式，如y=asin（ωx+φ）+k，要注意角的取值范围的考虑；另一种是转化为以某一三角函数为未知数的常见函数问题，如y=f（sinx），要注意数形结合思想的应用. 具体类型有：

篇3

关键词：均值不等式 函数 最值 应用

均值不等式是高中数学不等式中的重要内容，均值不等式在求函数最值、解决一些取值范围问题时运用非常广泛，是历年高考考查的重要知识点之一。在实际应用时，我们应因题而宜地进行变换，并注意等号成立的条件，达到解题的目的，变换题目所给函数的形式，利用熟悉知识求解是常用的解题技巧，熟练运用该技巧，对于提高思维的灵活性和严密性大有益处。

一、运用均值不等式时应注意事项

在解决这一类型的题时需要特别注意的是等号成立的条件，特别是遇到一些函数本身就有取值限制范围时，需要根据函数合理存在的限制取值范围再求函数的最值。

二、把所给函数巧妙转化成均值不等式后求最值

这是一种比较难掌握的方法，因此运用此法需要具有扎实的基础知识，敏锐的观察力。下面举两个例子对此法加以介绍。

欲灵活应用此法，需要多练习，并在解题的过程中体会总结规律，达到孰能生巧，总之，遇到此类型的题，最重要的是需配出相应的形式。

三、结语

以上通过几个实例简单介绍了利用均值不等式求最值问题需要注意的一些事项，但对于具体题目，有时可能有多种解题方法，究竟如何求出函数合理的最值，还需要我们在教和学的实践中不断探索和总结。

参考文献：

[1]王影.求函数值域的几种常用方法.解题技巧与方法，2010.

[2]蔓，孙锰.妙用均值不等式求多元函数的最值.高中数学教与学，2010，（4）.

[3]魏福军.用均值不等式求最值须注意的几点.中学生数学，2003，（1）.

[4]徐丽聘.利用均值不等式求最值.求实篇――学习方法总结，2009，（9）.

[5]刘新良，李庆社.十二种求函数值域的常用方法.高中生，2006，（18）.

[6]高飞，朱传桥.巧用均值不等式球最值.高中数学教与学，2007，（5）.

篇4

误区一：二次函数的顶点纵坐标为最大值

在二次函数的实际应用中，二次函数的顶点纵坐标并不一定为最大值，我们应具体问题具体分析，如下题：

例1.如下图，某鸡场要建一个矩形的养鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙，（墙长20米），另三边用木栏围成，木栏长100米，设AB=x米，矩形的面积为S平方米，那么x为多少时，S的值最大？

错解：AB=x BC=100-2x

S=AB・BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

a=-2

当x=25时，Smax=1250

正确解答：

AB=x BC=100-2x

S=AB・BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由题意可得：0

解得：40≤x

a=-225

S随x的增大而减小

当x=40时，Smax=-2（40-25）2+1250=800

点评：很多学生在学习中经常犯这样的错误，他们认为利用二次函数求最大值，只要求出二次函数表达式，并将之化为顶点式，顶点纵坐标即为最大值，而没有考虑自变量的取值范围，此题中的顶点就不在自变量范围内，因此最大面积就不会取到1250，又由于自变量x的范围全部在对称轴x=25左侧，根据二次函数的增减性，我们可知当x=40时，S会有最大值。

误区二：二次函数开口向上没有最大值

例2.根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示，种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）。（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？

图（1） 图（2）

解：（1）设y1=kx（x≥0），设y2=ax2（x≥0）则由题意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 y1=2x，y2=0.5x2

（2）设这位专业户种植树木和花卉能获得的利润为w万元，其中投资x万元种植树木，则投资（8-x）万元种植花卉，由题意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 a=0.5>0，当x=2时，wmin=140≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，当0≤x≤2时，w随x的增大而减小，当x=0时，wmax=（0-2）2+14=16当2≤x≤8时，w随x的增大而增大，当x=8时，wmax=（8-2）2+14=32 32>12，这位专业户能获得的最大利润是32万元。

点评：此题第（2）问，很多学生会说a=0.5，二次函数开口向上，应该没有最大值，其实不然，本题中自变量x的取值范围是0≤x≤8，在二次函数w=0.5（x-2）2+14对称轴x=2左侧（即当0≤x≤2时），由于w随x的增大而减小，故当x=0时，w有最大值16；在对称轴x=2右侧（即当2≤x≤8时），w随x的增大而增大，当x=8时，w有最大值32，通过比较16与32，我们得出最大值为32，此时自变量x=8。

总述：

篇5

关键词： 最小二乘法 直线拟合 LINEST函数 应用

一、最小二乘法求直线拟合的原理

在大学物理实验中，有不少直接从实验的数据求某种物理规律的经验方程即函数关系的问题，此类问题称为方程的回归问题。方程的回归的首要问题就是确定函数形式，两个物理量x、y之间存在：y=a+bx（1）的线性关系，如用自由下落物体测量重力加速度，在气垫导轨上验证牛顿第二定律，用拉脱法测量液体表面张力系数实验中力敏传感器的定标，等等，（1）式中a、b均为常数，且只有一个变量x，此类关系也称为一元线性回归。回归的问题可以认为是用实验数据来确定方程中的待定常数，即求解参数a、b。例如实验测得的数据是x=x，x，…，x时，与之对应的y=y，y，…，y。假设x的误差可以忽略，仅y具有相互独立满足正态分布的测量误差，记作d，d，…，d。这样，把实验数据代入（1）式中，有：y=a+bx+dy=a+bx+d……y=a+bx+d（2），此方程由于未知数比方程数多，故不能直接求解，要想得到合理的a、b值，就要根据最小二乘原理，使y的残差平方和RSS=?蒡（y-（a+bx））（3）为极小值。由=0和=0，分别可得?蒡（y-（a+bx））=0（4）和?蒡（y-（a+bx））x=0（5），联立上式可得：a=（6），b=（7），进一步可得x和y的相关系数r：r==（8）。

二、LINEST函数的应用举例

拉脱法测量液体表面张力系数实验是大学物理实验中的一个经典实验。随着实验仪器的更新，传统的焦利氏称逐渐作简便准确度更高的FD-NST-Ⅰ型液体表面张力系数测定仪所取代，实验仪器如图1所示。

在该实验中，记下吊环即将拉断液柱前一瞬间数字电压表读数值，拉断时瞬间数字电压表读数U，便可依据公式f=（U-U）/b（9）测得液体表面张力f，（9）式中b为硅压阻力敏传感器的灵敏度。在力敏传感器上分别加各种质量的砝码，测出相应的电压输出值，结果见表1所示。

力敏传感器为测力装置，在拉力小于0.098N时，拉力和数字电压表的输出值成y=a+bx的线性关系，其中b为力敏传感器的灵敏度。得到b值的过程我们称为力敏传感器的定标。在定标过程中需要用最小二乘法拟合仪器的灵敏度b，该计算很繁琐，但根据误差理论此方法最佳，我们可利用Excel软件中的LINEST函数进行数据处理，方便简洁不易出现错误。

打开Excel软件，在A栏和B栏分别输入数字电压表的输出值和砝码对应的拉力数值，其中B栏数值的单位为N，如图2。

选C、D栏为放计算结果的区间，鼠标点击“插入”栏选择“插入函数”，弹出“插入函数”二级界面后，在“或选择类别”栏选择“统计”，在“选择函数栏”点击LINEST函数，如图3所示。

鼠标点击确定后进入如图4所示的界面，在Known_y’s栏输入A1∶A7，在Known_x’s栏输入B1∶B7，Const和Stats栏分别输入true。

按Ctrl+Shift+Enter键，便得到了最小二乘法求直线拟合后的数据，如图5所示。其中C1栏显示为斜率，即经最小二乘法拟合后的仪器的灵敏度b，b=3.015×10mV/N。C3栏为拟合的线性相关系数r=0.9994。

三、结语

通过以上的实例分析可知，在大学物理实验数据处理中，用传统方法求解一元线性回归方程的参数计算量大，容易出现错误，学生在处理数据时也易产生抵触心理。合理利用Excel软件中的LINEST函数进行数据处理，简单方便，不失为最小二乘法求直线拟合的一种好方法。

参考文献：

［1］杨述武.普通物理实验（2版）.北京：高等教育出版社，1993.3.