初中数学重点难点精选(十四篇)

序言：作为思想的载体和知识的探索者，写作是一种独特的艺术，我们为您准备了不同风格的14篇初中数学重点难点，期待它们能激发您的灵感。

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关键词：初中数学；思维导图；能力培养

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）01-0107-02

DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.01.066

初中数学主要包括数与代数、空间与图形、统计与概率三大部分，其中代数和几何占绝大部分，内容涉及较多的概念、定义、定理、公式等，既抽象又庞杂，相对小学数学教学来说难度大幅提升。这就需要学生概念清晰、思路明了，能够举一反三、融会贯通。新课改要求：初中数学教学课堂要变为提升学生能力的平台，不仅要培养学生掌握基础知识，还要培养学生分析问题和解决问题的能力，能够将数学知识转变为数学技能[1]。在新课改指引下，我们积极开展了相关教学改革，其中的一个方法是引入“思维导图”，将思维导图运用于初中数学教学，解决数学教学实践中的重点难点。

思维导图（Mind Map）由英国心理学家托尼・巴赞于20世纪70年代提出，是一个从中心散发出来的自然结构，利用色彩、线条、标记、词汇和图象，把一长串枯燥的信息变成彩色的、容易记忆的、高度组织的图，是一种与我们大脑处理事务的自然方式相吻合的思维工具[2，3]。思维导图从一种笔记方法，逐渐应用于提高记忆力，再发展到引发创造性思维。目前，思维导图已成功运用到教学实践当中。我们也借鉴其成功教学的经验，将其用于解决初中数学教学中的难点问题。

教学实践中，我们发现教学难点集中在学生分析问题、解决问题的综合能力培养方面。一般而言，对于独立章节的概念、公式、定理等，学生基本能够掌握，基础习题也能够有质量的完成。但是，学生综合解决问题的能力就相对较差，知识点不能搬家，分章节的内容不能融会，前后不能贯通，思路不能有效展开，遇到“带有转弯”的难题，思维较为局限，思考不出解决办法。教学过程中，我们运用了思维导图，有针对性地帮助学生提高综合分析并解决问题的能力。

首先，用思维导图串联基础知识点。即让学生将不同章节的独立知识点，用思维导图呈现出来。先从小范围开始，做三角形相关的串联，做圆相关的串联，做平方计算相关的串联，等等。小范围的思维导图重点训练学生掌握思维导图的制作要点，分清主次，设计主干、分支，逐步分层展开，并注意可能的交叉点。教师可以让学生分成小组，彼此帮助，相互讨论，相互学习。在掌握了思维导图制作的关键和技巧之后，教师再让学生试着把相关内容联系起来，做一个较大范围的思维导图。比如把三角形和圆合并起来，把平方和开方合并起来等，这样做成的思维导图，知识点一目了然，公式、定理有序地联系起来，不同章节的内容有效地贯穿融会。学生拿着自己做成的总结图，能够逐步建立起综合性思维，在思维导图的分支和层次中，分析问题的思路非常清晰，能够找到解决问题的有效方法。

其次，用思维导图归类题型。掌握不同的题型，是有效分析解决问题的方法之一。用思维导图对不同题型加以归类，能够有效提高对各种题型的熟悉程度。比如关于“三角形”的题目，可以分为求证角和角的关系、线段和线段的关系、角和线的关系等；比如整式的乘法，包括单项式、多项式、幂和积等，再逐步进行分层，分析可能出现的交叉点。随着学习的深入，这样的一张图可以逐步分层、逐步细化、逐步增补，等到期末复习时能够事半功倍。

再次，用思维导图记录解题思路。解题是分析问题、解决问题综合能力的重要体现，解题思路的训练往往是教学的难点。学生掌握了基本的知识之后，距离综合运用还有一段距离，这段距离的缩短，可以采用思维导图来辅助完成。学生在完成难度相对较低的题目时，把思考经过采用思维导图形式呈现出来。在完成难度相对较高的题目时，如果思路不清、解题卡壳，可以把之前积累的同类的、难度较低的题目解题过程拿来参考，结合学习过程中知识点串联、题型分类等思维导图，会得到一定的启示，这样学生对于难度较高题目的思考会更加深入和完善。同时，再配合同学之间的讨论、教师的启发，学生的思路逐步清晰，对该类问题的认识更加透彻。以此就能够逐步训练学生分析问题的思路，提高解决问题的能力。

最后，用思维导图记录错题。数学学习过程中，一定会有错题产生。错题产生后，单纯用错题本记录错题，确实也能起到一定的作用，但是如果引入思维导图，加强对错题的分析，会从另外一个方面帮助学生提高分析能力。用思维导图，一方面可以归纳错题的类型，发现自己出错的高频部分，可以有针对性地查漏补缺；另一方面可以厘清解题的思路，找出错题出错究竟在哪个具体的点上，利用思维导图分析不同题目的出错是否有交叉和重复，寻找不同错误的共同“致错”思维，从根本上纠正错误。

“千言万语不及一张图”，运用思维导图解决初中数学教学中的难点，以期将思维导图作为辅助工具，教师加以引导，学生加强思考，提高形象记忆，培养发散思维，能够运用知识解决问题，解决教学中的难点。

初中阶段，数学的教与学难度增加。因此，数学教师应积极采取教学改革、探索教学方法，借鉴并融合先进教学理念，帮助学生掌握数学基础知识和基本技能，提高教学质量。我们在教学实践中，可将“思维导图”的方法引入初中数学教学，一方面通过形象思考串联起数学较为枯燥的知识点，另一方面加强培养初中学生的逻辑思维能力，更重要的是，突出了以学生为本的教学方式，初步形成了一种数学教学方法。

参考文献：

[1] 张治栋.新课改背景下如何培养初中学生的数学能力[J].西部素质教育，2016（1）.

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一、把握好重点和难点是突出重点、突破难点的前提

教师要想在教学中做到突出重点、突破难点，就是要深钻教材，只有教师在对教材非常熟悉的情况下，才能从知识结构上，抓住各章节和各节课的重点和难点。在实际的教学中，教师必须根据学生实际的认知水平，并考虑到不同学生认知结构的差异，合理定位好教学重点和教学难点。教师课前的精心准备、准确定位，就为教学时突出重点和突破难点提供了有利前提。

二、找准知识的生长点是突出重点、突破难点的条件

小学教学是一门系统性很强的学科。数学教学就是要借助于数学的逻辑结构，引导学生由旧入新，组织学生积极的迁移，促成学生由已知到未知的推理，认识简单与复杂问题的联系，不断完善认知结构，提高数学技能。因此，新知识的形成都有其固定的知识生长点，找准知识的生长点，才能突出重点、突破难点。我们可依据以下3点找准知识的生长点：1.有的新知识与某些旧知识属同类或相似，要突出“共同点”，进而突破重难点；2.有的新知识由两个或两个以上就知识组合而成，要突出“连接点”，进而突破重难点；.有的新知识由某些旧知识发展而来的，要突出“演变点”，进而突破重难点。如在教学苏教版小学数学六年级上册“解决问题的策略――替换”时，虽然每个策略都有其适用的题目，但是在形成新策略的过程中要综合应用已有的策略，如学习替换与假设策略时要用到画图、列表等策略，且综合法与分析法贯穿始终。所以这一单元的教学，是数学认知结构改造的过程，要突出“演变点”，进而突破重难点。

三、采用合适的教学方式是突出重点、突破难点的关键

《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》指出：教师的教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与自主学习的关系，通过有效的措施，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验。认真阅读这段话，我们知道：根据学生实际，采用合适的教学方式是突出重点、突破难点的关键。如教学“解决问题的策略”时，合适的教学方法是独立思考――尝试解题――合作交流――比较归纳――反思小结――形成经验。这样的教学方式，能使学生在经历问题解决的过程中，感悟解题策略，形成解题策略，体会策略价值，自觉应用策略解决问题，真正做到突出重点和突破难点。

四、积累基本的教学经验是突出重点、突破难点的基础

基本数学经验是指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。数学经验源于日常生活经验，高于日常经验。小学数学活动可分为4类：直接来源于生活的数学活动；间接来源于生活的数学活动；为数学学习设计的纯粹数学活动；意境连接性的数学活动。“解决问题的策略”教学属于间接来源于生活的数学活动，因此教师要设计有层次的数学学习活动，引导学生经历解题过程，进行体验和反思，把解决问题中的体验加以整理，对获得的数学经验进行反思，对学生的认知过程再认知，从而掌握解题策略，感受策略价值，积累数学经验，有效突破数学教学重、难点。以五年级上册“解决问题的策略――列举”为例，教学例1要让学生经历无序到有序的过程，学会用列表的方法有条理地列举；教学例2要引导学生用列举的策略解决问题，要不重复、不遗漏地进行思考，感受用列表、打“√”法列举的简洁、有序；教学例3要启发学生从不同的角度分析问题，进一步感受列举策略的特点。教学每道例题，都要引导学生回顾和反思，积累教学经验，树立主动用策略解决问题的意识。

五、信息技术的合理应用是突出重点、突破难点的保障

现代教育技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。学生对现代教育技术的浓厚兴趣，能够调动学生的学习积极性，它直观性强的特点就决定着现代信息技术已经成为学生学习数学和解决问题的强有力工具。因此，在突出教学重点和突破教学难点的过程中，要充分发挥现代信息技术的优势，化动为静、化隐为显、化难为易、化抽象为直观，并通过与传统技术的联合与互补，有效促进教学重难点的突破。如教学六年级上册“解决问题的策略――替换、假设”时，利用信息技术，通过画图直观演示用替换和假设法解决问题的过程，使学生会用这两种策略分析数量关系，保证了重难点的顺利突破。

总之，教师要做一个有心人，利用一切可以利用的教学条件，调动学生的积极性，课堂教学做到结构清楚、教法灵活，有效地突出重点、突破难点，提高教学效率。

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一、利用生活实例理解难点

数学源于生活，根值于生活。数学教学要联系生活和学生已有知识点，创设多样化的教学情境，是突破教学中难点问题的关键。

案例1：浙教八上7.2认识函数教学。本节教学中难点是：函数概念的建立.为帮助学生突破此难点，我在教学中引入以下三个情景。

情景1：上虞到杭州的路程为90千米，老师开车的速度为v千米/小时，用的时间为t小时。你能用含v的代数式表示t吗？

情景2：绍兴古城旅游门票优惠价130元/张，如果设门票张数为a张，应付金额为b元，请填写下表：

（2）启发学生找出问题中涉及的各种量，回顾路程、速度与时间三个量之间的基本关系：路程=速度×时间。

（3）利用问题中数量关系语，寻找等量关系。如：“相遇前乙比甲多行驶了90千米”即为等量关系：“相遇前甲行驶的路程+90=相遇前乙行驶的路程”，“相遇后经1时乙到达A地”即为等量关系：“相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程”。

列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列出方程，教学时要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法，不论是行程问题、追及问题，还是工作量问题、浓度问题等，只有依据题意画出相应的示意图，才能帮助学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破教学中难点。

四、利用多媒体教学解剖难点

多媒体形象具体，动静结合，声色兼备，并且具有一定的可控性和交互性，如能适当应用，可使抽象的概念具体化、形象化，尤其多媒体能进行动态的演示，弥补了传统教学方式在直观感、立体感和动态感等方面的不足，利用这个特点可处理其他教学方法难以处理的问题，并能引起学生的兴趣，从而增强学生的直观印象，这就为我们化解教学中难点，提高课堂效率和教学效果提供了一种现代化的教学手段。

案例5 浙教版七上6.1几何图形的教学.本节教学难点是学生对点、线、面、体关系的理解。我在教学时用动画软件制作了点动成线、线动成面的动画展示，再利用《几何画板》中的作图功能制作出圆柱、圆锥等几何图形，从中截取出矩形、直角三角形沿着规定路线旋转，使学生直观地把观察到运动的结果是圆柱、圆锥等立体图形。帮助学生理解“面动成体”的结论。

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（1）培养学生正确的观察色彩的能力。我认为水彩画教学，一开始就要较全面地讲清色彩知识，以便学生有一个完整的色彩概念，其中更为重要的一点就是解决“固有色彩观念”的问题。人产生固有色彩观念的主要原因，我认为一方面是对光与色的关系不了解，另一方面是欣赏习惯问题。克服固有色彩观念的办法，可以从原理上讲明物体色彩产生于光与物体的吸收、反射的原理，使学生懂得物体的固有色虽然存在，但它在不同的空间当中，是完全不相同的；物体的固有色因素，并不是物体色彩的唯一因素，物体的色彩往往包含着构思、意图、气氛和情调的需要。固有色因素是次要的，强调固有色对于表现一定的气氛和效果是有害的。为了克服“固有色观念”，在教学中要有意识的引导学生观察和比较处于不同光照和处于不同空间中的物象色彩的变化，比如：树叶的固有色是绿的，不仅阴雨、晴天不同，而且早、中、晚也不同，受光照能变为蓝紫。作画时必须要求学生画出色彩的差别，画出物象之间相互关系和色彩关系。

（2）过好“水关”。水彩画是以水调和透明的颜料，运用水与色的相互渗化的方法和层加的方法来塑造物象的空间效果。作画时用水多少，加色时画面干湿程度、用色的浓度以及用笔的快慢，笔上的水分等都十分讲究。所以学习掌握用水是水彩画技法的基本要求，过好“水关”是学习水彩画的一个难点。

有人说，用水是熟能生巧，用水的办法只能意会不能言传，这话虽不能算错，但我觉得有些共同的一般用水规律，是可让学生借鉴的。就作画时用水多少，我归纳了四点：第一遍用水多，第二遍用水少；大面积用水多，小面积用水少；湿接用水多，湿加用水少；室外作画用水多，室内作画用水少。

用水和用笔是分不开的，无论是湿接、湿加都和笔上的水分和用笔的方法有关。关于运笔的方法我归纳成“湿”、“浓”、“快”、“摆”四个字：

湿：就是加色时要趁湿加，不能在画面半干时加，以免画面干湿不均，造成水迹。

浓：就是湿加时，要能在画面半干时加，以免画面干湿不均，造成水迹。但浓到什么程度，要看形的具体要求，色愈浓则形愈具体。

快：是指湿加时，运笔要快，笔不能停留在画面上，以免把色渗开，达不到造型的目的。

摆：就是笔要根据对象结构的体面关系，一笔笔摆上去，或湿加或层加，尽量做到落笔不收。

为了达到水彩画的一气呵成的气势和一次着色的清晰透明的感觉，它的画法往往是从局部入手，尽可能要求一次完成。所以水彩画是很重视作画步骤的。我在教学中总是要求把轮廓大的先较为详细地考虑好步骤，然后有条不紊的画。作画步骤一般是：先远后近（或由近及远）、先大面积，后小面积，先淡后浓，先亮后暗。

另外水彩画有干、湿两种画法，湿画虽然能体现水彩的“韵味”，但往往需要用干画去进一步充实，把物体的结构画得更具体些。掌握湿画和干画的关系，实际上也是个用水问题。一幅画中如何处理干湿画法呢？一般是：远处湿画，近处干画；第一遍湿画，第二遍干画；暗部湿画，亮部干画；虚处湿画，实处干画；湿加要浓，干加要薄。

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【关键词】探索突破难点方法

通过学习数学培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力，是初中数学教师担负的基础教学的重要任务。由于初中生的年龄特征，他们受生活经验和数学学习经验的限制，思维能力还处于浅显的初级阶段。因此，根据学生的已有知识背景和认知特点，结合授课内容，数学教师艺术地设计突破教学难点的方法，是数学教师应该具有的意识和能力，也是数学教师应该潜心研究的课题。通过自己多年的教学实践，总结了一些突破初中数学难点的方法措施，现谈一下自己的具体做法。

一、揭示概念的本质特征

记住了概念，并不等于理解了概念，理解了概念也不等于能熟练应用概念。数学教师在进行概念教学时，不但要把概念讲清讲透彻，还要设计一些例题、练习题，通过学生的练习、探索、合作交流、辨析，以及教师的讲解，进一步揭示概念的本质特征。从而达到学生熟练应用概念的目的。初一数学中的平方差公式内容，是教学的一个难点，也是考试的一个考点。学生初学公式后，还以为这个公式简单，但具体做起题来，却常常出错。虽说是平方差公式，但是哪一个数的平方减去哪一个数的平方，学生并没有深究，他们从公式的表面来看，好像是两个二项式中的第一个数的平方减去第二个数的平方。例如这道题很多学生就是这样做的：（—x—y）（x—y）=x2— y2.通过这道题的练习，暴露出了学生对公式的本质特征并没有掌握。带着问题，引导学生研究公式（a+b（a—b）=a2—b2后发现，公式中前后有一个相同项，又有一个互为相反数的项，它的结果实际等于相同项的平方，减去互为相反数的项的平方。学生理解了公式的本质特征后，做这类题就得心应手了。学生也知道了凡是符合了前后有一个相同项，又有一个互为相反数的项的两个二项式的积就可应用平方差公式计算，否则就不就不能应用平方差公式。这样学生做能否用平方差公式计算的辨析题，只要稍加观察，就可选出正确的答案。

二、对比方法的应用

没有比较就没有鉴别。在数学教学中，比较方法的应用，可促进学生对概念内涵的真正理解；可起到化难为易，化繁为简的作用。例如二次根式运算中，对两个公式 （a ）2=a （a≥0） （ a）2 = |a| ， 学生知道两个公式不一样，但却不知道不一样在哪里，通过分析，学生知道了：（1）、 是求二次根式的平方， 是求一个数的二次幂的算术平方根。（2）、 中a是非负数 中a是任意实数。（3）从表面看，两个的运算顺序 是先开方在平方， 是先平方再开方。（4） 的结果直接等于被开方数就行了， 要先等于被开方数的底数的绝对值，然后再根据绝对值得意义，求出最后的结果。为了加深印象，师生共同给 总结了一个口诀：平方再开方，先用绝对值框。框起来再根据绝对值的性质求出结果。教师还给它做了个形象比喻，这个底数就犹如一个嫌疑人，先关起来，再仔细审查，且不可马虎造成错案。比喻引来学生的会意微笑。微笑是一种紧张后的放松，是一种迷惑后的明白，是一种难点破解后的释放。也是师生付出心血的回报。

三、数形结合的形象理解

数学中的数形结合，可以培养学生形象思维，抽象思维、逻辑思维能力。而有关数形结合概念的理解和记忆，用数形结合的方法，也可收到意想不到的良好效果。在教学关于一次函数的增减性，及其图像的位置关系的概念的理解、记忆时，如果学生按照书上的概念的叙述，去理解、去记忆，完全没有问题。但是应用概念去解决实际问题时，却又感到十分的困难和麻烦。通过教师的引导，师生共同探索发现：当k>0时，图像从左至右如同人走路一样，走的是上坡路，当k

四、几何证题方法的简单引入

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1.教学目标

初中二次函数的教学目标首先是要帮助学生探究二次函数与一元二次方程的关系，并且通过解题来感受函数与方程的联系。其次，要认识二次方程的图像与x轴的交点个数，理解这个交点个数与一元二次根的个数的联系。学生要熟练掌握一元二次方程的根与二次函数图像与x轴交点坐标的转换。最后，学生要能够体会到函数知识的乐趣，为今后的函数学习打下牢固基础。

2.教学难点

初中学生对于函数比较模式，函数的概念比较抽象，特别是函数与方程之间的关系，需要教师通过正确的方法帮助学生体会。在初中数学课堂上，二次函数的教学难点在于理解函数与方程的关系，并且能通过二次函数的图像来解一元二次方程，掌握二次函数与x轴交点个数与一元二次方程的根的个数之间的存在的联系。

二、二次函数课堂教学实例分析

1.例题分析

教师需要结合教材来引出问题，并且给出思考例题：例1：为什么有两个时间点，小球的高度是15米或者0米？为什么只在一个时间点，小球的高度为20米？二次函数y=ax2+bx+c的函数图象与x轴相交，其交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有怎样的联系？教师可以请学生自主发表意见，并且通过多媒体课件更直观地展现出其中的联系。二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴交点2个交点1个交点0个交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根2个相异实数根2个相等实数根没有实数根方程判别式Δ=b2－4acΔ＞0Δ＜0Δ=0表1二次函数与x轴交点与一元二次方程根个数的关系在教学过程中，教师要关注学生能否实际问题通过数学思想来表现出来，并且能够结合函数图像来进行分析。教师需要注意的是，二次函数与x轴的交点、一元二次方程的根之间的相互转化要通过练习来完成。

2.难点总结

教师要帮助学生总结课堂的难点。首先，通过观察函数图像可以看出，如果函数y＝ax2＋bx＋c与x轴存在公共交点，那么公共点的横坐标x1，那么在一元二次方程中，即x=x1的时候，函数值为0，因此x=x1为方程的一个实数根。其次，二次函数的图像与x轴有三种位置关系，即相交、相切、相离，分别与x轴有两个公共点、一个公共点、没有公共点。因此对应的一元二次方程的根，也有三种情况，即两个不相同的实数根、两个相同的实数根、没有实数根。最后，通过观察二次函数图像，并且利用图像求方程根，由于作图过程以及读图存在误差，根的值往往是近似值。

三、初中数学二次函数的教学思考

首先，二次函数的内容较多，如何帮助学生克服理解障碍，能够认识到函数与方程之间的关系，是教师课堂教学的难点。因此，需要将知识内容的运算过程、基本思想讲解清楚，通过一道例题来展现二次函数的思想内容。在有限的时间内，做到教学重点突出，引导学生跟随教师的思路来进行联系。并且可以为学生布置作业，对学生学习的内容进行检验，进而引导学生通过分析、比较、类比而获取新知识。其次，教师要重视学生主动理解的过程中。二次函数的课堂内容并不是简单的知识传授，而是要让学生具有数学思想来看待生活中的问题，将函数知识与结论相互融合在课堂讨论中，学生通过自己的探究了解到二次函数与一元二次方程的之间的联系，在这样的学习过程中能够发挥学生的学习自主性。最后，课堂教学要体现数学思想，利用对函数图像的分析应用，帮助学生联系二次函数图像的作图，在作图过程中，让学生再次体会函数y＝x2+bx＋c的交点的横坐标是方程ax2+bx＋c=0的解的探索过程，能够熟练利用函数y＝x2+bx＋c函数图像与x轴交点的方法，求方程ax2+bx＋c=0的解。教师通过潜移默化向学生渗透数形结合的数学思想，有利于增强学生的解题能力。

四、结束语

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铁碳合金相图的识读和应用是《金属材料与热处理》教学中的一个难点，如何突破难点，达到好的教学效果，是教师经常讨论的问题，本文对解决这一难点进行探讨并提出一些见解和解决方法。

关键词

力学性能 内部组织 同素异构转变 铁碳合金相图 化学成分

“金属材料与热处理”是技校理论教学课程中一门与生产实践联系比较密切的课程，是机械专业学生学习各专业工艺学与生产实习课的基础。通过对这门课的学习，不仅可以帮助学生掌握常用钢材料的成分、组织、性能及热处理工艺之间的相互关系，同时可以培养学生正确选择和合理使用材料、制订和掌握热处理工艺规范等多方面的能力。

本课程主要包括：①金属的性能；②金属学的基础知识；③钢的热处理；④常用金属材料等内容。其中第二部分金属学的基础知识是整门课程的基础知识，它3介绍金属和合金的晶体结构及其结晶过程；铁碳合金相图的建立、识读和应用。如果这部分基础知识没有掌握好，那么学生对前面所讲的金属性能的知识只会一知半解，而后部分钢的热处理和常用的金属材料的知识就会没办法理解和掌握。所以第二部分知识是这门课程整个教学内容的重点，它起到一个承前启后、画龙点睛的作用：同时由于这部分知识的内容较为抽象（如合金的晶体结构，结晶的过程：铁碳合金相图的建立过程）没有具体实验和教具可以演示，加上技校学生没有实践感性认识的基础，缺少对这部分知识的感知认识，致使在教学中学生学和老师教都存在一定的难度。下面我就这一重难点的突破，作一些初浅的探讨。

一、深入分析，找出突破口

金属学的基础知识这部分内容主要有3个章节的教学内容，学生在学习过程中普遍对第四章“铁碳合金的组织”，“铁碳合金相图的建立、识读、应用”等几个知识点较难理解和掌握，而教师对这部分知识在教学过程也常常出现很难讲明讲透的现象。其实在这个难点的处理上，我们只要深入分析，找出知识贯穿点，就很容易找到突破口。我们可以给学生列一关系式进行分析如图：

碳

组成

温度

决定

材料的内部组织

铁 ————

———— 材料的力学性能

各种微量元素

材料的化学成分 材料的选用 

这个关系式清楚地告诉我们材料的选用是根据钢材的力学性能（强度、硬度、塑性、韧性等）来确定的，材料的力学性能是由材料的内部组织来确定的，而内部组织的转变则是由温度变化和材料的化学成分不同而引起的，并且材料的化学成分是由碳、铁和一些微量元素组成，其中变化最大的是碳的含量，决定了材料的内部组织的变化。通过这样分析，学生就很容易理解：为什么含碳量越多钢材的强度越高，而塑性、韧性则降低？因为含碳量的大小改变了材料的内部组织，组织变化必然引起力学性能变化：为什么相同成分的钢材加温到相同高的温度，由于采用不同冷却方式，最终得到力学性能也不同？因为温度变化改变钢材内部组织而引起力学性能变化。很清楚，问题的关键就是钢材内部组织，则钢材内部组织就是难点的切入点。只要了解了铁碳合金内部组织的定义、性能、变化原因，那么识读铁碳合金相图就会迎刃而解。

二、深入浅出，化繁为简

铁碳合金的组织在教科书中介绍较为抽象。例如：固溶体的概念，书上的定义是“一种组元的原子溶入到另一组元的晶格中所形成的均匀固相。”这样的解释很难让学生。例如：固溶体的概念，书上的定义是“一种组元的原子溶入到另一组元的晶格中所形成的均匀固相。”这样的解释很难让学生理解。如果我们在教学过程中，通过实际的例子告诉学生，当纯铁加热到熔化后，碳元素可以溶解到铁水中去，铁水凝固成固态时，碳元素仍被留在铁中，这种在固态下溶解有其他元素的组织叫做“固溶体”，又因为纯铁在固态下有同素异构转变，即有α-Fe和γ-Fe两种晶格，其对碳元素的溶解能力不同，所以就形成了两种固溶体，分别叫做“铁素体”和“奥氏体”，它是铁碳合金基本组织中的两个组织。这样解释，学生的思路就会很清晰，将复杂的抽象的概念简单化，很容易理解和掌握知识并收到良好的教学效果。同样在分析铁碳合金相图时，我们也可以先将图中标注的铁碳合金组织化繁为简，采用简单易懂的语言、文字来讲解铁碳合金组织的定义。并将其归纳如下表：转贴于 铁碳合金组织

组织名称

符号

组织类型

含碳量

晶格类型

力学性能

铁素体

F

固溶体

0~0.0218％

α-Fe体心立方晶格

近似于铁，温度、硬度不高，塑性、韧性良好

奥氏体

A

固溶体

0.77％~2.11％

γ-Fe面心立方晶格

强度、硬度不高，塑性好（易锻造）

渗碳体

Fe3C

金属化合物

0.69％

斜方晶体

硬而脆，塑性、韧性很差

珠光体

P

机械混合物

0.77％

α-Fe体心立方晶格

介于铁素体和渗碳体

高温莱氏体

Ld

机械混合物

4.3％

γ-Fe面心立方晶格

介于奥氏体和渗碳体

低温莱氏体

L’d

机械混合物

4.3％

α-Fe体心立方晶格

介于奥氏体和渗碳体

通过对合金组织的分析，让学生掌握了铁碳合金组织的概念、性质，同时也要让学生了解铁碳合金组织是如何随温度变化而发生转变的，在这个难点的突破方法上，教师可以以“金属同素异构转变”这个知识点作为切入口。我们知道金属在固态下随温度的改变；由一种晶格转变为另一种晶格的现象，称为同素异构转变。以纯铁为例，液态纯铁在1538℃进行结晶，得到具有体心立方晶格δ-Fe，继续冷却到1394℃时发生同素异构转变，δ-Fe转变为面心立方晶格γ-Fe，再冷却到912℃时又发生同素异构转变，γ-Fe转变为室温体心立方晶格的α-Fe。由于金属晶格存在着随温度改变而发生晶格变化的特性，导致金属组织随温度的变化而发生转变。以铁碳合金组织为例，铁碳合金组织是由基体纯铁和碳组成，温度变化使基体纯铁晶格发生转变，不同晶格的基体和不同含量的碳组合，就会出现不同的铁碳合金组织，这就是铁碳合金组织会随温度变化而产生变化的原因。清楚这点后，我们再对照看铁碳合金相图就一目了然。温度、含碳量、材料组织、力学性能等，在图中就能分析得很清楚。例如：温度为600℃，含碳量为4.6％的钢材的组织是Ld+Fe3C-莱氏体+渗碳体，力学性能是脆而硬的组织。而含碳量为0.45％的钢材室温组织为F+P-铁素体+珠光体，这种组织的力学性能是有一定强度、硬度、并具有良好的塑性、韧性。

三、归纳总结，加深理解和记忆

前面我们将重点、难点的知识内容作了具体分析讲解，为了加深学生对这部分知识点的理解和记忆，达到更好的教学效果，最后还可以将金属的基础知识这部分教学内容归纳小结为：

1、金属的晶体结构是由原子有规则的排列所形成，原子排列的具体方式不同，便组成了几种不同类型的晶格（体心立方晶格、面心立方晶格、密排六方晶格）。

2、纯铁组织中不同类型晶格对碳元素的溶解能力不相同，形成不同类型的铁碳合金基本组织。

3、纯铁在固态下，随温度转变会出现不同的晶格类型。这种现象称为同素异构转变。

4、铁碳合金的5种基本组织（铁素体、奥氏体、渗碳体、珠光体、莱氏体）由于各自基体中的含碳量不同，表现出来的力学性能就不一样，组织之间会随温度改变而发生相互之间的转变。如：含碳量为0.77％的钢，在8000℃时的组织是奥氏体，而在室温下组织转变为珠光体。转变的原因是由于铁碳合金的基体铁发生同素异构转变。

篇8

关键词：函数教学；函数问题

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）07-0194-02

函数思想就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题得到解决。函数思想的建立，使数学从常量数学转入变量数学，使数学能有效地揭示运动变化的规律，反映事物间的联系。20世纪以来，我国的科学技术得到飞速的发展，数学教育教学也已迈入课改时代了，数学教学更注重运用数学知识和数学思维方法解决实际问题了，初中函数在解决此类实际问题中起到最重要、最关键的作用，从而彰显出初中函数教学重要性。我从事初中数学教学二十几年来，发现学生学习函数时总会遇到这样或那样的困难。

1.学生学习初中函数的困难

1.1 函数概念理解不深、模糊

例1、下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）.

【考点】函数概念

【错解原因】有学生选B。错答原因就是不清楚函数定义"在某一变化过程中，如果存在两个变量x和y，对于x的每一个值y都有唯一的值与之对应，那么x是自变量，y叫做变量x的函数。"其中的"对于x的每一个值y都有唯一的值与之对应"理解不深。故D图不能用函数式表示出来。

例2、（2012年北京市）如图，在平面直角坐标系xoy中，函数y=4x（x>0）的图象与一次函数y=kx-k的图象的交点为A（m，2）.

（1）求一次函数的解析式；

（2）设一次函数y=kx-k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点， 且满足PAB的面积是4，直接写出点P的坐标.

【考点】 反例函数与一次函数的交点问题，曲线上的点的坐标与方程的关系

【不会解答原因】 本题涉及到函数图象概念及求直线解析式时灵活用其图象上的点的坐标来求解的方法，但有的学生不理解函数图象概念而解答不出来。

1.2 函数性质理解不透彻。初中函数只有"一次函数、反例函数、二次函数"三种，掌握它们各自的性质

例3、一次函数y=x+3的图象不经过的象限是【 】

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

【考点】一次函数图象的性质

【错解原因】学生选C ，显然是不知道一次函数y=x+3交y轴于正半轴，交x轴于负半轴，没有灵活掌握一次函数y=kx+b（k≠0）有关k和b的性质特征要点。

例4、 抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的两个正确结论（直接采用已知数据的结论除外）

【考点】二次函数的图象，结合图象可读出对称轴方程、抛物线与x轴、y轴的交点坐标；

【不会解答原因】不知道通过计算推理可得到：c=3，b=-2；因而从关系式、图象两方面，可得正确结论：①图象与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）；②解析式为y=-x2-2x+3；③方程-x2-2x+3=0有两个根x1=-3，x2=1；④抛物线的顶点坐标为（-1，4）；⑤该二次函数的最大值为4；⑥当x>-1时，y随着x的增大而减小；⑦若二次函数y≥0，则有-3≤x≤1等，任选两条均可.

1.3 对实际问题转化为函数问题缺乏经验

例4、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：

（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

【考点】待定系数法求一次函数解析式和利用二次函数性质求实际问题的最大值或最小值。

【不会解答原因】不知道利用二次函数性质求实际问题最大值或最小值的一般步骤：①设出自变量x和因变量w求出函数解析式和自变量的取值范围②配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值③检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内

即

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元。

2.克服学习函数困难的对策

针对以上学生学习函数障碍，我认为在平时的函数教学中要重视函数概念、性质理解和掌握以及函数应用意识的培养，重视"数学用于现实"的思想教育，在具体的教学中，重视影响数学能力的诸多因素如数学语言、阅读理解等的有计划、有针对性的训练和培养，具体地讲，要抓好以下几方面的教学。

2.1 加强对学生理解函数概念、性质的培养。初中函数"一次函数、反例函数、二次函数"都各自有特点的，而其函数图象又各具特征的，但记忆这三种函数的性质都可以采取"数形结合法"去理解记忆的。如记忆一次函数的性质：当 时，如图1所示，函数图象是"一、三方向"，"当 时，直线交y轴于正半轴，当 时，直线交y轴于负半轴， 时，直线经过原点（此时变为正比例函数）"，"直线是向上型（增大型）的，即y随x的增大而增大"；当 时，类似。

2.2 强化阅读理解能力的培养，并使学生学会"数学地"阅读材料、理解材料。通过数学阅读，能促进学生语言水平的发展以及认知水平的发展，有助于学生探究能力的培养和自觉能力的培养；通过数学阅读，有助学生更好地掌握数学。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔指出："数学教学也就是数学语言的教学"，因此，从语言学习的角度讲，数学教学也须重视数学阅读。作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力，还要注重教给学生退赔效的数学有效阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性，使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处，从而在兴趣及利益的驱动下，自觉主动地进行数学阅读。

具体地讲，强化阅读理解能力的培养，教学时要注意以下几个方面：⑴让学生学会说题。所谓说题，就是让学生通过阅读题目后，进行分析思考，说出题目所提供的信息条件、现象过程、解题思路及应采用的规律方法，等等。教学中可让学生通览全题说题目要素；也可以让学生剖析字句，说题目条件；还可以让学生形成解题思路后，说解题步骤。⑵组织适当的课堂讨论。课堂讨论常常需要教师给出一个中心议题或所要解决的问题，学生在独立思考的基础上，以小组或班级形式围绕议题发表见解、互相讨论。实践证明，课堂讨论为师生之间、同学之间的多向交流提供了一个很好的环境。讨论时学生独立活动的自由度增大，可以运用数学语言进行提问、反驳、论证、收集资料、统计数据等多种活动，并与别人的思想进行比较，以达到更深层次的的理解和掌握。因此，课堂讨论不仅适合培养学生的交流能力，还有助于激发学生的学习兴趣、增进对知识的理解。⑶创设写数学的机会。让学生"写数学"，就是要学生把他们学习数学的心得体会、反思和研究结果用文字的形式表达出来，并时行交流。例如，可让学生写知识小结、解题反思、调查报告和小论文，等等。这样做不仅可以提高学生的数学写作、阅读和理解能力，而且可以进一步提高学生的数学学习水平与探索研究能力。

2.3 加强学生用函数建数模解决实际生活问题的自信心的培养。一个人的自信心是他能有效地进行学习的基础，更是他将来能适应经济时代的必备心理素质，基于这样一个事实，许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标。因此在平时教学中，应加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学、创造数学、运用数学，并在此过程中获得足够的自信。

例如，我让曾经让学生分组做这样一个实验：用一个长度为T的细铁丝围成一个矩形，怎样的围法可以使矩形的面积最大？学生通过实际操作并用二次函数求最大值的性质得出正确的结论。证法如下：设矩形的一边长为x ，矩形面积为s，依题意可得

由二次函数最大值的性质可知，当x=14T时，s有最大值，最大值为116T2

因此，学生们得到一结论：周长为定值的矩形，当矩形变形为正方形时，其面积最大。 这个实验让学生非常感兴趣，激起了学生强烈的好奇心和求知欲，并得出了规律写出了实验小论文。 从这个例子中可以看出，教师在教学中如果注意联系身边的事物，让学生体验函数在生活中应用，并尝到成功的乐趣，对激发学生的数学兴趣、培养学生的数学应用意识以及解决实际问题的自信心是非常重要的。

综合上述，解决学生学习函数的困惑，关键是要理解掌握函数性质，其次要培养学生利用函数建数模能力，即把实际问题转化为纯数学（函数）问题的能力，使学生对函数学习有深厚的兴趣，而要达到这目的，需要教师平时对这一问题加以重视，在了解学生的基础上，用恰当、正解的方法来引导学生。

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【关键词】初中数学 难点 教学实效 ；重要性

引言

随着我国经济和社会发展水平的迅猛发展，人们越来越多的关注教育事业的发展，尤其是数学教学。数学作为一门抽象性和逻辑性较强的学科，一直被广大的师生看作是最难攻克的一门课程。在进行初中数学教学的过程中，教学工作者要注重扩充统计的份量，加大概率的内容。最新研究发现，一些较为发达的地区均将统计与概率作为初中数学教学内容的一个重要环节，绝大部分数学课本都是按照年级不同来安排统计与概率的内容。鉴于上述情况，我国的数学教学亟待加大改革力度，具体介绍如下。

1.加大统计和概率改革的重要性

加大统计和概率内容的改革，在很多程度上能够推进初中数学教学内容趋向现代化以及结构上的科学化。此外，还能够实现教育技术手段的现代化、改善教学工作者的教学手段以及学生的学习方法等。重要性主要体现在以下几个方面：

1.1 提升内容结构的合理性

目前，在初中数学教学中所涉及的内容主要有代数、几何以及统计。统计与概率在很程度上可以说是不确定性数学，在具体的学习过程中应该去发现和总结蕴含在随机性中的规律性，借助辨证思维以及归纳的方法与手段，能够有效的实现对学生实践能力以及合作精神的培养。统计、概率及学生的日常生活三者间有着千丝万缕的联系，教学工作者应该借助具体的实践活动来安排学生学习数据处理的方法与手段。

在进行具体的实践活动时，教学工作者也可以鼓励学生将感受到数学概率学习与日常生活紧密结合起来，充分体验联系实际对解决数学问题的重要性。这种做法在很大程度上能够充分激发学生的学习兴趣，使学生养成良好的调研习惯、培养科学严谨的学习态度、提升合作交流能力和综合实践能力。所以，在开展初中数学教学时，适当的增加数学概率教学并抓住教学难点，可以丰富初中数学教学内容，还可以有效提升数学教学内容结构的合理性。

1.2 意识到计算器的重要性

在开展初中数学教学时，适当的增加数学概率教学并抓住教学难点，在很大程度上能够促进对信息技术的整合，还可以实现计算器等现代信息技术在初中数学学习中推广。目前，初中生在学习数学的过程中，已经广泛使用计算器，并且也得到了社会各界的一致肯定。在相关的规范要求中也多次强调使用计算器的重要性，按照相关要求，课本已把原教材中“用计算器进行数的简单计算”“用计算器求平方根与立方根”等内容列为教学重点。然而，所涉及的通过计算器来完成的内容，只停留在解决繁琐问题上，不能有效的突出计算器的重要性。

2.把握概率教学难点的有效措施

2.1 材料选择要宽泛

概率拥有着极其丰富的日常生活素材，教学工作者在安排教学内容时要注重从日常生活实际中发掘可以引入概率论教学的内容和素材，来提升概率论学习的趣味性，进而有效的提升教学效率。此外，材料的选取应该侧重于那些能够激发学生学习兴趣的日常生活实际问题、社会问题以及人与自然的问题等，进而有效的体现现实性和时代感。尽管概率所涉及的内容多半是海量的图表，仍然要为其安排相应的文字叙述予以解释。而考虑到学生的注意力集中程度和学习兴趣，需要注意尽最大可能减少文字叙述的使用。

2.2 注重引入游戏及生活实例

教学工作者在开展初中数学概率教学的过程中，应该注重引入游戏及生活实例，所涉及的较不错的生活实例主要有：让学生们观察或者思考去超市排队结账的时候，有没有感觉到别人所在的队伍都比自己的快呢？这样能够在学生间产生共鸣，激发学生的学习兴趣，进而教学工作者可以在此基础上提出这个实例与概率间的关系。若是超市内有15条队伍正在进行排队结账业务，那么你所在的队伍落后与其他队伍的概率为14/15，也就是说，你的队伍当然看起来是落后于别人所在的队伍了。通过教学工作者这样的讲述，会使学生较易理解概率论的相关知识。

2.3 做到课堂教学与时俱进

教学工作者在开展数学概率教学的过程中，要注重为学生提供其较为感兴趣的娱乐资讯，并将其作为背景材料，丰富概率论课堂教学。研究表明，绝大部分学生对娱乐资讯都比较感兴趣，尤其是那些不专注于课堂活动的成绩中等及偏下的学生。也就是说，通过这样的教学方法的应用，教学工作者能够很好的抓住学生的注意力，提升整体教学水平和效率[1]。

2.4 引入计算机模拟实验

概率作为一门实践性较强的学科，教学工作者在开展初中数学概率教学时，应该适当的引导学生借助抛硬币、掷骰子等试验来发现随意性试验中所蕴含的规律性，这对于提升课堂教学效率是大有裨益的。然而，这些传统的试验较计算机显得较为落后和费时，因此，在开展教学活动的过程中药适当的引入计算机模拟实验，来有效的提升课堂教学效率。

3.结语

综上所述，教学工作者在开展初中数学概率教学的过程中，一方面需要使学生真正了解和掌握与概率相关的知识点；另一方面，还需要注意协调概率与日常生活实际的关系，充分把握初中数学概率教学的难点，进而有效提升概率教学的教学效率[2]。

参考文献

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今年我省普通高中开始采用《美术鉴赏》，它是在义务教育阶段美术课程“欣赏─评述”学习领域的基础上更高层次的拓展和延伸，改高中“美术欣赏”课为“美术鉴赏”课，其旨在要求高中生通过“美术鉴赏”内容系列学习，不仅能欣赏一些古今中外的美术作品，同时也能运用感知、经验和知识对美术作品进行感受、体验、联想、分析和判断，获得鉴赏享受，并能理解美术作品与美术现象。美术鉴赏在具体要求上，比美术欣赏要求更高一个层次，“是判断美的一种能力”，是对美术作品的欣赏和鉴别的过程。

教师要引导学生在广泛的文化情境中去欣赏美术作品，也即需要进行跨学科讲授。“因为任何美术作品都不是孤立的，都是在一定的文化环境中创造出来的，艺术家在创作艺术作品时，不可避免地受到所处环境的影响，所谓文化情境，实际上指的是一件美术作品被创作出来时，所依托的文化环境、条件及其特征。”因此，在美术欣赏、鉴赏教学时，尽可能地进行跨学科讲授，学生对跨学科的讲授表现出来的专注程度明显要高于对单纯的美术知识讲授。那么具体怎么做呢？下面我以第六课《宛自天开──古代园林艺术》为例来说明。

在教学美术鉴赏第六课《宛自天开──古代园林艺术》时，讲到私家园林，导入时我朗诵了晏殊《浣溪沙》“一曲新词酒一杯，去年天气旧亭台，夕阳西下几时回。无可奈何花落去，似曾相识燕归来，小园香径独徘徊。”使学生尽快进入到园林欣赏的情境中来，增强他们的感性认识，创造一个广阔的文化情境。

然后指出：中国艺术讲究触类旁通，诗文与绘画往往互为表里。古代园林艺术作为中国传统文化的重要组成部分，园林景观之体现绘画意趣，同时也蕴涵着诗的情调──诗情画意。这景、情、意三者的交融形成了中国园林特有的艺术魅力。

接着板书：“远香堂”“听留馆”“夕佳楼”。播放课件：读图认识“远香堂”“听留馆”“夕佳楼”，感知江南水乡──苏州及园林，引导学生赏析：拙政园内有两处赏荷花的地方，一处建筑物上的匾题为“远香堂”，另一处为“听留馆”。前者得之于周敦颐咏莲的“香远益清”，后者出自李义山“留得残荷听雨声”的诗句。一样的景物由于匾题的不同却给人以两般的感受。颐和园内临湖的“夕佳楼”，夕佳二字的匾题取意于陶渊明的诗句：“山气日夕佳，飞鸟相与还；此中有真意，欲辨已忘言”。游人面对夕阳残照中的湖光山色，若能联想陶诗的意境，则对眼前景物的鉴赏势必会更深一层。匾和联不仅文字的内容十分丰富，其工艺形式也有多种。除了常见的长条形之外，还有蕉叶形的“蕉叶联”、“书卷额”、“扇面额”等等。它们犹如绘画上的题跋一样，把诗文乃至书法艺术直接组织到园林景观之中。

接着朗诵：《望江南》“三月暮，花落更情浓。人去秋千闲挂月，马停杨柳倦嘶风。堤畔画船空。恹恹醉，长日小帘栊。宿燕夜归银烛外，啼莺声在绿阴中。无处觅残红。”指出：古人诗文中的美妙意境经常引为园林造景的题材，游人览景而涉文、因文而生情。圆明园内有“武陵春色”一景，即以摹拟陶渊明《桃花源记》的文意而把一千多年前的世外桃源形象地再现于人间。

组织讨论：苏州园林是如何体现出她的巨大艺术魅力的呢？讨论，指名说说，师板书：“虽由人作，宛自天开”，造园艺术是多方面因素的配合，达到人与自然的和谐。总结：园林艺术作为中国封建文化的一部分渗透了封建文人的艺术情趣，它取法自然，高于自然，融建筑美和自然美为一体。最后布置作业拓展：结合投影图片和唐宋诗词写篇关于私家园林的抒情散文。

肖春峰同学上交的作业写到：“依靠在亭柱旁，亭外时不时吹来一阵阵微风，眼前仿佛显现出文人逸士们，把酒言欢，风儿抚摩他们的长胡，也摇曳着亭外的一切生灵。偶尔有鱼儿跃水，溅起层层水花，冲洗着园林，也冲洗着我们的眼睛。”另一位时春玲同学也写到：“景醉人，静人心。晨光初乍，包涵些许朦胧，轻烟薄雾，隐隐约见亭边的江南女子，步脚袅袅，亭边一泓池水，映出佳人贤影。江南似水柔柔。黄昏，这是个过于煽情的词语。安详的老人半躺在亭内古木红雕制成的太师椅上，闲在地品一壶凉茶，渐落的红日光芒散在老人慈祥的脸上，构成古园独具的‘夕阳画卷’”。

毫无疑问，这些作业表达出苏州园林江南水乡、古典精致的感觉，学生也了解了中国造园艺术的原则精神和具体经验。

实践证明，在讲课的过程中旁征博引，特别是人文学科之间的联系，有助于学生发散思维的培养。如欣赏中国古代雕塑时要首先讲授古代哲学。儒家哲学尊天命，受其影响，中国艺术反映为崇高、庄严、壮丽、重穆、典雅等等风格。道家哲学崇自然，在艺术上则表现为飘逸、雄浑、淳厚、古朴、淡泊、天真、稚拙等等风格。中国画和雕塑都具备这两个系统的风格特征，例如佛教造像和陵墓仪卫性雕刻，一般具备前一系统的风格，龙门奉先寺大佛最为典型。因有帝王的精神气度，风格上必然强调崇高、庄严、重穆和典雅。明器艺术中的俑和动物雕塑多属后一系统的风格，它们和生活关系密切，风格上追求自然，朴拙可爱。两者各异其趣，各有千秋。有人说美术课像语文课，是美术课还是语文课有什么问题呢？这些知识看似和美术无关，但看重的是一种文化的、人文的氛围的熏陶，这和美术在本质上是一致的。加强美术和人文学科的联系，有利于拓展学生的美术视野，对展现美术教师的人格魅力，展现美术课的学科魅力也有益处。任何学习都是为了学生的全面发展，与其他学科的联系，既可以激起学生的注意力和兴趣，同时也有温故知新的作用。

如何进行跨学科讲授训练，是高中美术教师必须重视的问题。在平时上课中，教师应注重以下几方面。

1．抓住跨学科讲授的目的和要点

与其它讲课内容一样，跨学科讲授应进行调整修改，调整的重点应放在所要讲授的跨学科知识与美术教学内容要相关、准确上，切忌画蛇添足，偏题跑题，喧宾夺主。

2．平时思考和课堂领会相结合

教师应鼓励和引导学生学会利用课余时间、参观展览活动的时间，有意识进行跨学科欣赏，美术欣赏里的大多数艺术品都是充满了作者对大自然、对人生的赞美、留恋以及由此引发的种种感慨和深沉的思考，这是一道丰盛的文化大餐，我们要在相关学科学习中去琢磨，去感悟，去和他们的心灵碰撞、共振，从而让我们的情感、思想和作者共鸣，获得鉴赏享受，并能理解美术作品与美术现象。

3．跨学科讲授与课堂教学紧密衔接，并行发展

跨学科讲授都是美术课的有益补充，二者合为一体，相互依托，共同发展。跨学科讲授不仅符合学生的心理，而且对提高学生的整体素质、发展学生的审美能力、培养学生的创新精神和实践能力具有积极的作用。

我们的高中美术课不仅仅是为了让学生了解课本上的几幅画，而是要培养他们建立起“大美术”概念，能主动地、独立地欣赏美术作品，从而了解不同国家、不同民族、不同地区多元文化的面貌，培养学生健康的审美情趣和审美能力。教师应该善于进行跨学科讲授，引导学生将美术与自然、社会及其他它学科联系地思考。重要的是应该通过美术理解更为广阔的世界，理解美术作品中蕴涵的丰富人文精神。这样学生就能获得人文精神的浸染，逐渐提高人文素养，以达到高中美术课程标准提出的：通过“美术鉴赏”模块的学习，学生能够理解美术与自然、社会之间的关系，在文化情境中认识美术，引导学生以一种开放、探索性的审美态度从美术作品中获取多方面的信息，并且在有效获取这些信息的基础上运用科学的方法对其进行分析，从而加深对美术作品的认识。

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【关键词】 初中数学 应用题 难点突破

初中数学中的应用题可以分为两大类别：①代数应用题，它包括行程问题（如相向、相背、追及等）、工程问题、工作问题（如话费、资源分配、最优方案等）、效率问题、利率问题、统计问题、植树问题、浓度问题、数字问题等。通过学习代数应用题，使学生从小学的列算式解应用题过渡到中学的列方程（组）解应用题等内容；②几何应用题，它包括线段问题、三角形问题、圆形问题、函数问题等。学习这一部分的目的是让学生熟悉几何语言，形成空间转换概念。

应用题教学也是中学教学中的一个难点，考试时学生失分较多。究其原因，大概有下面几种：第一，阅读理解能力不强。应用题中文字篇幅较长，科学术语较多（如存款、纳税、出租车计价、消费支出、盈利、打扮等）。相关的制约因素较多，各种信息互相干扰，如果学生阅读理解不到位的话，就不能从具体问题中归纳出数量关系。

第二，将题目中实际用语转化为数学语言的的能力不强。解应用题，就是要将题目中叙述语言通过列代数式、方程式（组）、不等式（组）或函数解析式转化为数学语言，如果找不准数量关系，公式记得不牢，对公式的意义不理解，就会出现盲目应用公式或者列式不准确的问题。

第三，教师的教学方法不科学，在应用题教学中，教师容易出现以下失误：①不指导学生事先预习，任务指向不明确，学生很难进入正确的认知空问；②只强调结论的正确性，不引导学生分析，理解题意，对问题的实际意义，所涉及的数学概念理解不够完全；③强调时间紧，内容多，教师满足于满堂灌，学生动手练得少。

那么，怎样才能提高学生解应用题的能力呢？我们以下面这道题为例说明：

甲、乙两人同时从学校出发，步行15千米到某风景区游玩。甲比乙每小时多走l千米，结果甲比乙早到半小时。求甲、乙每小时各走多少千米？

第一，提高学生的审题能力。审题的基础是阅读，阅读是以理解为核心的多认知活动，它能为弄清已知条件和数量关系做准备。阅读时，要弄清每句话的意思，对于关键性的词、句要做标记；对于较长的关键句子，要浓缩为主——谓——宾，重点加以分析，以突出问题的实质。上题由三句话（标志是两个句号，一个问号）组成，构成数量关系的关键句是：甲乙都走了15千米，甲的速度比乙的速度每小时多走1千米，甲走完全程比乙走完全程少0.5小时，未知量是分别求两人的速度。

第二，指导学生找准等量关系。这一步要指导学生找出能表示应用题含义的所有等量关系，如上题中的数量关系有：①甲的路程=乙的路程；②甲的速度=乙的速度+1千米/小时；③甲行完全程时间=乙行完全程的时间-0.5。找出这些等量关系后，还要引导学生将其翻译成数学语言。

第三，指导学生准确地列出等式。这里的等式可以是方程式（组），不等式（组）、函数式或其它等式。

为了正确的列出等式，首先要准确地把握关键词所表达的数量关系；其次要正确地理解公式的意义及使用范围。前面那道题应采取列方程式、方程组的方式来解题。而列方程式或方程组，要求用字母标出题中的未知数，由于本题的等量关系不只一个，因而本题的解法也不是一种。

第四，指导学生运用正确的方法解答题目，在这一阶段要求学生首先是细心，其次是准确，方式可以要求学生个别练，叫一两个学生到黑板上演示等多种手法。

第五，指导学生学会检验。通过检验，查看所求出的解是否能满足方程（组）的要求，还要查看是否符合题目的实际，很多同学不重视这一步，从而造成不必要的错误。老师务必要加强指导，引起同学们的足够重视。

第六，指导学生写出全面的符合要求的答语，并带上单位名称为解应用题画上一个圆满的句号。上题的答案为：甲的速度为6千米/小时，乙的速度为5千米/小时。

为了提高学生解应用题的能力，还可采取下面措施：第一，进行一题多解训练，拓宽学生的思维空间。由于应用题的等量关系不止一个，因而应用题的列式、解法呈现多种多样的态势，也就是我们常说的一题多解，但答案是唯一的，就方程式而言，一题多解主要表现在未知数，以前面那道应用题为例，可以设一个未知数、两个未知数、三个未知数、四个未知数，根据排列组合知识，列方程及方程组。我指导学生进行探求，学生很快找到了15种不同的解法。

对学生进行一题多解的训练能加深对解应用题步骤的理解，能拓宽学生的解题思路，提高解题能力，还能培养学生发散性思维能力，培养学生的创新精神和探究能力，从而提高学生的素质。

第二，以练为主，注重培养学生的总结能力。学生解题能力的提高，主要是学生自己练出来的，而老师的讲，只起到引领、点拨作用。因此创造各种条件，采取多种形式，放手让学生练，是提高学生解应用题的有效途径。让学生练、动手做题，这一点大家一般都能接受，都能做到，在教学解应用题的过程中，我不但让学生动口读题目，更重视学生的思维训练，重视学生的口述训练，我的训练步骤如下：①首先让学生读题、审题，找出已知条件和问题，然后让学生用自己的语言叙述应用题的意思；②再问学生，你是怎么想的？你这样想的依据是什么？让学生口述思维过程，这样做有利于培养学生思维的敏捷性和思维条理性；③让学生口述本题的相等的关系式。根据这些关系式，可以运用哪些公式、定理、原理。这样既为学生下一步列式做了准备，又使他认识到怎样运用公式、定理，使之对号入座，灵活运用；④解完题后，特别是解完一些典范性强、难度比较大的题目之后，及时组织学生总结提高，作错了的，谈错误的原因，纠正的措施，做对了的，就总结经验，谈成功的体会；解题新颖、有创意的，更要请他们向全班同学谈解题思路，以培养他们的创新思维能力。

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关键词：高等数学；微分；曲线积分

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）03-0111-02

在当前国内使用的高等数学教材中，对于微分和第二型曲线（曲面）积分的编写思路基本相似。在微分这一部分，总是先介绍微分的概念，再介绍微分与导数的关系。在第二型曲线（曲面）积分中，总是先给出曲线（曲面）积分的概念，然后再寻找两类曲线（曲面）积分之间的联系。由于微分和第二型曲线（曲面）积分的概念比较抽象，使学生理解起来困难较大，不易掌握。本文将对上述两个难点在教材编写中如何处理提出一点思考，其目的是在不影响教材的科学性和知识性的前提下，简化教材的处理，从而有效地提高学生的学习效率。

一、关于微分和全微分

微分的概念比较抽象，微分和导数（偏导数）的逻辑关系也需要推导，学生理解起来较为困难，整个知识体系叙述不够简洁。因此，这部分内容是高等数学教学的一个难点，对于非数学专业的高等数学教材，应当在不影响教材的科学性和知识性的前提下，适当降低概念的抽象程度，有利于学生的接受和理解。下面我们给出微分和全微分的定义如下：

定义1 设在点的某邻域有定义，并且存在导数f'（x0），如果Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=f'（x0）Δx+o（Δx）则称f（x0）在点x0可微分，并且称f'（x0）Δx是f（x）在点x0处的微分。

定义2 设z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域有定义，并且存在两个偏导数fx（x0，y0）和fy（x0，y0），记ρ=■，如果Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）=fx（x0，y0）Δx+fy（x0，y0）Δy+o（ρ）则称f（x，y）在点（x0，y0）可微分，并且称fx（x0，y0）Δx+fy（x0，y0）Δy是f（x，y）在点（x0，y0）处的全微分。

微分和全微分这样表述后有两个明显优点：一方面，降低了概念的抽象程度，但没有损失这部分知识点的科学性和知识性。因为在传统的定义中，由函数的可微性可以推出导数（偏导数）的存在性。另一方面，该定义本身就已经明确了微分和导数（偏导数）的关系，解决了微分的表达和计算问题，减少了一些分析和证明。

二、关于曲线和曲面积分

国内教材将这部分内容分为第一型曲线（曲面）积分和第二型曲线（曲面）积分两个部分依次介绍，然后再讨论两者之间的关系。由于第二型曲线积分，尤其是第二型曲面积分概念表达式非常复杂，且物理背景也很难理解，使得在计算过程中经常出错，一直是高等数学教学的又一难点，为此对第二型曲线（曲面）积分的概念，我们提出如下表述方法和理论体系，以求化简难度，便于“教”与“学”。对于第二型曲线（曲面）积分，没有必要一定采用通常的“分割-求和-取极限”的传统模式给出定义，我们将第一型曲线积分和第二型曲线积分统称为“函数在曲线上的积分”，将第一型曲面积分和第二型曲面积分统称为“函数在曲面上的积分”（国外一些教材就采用这种叫法），那么第二型曲线（曲面）积分就是第一型曲线（曲面）积分的一个应用。下面我们以第二型曲面积分为例，说明这部分教材编写的处理思路。通常的教材是这样定义的，设■为光滑的有向曲面，函数R（x，y，z）在■上有界，把■任意分成n块小曲面ΔSi（ΔSi同时又表示第i块小曲面的面积），ΔSi在xoy面上的投影为（ΔSi）xy，（ξ，η，ζi）是ΔSi上任取的一点，如果当各个小块曲面的直径的最大值λ0时， ■■R（ξ，η，ζi）（ΔSi）xy总存在，则称此极限为函数R（x，y，z）在有向曲面■上对坐标x，y的曲面积分，记作■R（x，y，z）dxdy=■■R（ξ，η，ζi）（ΔSi）xy，类似地可以定义函数P（x，y，z）在有向曲面■上对坐标y，z的曲面积分■P（x，y，z）dxdy=■■P（ξ，η，ζi）（ΔSi）yz，及函数Q（x，y，z）在有向曲面■上对坐标z，的曲面积分■Q（x，y，z）dxdy=■■Q（ξ，η，ζi）（ΔSi）zx，以上三个曲面积分称为第二型曲面积分。

在高等数学的教学过程中，教师和学生都感到这种方式定义下的第二型曲面积分，理解起来太抽象。因此，下面我们采用新的定义方式，降低概念的抽象程度。

设■为光滑的有向曲面，其上任一点（x，y，z）处的单位法向量为n={cosα，cosβ，cosγ}，又设A（x，y，z）={P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）}，其中P，Q，R在■上有界，则函数f（x，y，z）=A・n=Pcosα+Qcosβ+Rcosγ

在■上的第一型曲面积分

■f（x，y，z）dS=■A・nnds=■（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS称为A（x，y，z）在有向曲面上的第二型曲面积分。

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【关键词】初中数学；数形结合思想；渗透途径

引言

伴随着经济全球化的迅猛发展，人们的物质生活质量得到了持续的增长，相对应的文化需求也逐渐提高。作为人类成长过程当中接受正式教育的重要一站，初中教育对每个人来说都至关重要。而在初中教育过程当中，初中数学教学扮演了重要的角色。当前社会和国家都非常重视数学教学的效果，但是初中学生还没有取得理想中的数学成绩。究其原因，既包括数学课程无法激发初中学生的学习兴趣，也包含数学老师在选择教学方法上的失误。将数形结合思想运用在初中数学教学过程当中，使得疑难问题简易化、抽象问题具象化，在解决初中学生数学问题的的过程当中，还可以将学生对于数学学习兴趣进行激发，将学生的思维能力和观察能力进行提升，对学生的全面发展和素质教育都起到了积极的推动作用。

一、数形结合思想在初中数学教学中应用的意义

由于初中学生的理解能力和自我认识能力还不够全面，在学习数学这一科目时，遇到自己不能理解的问题就会产生放弃的想法，甚至导致部分学生出现厌学的后果，这时学生自身的数学能力无法得到提升。所以针对这种教学现状，数形结合思想由此诞生，数形结合思想的宗旨就是将图形和数字进行有机结合，将难以理解的数量关系通过图形来进行展示，便于学生对数学问题的分析和解答。目前在初中数学教学过程当中，数形结合思想是一种普遍使用的教学方法，在数字和图形转化的过程当中，学生的形象思维、抽象思维和逻辑思维都能够得到及时的培养，使得学生对于数学知识点的理解更加透彻，对于知识点的记忆更加深刻。

二、初中数学教学中数形结合思想的渗透途径

（一）将数形结合思想渗透在数学教学重点难点中

由于数学知识自身的特点，就决定其有着较强的复杂性和抽象性。因此，数学知识重难点的复杂性和抽象性更为突出。学生在学习和理解的过程当中往往非常吃力，但在学生理解和学习的过程当中，教师积极的引导学生采用数形结合的思想，就会突破数学教学重点难点，迅速的提升教学效果。举例来说，讲解比例问题的过程当中，解题方式采用数形结合的思想，就可以更加简便地将问题进行分析并作答。除此之外，由于数学结合思想对问题有着具有形象化和直观化的表达特点，对于问题当中出现的多种数量关系都可以更加清晰明确的表达，学生的理解程度和答题效果都得到了提升，学习数学的兴趣也得到了培养。教师还要要求学生在答题之后这些题目归纳总结，将一些与自身学习能力相对应的简便答题手段进行应用，在初中学生学习数学效率提高的同时，学生对于数学科目的学习态度和学习自信都得到了增强。

（二）将数形结合思想渗透在学习数学概念上

在初中数学教学过程当中，学习数学概念时就可以渗透数形结合的思想。初中数学教师在讲授正负数的课程时，可以将该部分的知识重点通过多媒体设备进行展示，使得学生对于知识点的理解和掌握更加深刻。举例来说，在学习正负数知识时，教师利用多媒体设施数轴进行放大，让学生找出各个数值所在的位置，学生也就理解了正负数的概念，而不是想象中的正负数。在此之后，继续要求学生重复上述学习过程，通过学生的亲身经历进行思考，使得数形结合思想有效地应用在教学过程当中，学生对于正负数的认识不再模糊，相关的数学概念也在学生的大脑中得到强化，学生对于知识也可以做到灵活使用，教学目的得以完成。

（三）将数形结合思想渗透在找到解题方法上

对于一些较为复杂的问题，学生在答题过程当中可能会不知所措。这时渗透数形结合的思想，鼓励学生通过画图、计算等方法，发散自身的数学思维，从而准确地找到解题方法。举例来说，[（2x+1）×6-3]÷3=7，求x=？一些学生认为，这种题型计算过程十分冗杂，就会担心题目设置过难，影响学习效果。如果将数形结合思想作为依据，逆向进行推理：3×7=21+3=24÷6=4-1=3÷2=1.5，这样就可以将题目又好又快的完成。对于学习效率和答题速度，都有着积极的促进作用。

（四）将数形结合思想渗透在计算方法原理上

在计算方法原理上渗透数形结合的思想，可以使得算式更加具体形象，从而减少学生理解的难度，使得学生对于计算方法进行完全掌握。举例来说，一位技术工人一个小时可以完成工作的1/5，问这位技术工人在1/6小时内可以完成这份工作的几分之一。根据这一问题，引导学生进行相关步骤分析，第一步，引导学生将1/5×1/6这个算式通过画图的方式展示出来，接下来可以进行分小组展示或在班级进行展示学生对于该问题理解过程中所画出的图形，全班同学积极进行讨论并评价，最后e误由数学教师进行归纳总结，并针对发生的错误进行改正。概括的来看，将复杂的算式转换为具体的图形，在初中数学教学过程当中，就可以帮助学生搭建算式和图形之间的桥梁，学生的理解能力得到的提升，数学原理和计算方法的理解更加透彻，这些原理和方法也就能够被学生自由的使用，从而提高了学生的数学素质。

结语

综上所述，在初中数学教学过程当中，有效地渗透数形结合的思想，可以突破数学教学的重点难点，指导学生对计算方法、计算原理进行掌握，更加便于数学概念的学习和更为准确的找到解决问题的方法。初中学生的逻辑能力、思维能力和计算能力都在不同程度上获得提高，为学生的全面发展和综合素质的提升打下了良好的基础。

【参考文献】

[1]海霞.例谈“数形结合”思想在初中数学教学中的渗透[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2009（05）：13-14

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一、把基本概念编成习题型导学案

数学概念的复习不是简单的重复，而是要建立概念之间的有机联系，不能死记硬背，

要会解决问题。例如，初中数学中涉及到有关“式”的概念比较多，有“代数式”、“整式”、“单项式”、“多项式”、“同类项”、“分式”、“有理式”、“最简分式”、“二次根式”、“最简二次根式”、“同类二次根式”等概念，教师要针对这些概念编1至2个导学案引导学生弄清这些概念之间的联系与区别。我的做法是充分研究学情、考情，打破常规，突出重点。研究学情就是充分调查学生当前的知识基础，能力状况。主要是通过几次综合能力测试来分析确定。研究考情就是精心收集和整理近几年中考试题中对学生知识和能力的要求，做到有的放矢。打破常规，突出重点就是打破平时的按部就班的复习模式，注重知识的前后联系，和生活实际的联系，对学生已经懂的或容易懂的，引导自学，培养学生自学能力；对那些能力要求较高的知识点进行重点复习。平时的新课中也适当穿插复习，这样，最后真正用来专门复习所占用的时间就不多了，复习效率大大提高了。

二、强化与同行的集体备课是初中数学复习课有效性的根本保证

韦伯斯特曾说过：人们在一起可以做出单独一个人所不能做出来的事业。在备课时，我一个人的能力是有限的，只有充分发挥集体智慧，才能实现备课效益最大化。我们合作的模式是这样的：利用学校设立的集体备课时间，每次备课由一位老师召集，设主备人，但主备人不是包揽全部备课流程，而是相当于主持人，进行集体讨论，综合优化每位老师预先提供的备课方案，形成最优方案，确定实施。初中数学复习课集体备课的内容和平时新课集体备课的内容有本质的区别，复习课的集体备课充分考虑知识点内在联系，注重能力的培养，与生活实际的应用拓展等。我在备课时，把教学目标、重点难点、教学用具、教学内容、教学的评价反馈等统一整合到复习导学案上来。

三、精心编制复习导学案，确保上好每一节有效的初中数学复习课

复习导学案作为我上复习课时参照标准，导学案制定的好坏直接关系到这一节初中数学课的复习效率。复习导学案的主要内容包括：教学目标、教学重点难点、教学用具、教学过程、小结、评价与反馈等。

我的做法是，在整体上先自己编写，然后在每周的集体备课上和其他老师的进行整合优化，确定出最优导学案。在导学案的每一项的确定上都不能含糊。在确定教学目标时，要充分研究新课程标准对学生知识、能力、情感态度等的要求。在确定重点难点时，要结合研究的学情、考情，学生会的，易懂的，在复习活动中不作为重点，而突出那些对学生能力要求较高的一些的，在课程标准和考试中要求的知识点，作为复习活动的重点，并把这些知识点和生活实际相联系，提高学生解决实际问题的能力。在教学方法上，以活动为主，引导学生自主复习，坚决摒弃传统的单纯讲授模式。在教学用具的选择上，要求精心选材，精心制作课件，并加以统一。教学过程是重中之重，要求把无效的、低效的环节坚决去除，确保复习课的高效率。

四、用好用实复习导学案，有效提高复习课的教学效益

集体智慧凝结的导学案，为一节成功而有效的初中数学复习课提供了路线和方向，但具体效果还要在实践中进行运用来检验。我在实践中是这样做的：首先，作为一节课的引导和组织者，老师一定要把导学案上安排好的每一步骤了熟于心，上课时才能做到忙而不乱，提高时间的利用率；其次，严格按导学案的要求进行每一步，关注每一位学生，使每一位学生都能参与到活动中来，学生成功完成一个活动或环节就适时适当进行鼓励，增强学生的信心和兴趣。在复习知识点的活动中，要突出引导学生对知识点之间进行联系，引导学生有意识地把知识点和生活实践相结合进行思考；最后，在完成导学案的过程中不可避免会出现一些意外情况，老师要充满机智，灵活机动地运用知识去化解矛盾，引导生完成教学目标。对于导学案中应当堂完成的练习，当堂自主完成或讨论完成，当然，作为组织者应关注时间的安排。

五、做好导学案的批改、反馈、督查，确保导学案不流于形式