数学思维的主要类型精选(十四篇)

序言：作为思想的载体和知识的探索者，写作是一种独特的艺术，我们为您准备了不同风格的14篇数学思维的主要类型，期待它们能激发您的灵感。

篇1

关键词：高中学生；数学；思维障碍；成因；突破

中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2012）-06-0096-01

一、高中学生数学思维障碍内涵

思维是人脑对客观事物的反应，是一种大脑活动。人类大脑在接触世界时，会对客观事物进行信息采集和处理，然后进行逻辑思考，这一系列复杂的过程称为“思维”。思维障碍是指人脑对客观事物进行逻辑思考时，不能准确得出一般性结论（普遍真理），与正确的思维相比存在逻辑误区，无法形成正确的思维。同时，不能掌握正确的逻辑推理能力，无法学会既定的逻辑思考法则，也属于思维障碍。小学和初中教育阶段，数学学科重点培养学生掌握基本的数学法则和数学规律，形成一定的数学思维，高中数学相比之前的数学教育，存在一个明显的转型，由运算能力的培养转向数学逻辑能力的培养，因此，高中数学通过数学学科知识教育，如三角函数等数学定理等，来重点培养学生的逻辑运算能力。因此，高中学生数学思维障碍，实际上是一种逻辑思维障碍，没有形成正确的逻辑思维和数学思考能力。

二、高中学生数学思维障碍类型和成因

（一）高中学生数学思维障碍的类型。高中学生数学思维障碍，总体来说包含以下几种类型。首先是思维定势障碍，这种思维障碍源于学生在之前的理解中形成思维定势，无法接受其他的逻辑推理。其次是功能固定思维障碍，这种思维障碍使得自己的思维固定在一个方面，不能使思维发散和同类推理。第三是概念思维障碍，对概念理解不清、概念之间的混淆极易造成这类思维障碍。第四是兴趣思维障碍，也成为非智力思维障碍，主要源于学生兴趣的缺乏和对数学知识的主观排斥。还有其他的思维障碍，如经验型、干扰型等等。

（二）高中学生数学思维障碍的成因。上述几种思维障碍的类型，在形成原因上具有很强的相似性，并且促使某种思维障碍形成的原因有很多，有些甚至是相互影响的。但是，不同的思维障碍类型之间有着一定的差别，主要表现在思维障碍的形成过程上。因此，需要对数学思维障碍根本原因进行分析，然后分析不同类型思维障碍的形成原因。

1.逻辑推理方式引起的思维障碍。逻辑推理方式引起的思维障碍是数学思维障碍的根本原因（除去主观排斥因素）。实际上，高中数学思维障碍在形成因素上是一致的，即自身的思维存在误区，因此不能很好的接受正确思维的锻炼。人在接触世界时，会根据自身的情况对事物进行思考，信息量越多逻辑推理越复杂，因此每个人思考中利用的信息都是不一样的，这会使不同的人形成不同的逻辑推理方式，这是影响学生接受正确数学思维培养、形成数学思维障碍的最重要原因。

2.思维定势障碍的成因。思维定势障碍的成因是学生在之前接受的思维锻炼中，形成非常固定难以改变的思维定势，使他在接触其他的普遍规律时，无法将思维装换过来，即使这两种思维并非表现同一个普遍规律，但他任然无法跳出定势思维的影响，因此不能掌握其他的思维类型。比如在三角函数的学习中，sin=tan·cos，学生初中三角函数的学习当中已经接触到这个运算法则，因此形成了较强的思维定势，当他再接触cotA=cosA·cscA这个公式时，思维不能形成正确的转换，就如同形成条件反射一般，在逻辑推理上缺少一环，没有自己思考和转换的痕迹。

3.功能固定思维障碍成因。功能固定思维障碍在形成的根本原因上与上述的思维定势障碍的相似，都是逻辑推理和逻辑运算方面的原因。但是，功能固定思维障碍更在数学法则的应用上使学生思维受到限制，比如学生在学习余弦定理时，教师举的例子是测量地球半径，而当这个公式应用到其他方面的时候，学生就不能拿来解决问题了。功能固定思维障碍在于学生对事物的理解缺乏转换能力，不能看到两个相同事物之间的相同规律。

4.概念思维障碍的成因。概念思维障碍的形成也是一种逻辑能力的欠缺，表现为对概念的理解存在误区，或者理解得较浅显，无法对其深入理解。概念思维障碍，使学生在解题当中，往往只能解决与概念的叙述联系较紧密的题型，稍微一转变，或者反向推导，学生就不能正常应用概念了。另外，只能解决较简单直观反映概念的题，当两个概念或者法则综合起来时就不能进行正确的区分，也是概念思维障碍的表现形式。

5.兴趣思维障碍的成因。兴趣思维障碍，与其他的思维障碍相比既简单又复杂，简单是因为学生并非能力的欠缺或者逻辑推理不正确而形成思维障碍，复杂是一旦形成兴趣思维障碍，学生在主观上会对数学科目的学习存在抵触情绪，这种主观的情绪无法用技术手段解决。

三、高中学生数学思维障碍突破研究

上文中提到形成数学思维障碍的原因具有较强的一致性，因此不再针对不同的思维障碍进行分析，这里将探讨突破数学思维障碍的一般性原则。

（一）贯彻落实新课程改革要求。针对传统教育对学生能力培养方面的欠缺，党和国家提出新课程改革的要求。突破高中学生的数学思维障碍，就要贯彻落实新课程改革的要求，将学生置于课堂教学的主置，培养学生的自学能力和自我理解能力，数学思维障碍会在一定程度上得到突破。

（二）加强教学引导。加强教学引导，是指批判继承原先的高中数学教学模式，转变教学方法，对数学概念和数学法则的教学，采取更易于学生接受的方式。要做到这一点，教师首先应当研究高中阶段学生的思维特点，在他们本身思维特点的基础上采取相适应的教学方法。

（三）具体问题具体分析。不同的思维障碍在形成原因上有着细小的差别，因此针对不同的思维障碍，教师要了解它们的类型，并且弄清形成原因，然后具体问题具体分析，采取适合的方法进行引导。

分析高中学生数学思维障碍的成因和突破措施，有助于高中数学的教学实践开展和教学效果的提升。

参考文献

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关键词：思维类型；思维方法；原则

中图分类号：G640 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0113-02

“思维类型”是一个通用概念，大量学者都对其进行了研究。事实上，明确区分思维的类型对教育来说具有重要的实际意义。为了更好地指导大学生的学习，增强他们的创新能力，本文从新的角度对思维类型进行分类，从四种思维类型出发给出学生的学习方法，特别对数学思维方法展开讨论，最后再给出创造性思维的彻底性原则。

一、思维类型及其对教育方法的启发

一般来说人们思维分为下述四种类型：接受快且深刻，接受快但肤浅，接受慢但深刻，接受慢且肤浅。当然最好的是接受快且深刻这种类型，这种类型的人往往自小就表现出天才模样，他们大都被称为是神童。可惜的是，他们在赞扬声中成长，很容易养成骄傲情绪，久而久之他们就不习惯于“艰苦研究”，最后变成平庸之人。王安石的《伤仲永》写的就是这种情况。所以对第一种类型的学生，我们对他们的爱护首先就是不要多表扬他们（例如各地过分吹捧高考状元是不明智的做法），其次对他们要多加督促，让他们养成艰苦学习习惯。列宁小时候聪明异常，他往往很快就完成作业，然后就嬉闹不止。他的父母很担心，怕他今后不会踏实学习，除了教育他以外，还时刻注意他。有一次列宁看到他的妹妹坐在钢琴边，不停地弹奏一首乐曲，花了许多小时，才把它弹得正确。为此列宁感悟道：做任何事情，没有坚毅品质是不行的。列宁的父母知道这件事后才放心，他们知道列宁已经懂得养成勤劳习惯的重要性。第二种类型（接受快但肤浅）的人，他们平常的表现最容易使人迷惑：许多复杂的问题他们一听就懂，可是他们自己做起来却经常出错。他们的家长和老师都误认为这是由于“粗心”造成的，除了告诫他们要细心以外，家长、老师（甚至他们自己）对这种现象都不在意。举一个例子，初中学生刚学习有理数时，写负数时往往会遗漏负号，当你向他指出时，他立刻就知道是自己错了。人们大都认为这是粗心的原因，殊不知是他在他的意识里还没有真正接受负数这个概念，也就是说他虽然接受了负数概念（也许很快就接受了）但是却很“肤浅”，他的潜意识里并没有它的“真正”位置。因为引导学生思想深化是一件困难的工作，所以对于接受快但肤浅的学生，我们也许更应该留心。除了教育他们不要骄傲（这是由于他们接受快而造成的错误）以外，还要训练他们的思维，让他们养成深思的习惯。（顺便提一下，怎样培养学生养成深思习惯，如同怎样提高学生的写作能力一样，至今都尚未找到特别行之有效的办法）第三种类型，即接受慢而深刻，在某种意义上它才是最好的一种类型。领会深本是探索一切知识的必要因素，可是他具有这种优越品质而不觉，有时他还为自己接受慢而苦恼，这样他对学业从不掉以轻心，为了克服自己接受慢的缺点，他总是“笨鸟先飞”，这样在漫长的学习生涯中，他养成一种坚忍不拔的品质，这又是一个获得成功的必要条件。第三种类型的人“天然”地具备了成功的两个最重要的因素，所以大部分在学术上有成就的人都来自于他们。据说牛顿、爱因斯坦小时候都很“笨”，倘若真是这样，这便是上面论述最好佐证。另外的例子是真人真事，20世纪伟大的数学家吉伯特（1862—1943），他接受新的思想很慢，但一经接受，在运用和进一步发展这些思想上，就没有人能和他比拟了。至于第四种类型的人，虽然他们在学业上很费力，但他们的成功机率并不比第一、二种类型的人要少，甚至还要大于第二种类型的人。这种人只要不放弃努力，那么在他艰难的学习过程中，自然会养成一种深刻钻研的禀性，此是“勤能补拙”之谓也，这正是一切在学术上获得成就的人所要必备的主要品质。明末清初的一位历史学家谈迁，小时候很愚笨，记性差、反应慢，他对自己所读的书籍很难弄懂，他很苦恼，不过他锲而不舍，经常读书到深夜，由于长期的努力，他终于大彻大悟，从此他便突飞猛进，成为那个时代最有学问的人之一。金庸小说《射雕英雄传》里的郭靖大概就是这种类型人的最好写照。总之，无论是哪种类型都有成功希望，只不过有的开始要多费点力气而已。“聪明”并不是人成功的不可缺少的条件，最重要的是人的刻苦和坚忍，而且随着人们的成长，差的类型在不断刻苦努力下，也会迅速朝着最好类型转化，李白说“天生我材必有用”，是千真万确的。

二、数学思维方法和数学学习方法

在一切学科中，数学是一门最重要而且最奇怪的学科。它研究的问题似乎虚无飘渺，并不接触现实世界，但却有莫名其妙的大功效。麦克斯韦尔认为，研究问题时首先要引入数学概念，以他的名字命名的著名方程就是以这种方法推导出来的。狄拉克也认为，应该遵循数学方向前进，因为“正电子”也满足以他的名字命名的方程，所以他预言“反物质”正电子的存在，几十年后人们果然在宇宙射线里发现了它。也许最值得一提的是，陈省身的“纤维丛”几何学理论，竟然可以平行移动到杨振林的“规范场”物理理论里，对此杨振林感叹地说：数学家研究数学问题时，根本没有考虑到物理世界，而却能深刻地阐述世界，这真令人惊叹。如今关于物质粒子最新研究的“弦理论”也和数学家丘成桐的微分几何成就有密切关联。计算机科学和数学理论的关系同样也非常密切。就连过去一向被认为是最难找到实际用途的数论也在计算机科学里发挥着重要作用，例如大整数质因数分解定理丰富了密码学方法：RSA公钥系统，根据大整数的分解，它采用“公钥”和“私钥”技术。[1]由此可见，在数学上花费时间是值得的。一般人并不喜欢数学，他们或者认为数学枯燥无味，或者认为数学深奥难懂。在人们心目中，数学里只有推理，没有猜测；只有逻辑，没有艺术；只有抽象，没有直观；只有理性，没有想象。人们感到数学的结果是一步一步推出来的，没有过人的聪慧是不行的。然而，幸亏事实并非如此，否则我们的数学就不会兴旺到如它目前所示，它早就不会吸引任何一个有智慧的人。其实数学是一门融合了人类一切认识世界方法的学科，只是在它整理自己的知识时，才采取了“定义”、“定理”和“证明”严格方式，这是为了保证它的结论准确无误所致。但是这并未妨碍人们用其他方式获得数学知识，其实最伟大的数学家在他们思考问题时，都是凭借直观（甚至是最粗糙的直观）前进的，特别是当他们在做划时代事业时，更依赖直觉，甚至有时连逻辑也不顾。这在牛顿和莱布尼兹创立微积分时特别明显。本段叙述直接来自于文献[2]。明白了上面道理，我们建议：要在感性上下功夫，要理解数学精神实质，即要有数学质感。对数学的学习要运用人类一切认知手段，即实验、猜测、直观推理、试错法、合情推理和正统的逻辑推理；对于基本知识要有透彻了解，基本技能要熟练掌握。对于较难或者很难的题目，应该努力解决它，真正解决不了，也不要气馁，可以暂时放下，“历史总是带着问题前进的”；对一门数学学科，如果你感到对它的任何一个习题，只要有时间你就可能会做出，即使不会做，但对别人做出的看一眼就会，那么这门学科你就基本过关了，没有必要搞题海战术，这是我国著名物理学家严济慈的观点。

三、彻底性原则

创造性思维最显著的特征就是彻底性。欧氏几何里有一条平行公理：“在平面内过直线外一点，能且只能引一条直线和它平行”。但在欧几里德的《几何原本》里，很迟才引入平行公设，且叙述很啰唆，并不像上述的那样简练。后人怀疑欧几里德并不想把它作为公理，只是“证不了它”，才不得不把它作为一条公设采用。后来的数学家们跃跃欲试，用各种方法试图证明它，就这样证明了一千多年。不少人采用“反证法”，得出许多奇特结果，可惜他们认为“荒谬”，就匆忙下结论说，他们发现了矛盾从而证实了平行公设。只有高斯、鲍利埃、罗巴切夫斯基和旧观念，即认为“欧氏公理体系是唯一正确的”，彻底决裂，他们发现了非欧几何。高斯惧怕旧观念势力，鲍利埃患得患失，他们都没有发表他们的工作，只有罗巴切夫斯基勇敢地发表了他的成果。[3]同样，爱因斯坦相对论和量子力学也都是彻底摒弃旧有观念的好例子。旧有观念根植于人的潜意识里，人们很难发现它，更难突破它。诚如一位物理学家说，他花了好几年工夫才真正弄懂相对论，不是由于他知识的缺陷，而是由于他头脑里的固有观念妨碍了他的理解。他的话有助于我们理解突破旧观念时，坚持彻底性原则的重要性。只要是创造性工作，哪怕是很小的创新，实质上都是在突破我们潜意识里某个旧有观念。希望有所创造的人，对此不可不察。

对思维类型做深入的反思和研究，可以及早发现学生的思维特点，进而就可以给予学生有效的指导和引导，并且我们还要鼓励学生创造性思维，努力攀登科学的顶峰。

参考文献：

[1]Michael Sipser.计算理论导引[M].张立昂，黄雄，译.北京：机械工业出版社，2000.

[2]王健吾.数学思维方法引论[M].合肥：安徽教育出版社，1996.

[3]斯科特.数学史[M].侯德润，张兰，译.桂林：广西师范大学出版社，2002.

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教学原则是教学实践经验的概括总结和指导教学工作的一般原理。从教学原则的角度出发，中学数学实验教学原则主要以培养学生创造性为主，探讨适合中学生的教学原则。1．1量力性原则。在教学中，中学数学实验的实验知识应该适应学生的现有的知识水平，一般在不需要学量新知识，又符合学生现有知识的认知水平的前提下，就可以精设数学实验来进行教学。1．2实用性原则。数学实验的培养目的之一即为培养学生的实践能力。在数学实验的教学中，应尽可能的选编实际应用的数学问题，培养学生的实践能力，增加学生的学习兴趣，给予学生创造的机会。1．3开放性原则。培养学生的创造性思维能力是数学实验的一大功能。在日常教学中，选择的实验课题以有多种求解方法为宜。学生在对实验课题的研究的过程中，可提高思维的发散性，培养他们的创新能力。

2中学数学实验的设计类型

因实验目的、涉及的知识、应用的技术手段等不完全相同，因此，中学数学实验设计类型的分类也迥然不同。常规上，将中学数学实验设计类型分为以下四类:第一类，依据数学知识素材划分，有几何、解析几何、代数、三角实验以及概率统计实验等。例如:用多个矩形面积逼近不规则多边形面积的过程可划为几何实验，解析几何实验有求圆锥曲线中的轨迹方程，圆周率的计算实验可以作为代数实验。第二类，按照数学实验的任务不同，可分为体验实验、计算实验、计算实验和应用实验，进行弧度概念测量实验、球面距离概念实验都是体验实验。第三类，按照实验中使用的不同实验工具，可以分为色字实验、折纸实验、算法实验和计算机实验等。比如用计算机软件的测量、绘图和演示进行实验。第四类，依据需求不同来区分。依据实验所用数学原理、思想方法的不同可将数学实验设计类型分为逻辑确定型、随机模拟型等。如:简单高次不等式解法的探索可视为逻辑确定型的实验，而对幂函数图象性质研究的实验即为随机模拟型的数学实验。

3中学数学实验的内容选取

中学数学实验有别于物理、化学等实验。数学实验以思想为主要材料，而不是物质。作为专门研究课程的数学实验，主要强调自主探索和应用实践，以学习数学学习方法，培养发散思维，提高创新能力为根本目的。而作为数学教学辅助工具对的中学生数学实验，其主要目的为采用相关数学技术和数学知识，来突破在传统数学教学中的重点和难点。然而，无论是作为专门研究课程的数学实验，还是作为数学教学辅助工具的数学实验，在其实验内容的选取上都应该注重典型性、启发性、针对性、趣味性、实用性和可扩展性，克服传统数学课程中只注重数学知识的系统性、连续性和层次性的弊端。3．1典型性:数学实验不可能涵盖所有的数学知识点。在进行教学设计时，应选取具有典型性的点，并进行举一反三，达到触类旁通的效果。而对于典型问题的处理上，也应采用“与之相适宜”实验方法，如数形结合问题中，采用《几何画板》进行数学教学，化静为动，在动中观察并体会，使学生对于知识的认识更鲜活深刻。3．2启发性:启发性是各科教学的灵魂，启发性在数学上的作用尤为突出。在数学实验中，采用计算机技术，可创设各种问题情境。并采用多种手段，启发学生的思维。如在学习对称图形和中心对称时，利用数学实验能充分展现具备对称性的图形的特征，通过动态实验过程可将轴对称和中心对称的特点充分展示，具有启发性。3．3针对性:在中学数学学习中，极限、渐近等问题非常抽象，针对此类实验，可利用计算机的优势，针对研究的问题，设计专业的计算机实验方案，不仅增强了问题的目标性，也可使抽象问题形象化。在形象理解的基础上，再实现更多的问题的抽象，从而建立起对抽象概念的理解。此外，因学生的个体差异性，也可针对不同的学生群体，设计适合该群体的实验，因材施教。3．4趣味性:折叠、旋转、截面、展开、空间等问题是传统数学教学的难点，但通过数学实验，特别是在计算机环境下，利用《几何画板》等软件，则能调动课堂气氛，增强学习的趣味性，实现学生的自主学习，进而较容易的突破难点。一个好的数学实验，设计出合理的实验题目是关键。数学实验中教师最重要的任务就是综合上述原则，选取好实验内容。此外，需要注意的是，虽然近几年中学数学实验已得到部分教育工作者的重视，但对于中学数学实验的研究与推广远远不够。因此，数学教育工作者有义务也有责任不断深入研究中学数学实验相关问题，并将理论研究应用到实际教学中，让学生从中收益。

作者:沈林 庞留勇 单位:黄淮学院

参考文献:

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关键词：数学思维方法；探究性学习；思维方法的培养；教学策略

中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1673-0992（2010）11-0000-01

一．数学中几种重大的思维方法[1]

(1) 算术向代数的发展算术与代数是数学最古老的分支，是内容与形式的结合。从思为发展的过程来说，从算术思维向代数思维的过渡，是中学数学与小学数学的质的飞跃。从这种意义上说，过分追求算术思维的难度不仅对培养学生学习兴趣、数学爱好不利，而且对未来代数发展也毫无必要。

（2）几何学的发展与代数化几何与代数的结合，是数学发展的重要一步，它所表现的数学方法是数学中重大的方法之一。其中，数量的关系表示了一个直观或抽象的几何模型，而这种直观或抽象的几何模型能够帮助人们从不同的角度，不同的层次来实现对现实世界的理解和认识。

（3）常量向变量的发展――无限的数学思维将有限、无限、运动、静止这些描述事物变化的哲学范畴，在今天赋予了数学的具有确切内涵的表达。数学的确定化、逻辑化以及有关无限的思维方式不仅带动了数学的发展，实际上也影响了整个人类的思维方式。

（4）概率论――随机现象的数学思维随机现象的研究，不仅推动了原有的必然性数学理论的发展而且使人们对世界的客观规律的变化有了更深刻更全面的认知理解。

（5）模糊数学的数学思维方法 数学思维不仅能考察偶然的随机事件并找出在它背后的规律而且可以把模糊不清的中介状态给出明确的数学表示。模糊数学的思维方式扩大了数学的应用领域，不仅在自身的领域非常重要，更重要的是在有信息革命之称的计算机领域。它大大提高了计算机模糊识别、模糊选择、模糊决策的能力。

二． 数学思维方法培养

从数学发展的意义上来说，数学作为一种源于社会实践的理性构造的学科，有很强的现实性和可操作性。Mezirow(1991)认为思维是一种对问题解决方案的批判和检查过程，主要对问题方案的前提、内容和过程进行审查，以学会合理的解决问题[2]，我们从以下几个方面进行说明。

2.1数学思维方法严密性的培养

对题目进行深刻分析，解决某类问题过程中，一般情况下，学生的信息源提取是并不完善的，探究问题的出发点仅仅停留在某种形式或内容上，不善于变化，缺乏多角度去思考问题，遇变、求变的情理准备不足，由此造成的思维错误，学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯而忽视了其他的思考方法。思维不全面，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面多角度去探索问题、解决问题的途径和方法。

2.2 化归的数学思维方法的培养

化归的数学思维方法是把一个数学问题转化为另一个比较容易解答的数学问题，然后再加解决的数学思维方式和数学解题方法，它是一种广泛应用的数学方法。主要有等价变形、恒等变形、同解变形和参数变形的方法来把复杂的数学问题简单化。

2.3反思型数学思维方法的培养

研究人员将同的反思类型思维方法的培养分为三种类型，一是在别人帮助下进行的反思性教学，主要以他人的反馈信息展开反思，如学生对照同学的不同意见或教师对照专家观点，检查自己的思维和成绩；二是没有帮助进行的反思性教学，主要围绕“解决问题"过程展开反思；第三种类型就是，深层意义的个人领悟，不仅对问题的解决进行反思，还要问题的产生根源进行追根问底[3]。正如，荷兰著名数学教育家弗赖登塔(H．Freudenthal)教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”、“通过反思才能使现实世界数学化?”。他认为反思是数学创造性思维的重要表现，它是一种高层次的数学创新活动，是数学活动的动力[4]。知识并不是固定不变在那里等待被发现的，只有通过不断地反思，它才能得以不断地扩展和生成[8]。对于知识的学习，需要反思使合理的行动具有自觉的目的，使行动具有深思熟虑和自觉方式，使学生在头脑中形成的问题成为自己的问题，从而引起他的注意：反思能预先进行有系统准备，建构一个良好的学习习惯。

新概念并不能保证被学生真正的接纳，为此教师引导学生通过概念图的帮助，把已知的和未知的建立联系，便于学生同化或顺应的吸纳新概念。只是这种联系的认识有正误之分，需要教师及时的关注加以纠正，但值得强调的一点是概念图中的联系必须由学生自己完成，教师不能越俎代庖。

最后对于概念的巩固与应用中，要鼓励学生尽量用数学概念解决问题，其实就是教会学生用数学新概念所对应的数学语言和数学思想方法进行思考。如指数函数概念建立以后，就应该将生活中的指数问题熟练的转化为形如y形式加以思考，既巩固了概念又为后面对数函数的学习提供了一个很好的反思性生长点。

希尔伯特曾这样说“在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的概念，眼下要解决的问题不过是一连串有关问题的一个环节[5]。”

所以我们要在日常教学中抓基础，注意平时点滴。

三．结束语

关于中学生数学思维方法培养研究是一个庞大的研究课题，本文仅从三个方面概述了如何对中学生数学思维方法的培养，其中反思型思维方法的培养我对其进行细致的描述其目的在于反思型思维方法不仅适用于任何年龄段学生的学习而且不需要过多的设备简单易行而且效果显著，别适合教学设备不先进的地区。

参考文献

[1] 王宪昌．数学思维方法[M]．北京：人民教育出版社，2002，61-83．

[2] LyDavid Kembet，Alicejoens，Alice ioke，Jan mckay，Kit Sinclair，Haxfison tse，Celia webb．Frances wongand Ella yeun，Determining the leve of eftive thinking from students witten journals using a coding scheme based On the work of Meizirow[M]．Interntional jouranl of lifelong educatioru January-Fcbmary 1999,VoL．18,NO．1,18-33．

[3]胡宁一．培养反思型教师是教师教育的重要任务[J]．课程・法教・材效，2006,5(1): 67-70．

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关键词：数学教学；思维训练

数学教育要给予每个人在未来生活中最有用的东西。因此，我们在数学教学中不能把目光停留在数学知识的讲解和解题方法的运用上，而应以它们为载体，加强对学生思维能力的训练。

现代教学论认为，数学教学是数学思维活动的教学。数学教学培养的是学生的思维习惯和思维品质，是数学思维教育素质化的重要内容。思维培养的成功与否将直接影响数学教学质量的提高，影响着中学数学教育改革的深化与发展。

数学思维是人脑和数学对象(空间形式与数量关系)互相作用并按一定规律产生和发展的。数学思维的种类有很多，从具体形象思维到抽象逻辑思维，从直觉思维到辨证思维，从正向思维到逆向思维，从集中思维到发散思维，从再现性思维到创造性思维，从中体现出了多种多样的思维品质。如思维的深刻性、逻辑性、广阔性、灵活性、创造性、发散性等。我认为，高中数学教学中主要应通过对学生思维品质的培养达到提高思维能力的目的，具体体现在以下几个方面：

一、注重对基础知识、基本概念的教学

高一学生，从初中数学到高中数学将经历一个和很大的跨度，主要表现在知识内容方面的衔接不自然，对高中数学抽象的数学概念、数学形式极不适应。比如第一册第一章的集合与简易逻辑，表面上看似很简单，而实际运用中却不能准确把握那些用集合语言所描述的题目含义。再如第二章函数，这是高中数学中的重点内容，教师会花很大的精力去讲授，学生会都会下很大力气来做题，结果却不如人意。学生做题时主要是在解具体题目时很难与基本概念联系起来。如经常遇到的二次函数问题，有时是求值域，有时是解方程或不等式，学生感到茫然。我把它们统一在一起，强调二次项系数对称轴、判别式等几个因素，帮助学生克服了思维的无序性。这一章内容是思维方法从直观到抽象、从离散到凝聚的过渡，是训练学生思维深刻性和广阔性的重要阶段。

二、加强数学思想方法的渗透

高中数学的四大数学思想和十几种数学方法是教学的关键与灵魂。一是解题的方法。为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中应结合具体问题，教给学生解答的基本方法、步骤。二是数学思想方法。思想方法把不同章节、不同类型的数学问题统一了起来，如数形结合思想培养了思维的形象性、创造性，化归思想提高了学生的灵活性、辨证性等。如换元法是一种常见的变形手段，它不只限于解某一章或某一类的问题。注重对这些思想方法的渗透，可以提高学生归纳总结及联想能力，将数学知识和方法的理解提高到一个新的阶段，这对思维品质的培养十分有益。

三、挖掘数学例题习题的功能

在高三总复习时，教师往往注意培养学生的综合能力，注重一题多解，一题多问的形式练习，向学生讲解大量的习题与解题方法。但学生常常是被动接受，教师给的越多，思维越混乱，结果适得其反。这一时期，教师除了精选习题，重点讲解之外，更要在讲授方法上有所创新。在讲解习题时应注重以下原则：

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关键词：初中数学；优生；学习策略；教学方法

由于我国人口众多，教育资源显得尤为短缺，义务教育阶段尤其是初中教学阶段大多采取“大班制”的教学方式，甚至个别地区一个班级的学生多达八九十人。由于学生学习习惯、学习能力和教育背景存在较大差距，如果采取统一的教学方式会使数学优生产生“吃不饱”的感觉，在课堂上几乎不听讲，这都不利于学生的全方面发展。

1初中数学优生教学现状

1.1关注度不够

根据调查研究数据显示，初中数学教师将教学的重心放在中等学生身上，课堂上讲解的内容、习题等大多针对中等学生，对数学优生的关注较少。由于优生的学习能力较强，教师在课堂上所讲解的内容在短时间内即可掌握，教师安排的教学内容远不能满足优生的学习需求。另一方面，教师在设置课堂问题时主要针对班级内的大多数学生，问题难度和广度都不深，课堂问题和作业难度对于数学优生来说没有针对性。初中数学教师的上述做法久而久之会让数学优生丧失学习数学的兴趣，课堂上出现不认真听讲、不及时完成练习等情况。

1.2数学优生类型不同

数学优生分为不同类型，主要由出类拔萃型数学优生、兴趣驱动型数学优生以及刻苦努力型数学优生三部分组成。出类拔萃型和兴趣驱动型数学优生对数学学习的兴趣更为浓厚，内在动力也更强。但刻苦努力型数学优生学习动机主要来自升学压力或满足自身的荣誉感，学习兴趣未必浓厚。无论是学习方式上还是学习习惯上出类拔萃型和兴趣驱动型的学生都要优于刻苦努力型优生，因此在教学时也应当采取不同的教学策略，满足不同种类数学优生的需求。

2初中数学优生的学习策略和教学对策

2.1加强情感交流

数学优生的学习能力和对知识的领悟能力要强于普通学生，教师在教学时既要以多数学生为主，同时还要兼顾少部分的优生，以提高整个集体的数学水平。因此数学教师应秉承“激励为主、加强交流、构建情感教学”的教学原则。初中学生正处于青春期，较为敏感，教师如果不加大对学生情感的投入，会让学生产生逆反的心理。因此教师在教学过程中可以通过提问的方式与学生充分交流，帮助学生领悟数学知识的内涵。交流的过程既是教学的过程，同时也是进行情感教育的过程，可以让学生直观的感受到来自教师的关爱。此外，还要加强优生与优生之间的交流沟通，让这部分学生在学习过程中感受成功的满足感和自豪感，继而激发优生强烈的学习兴趣，提高优生的学习成绩。

2.2备课的基本策略

备课作为教学的重要组成部分，在整个教学过程中具有重要意义，只有充分备好每一节课，才能达到理想的教学效果。在备课过程中既要考虑满足绝大多数学生的教学需求，还要兼顾部分数学优生，主要从备教材、备学生以及备教学形式三方面入手。首先是备教材，教师在具体备课之前需要全面掌握教学大纲，了解教学的重点和难点，从教材着手进行教学设计。教学内容最好贴近学生生活，让学生在学习过程中体会数学的乐趣，问题和习题的设置要有一定的梯度，满足不同层次学生的基本需求。其次是备学生，作为教学的中心教师要充分了解每一位学生的数学思维、学习能力以及学生的个性，从学生入手选择教学方法和教学策略。更要加大对数学优生的关注度，全面提升这部分学生的学习效率。最后是备教学形式，不同类型的优生偏爱不同的教学形式，出类拔萃型的学生喜欢独立思考，教师只需简单的辅助和指导即可。兴趣驱动型优生喜欢一起探讨，教师可在课下或部分课堂时间与学生探讨数学问题。刻苦努力型优生对教师有一定的依赖性，希望每个问题都能得到详细的讲解，因此教师要加大对刻苦努力型优生的关注度。

2.3课堂教学的基本对策

三种不同类型的优生学习需求方面存在较大差异，因此教学内容、提问方式和练习题目也应有所差别。第一是教学内容方面，即便是同一个问题教师对优生的要求也会有所差别，对于刻苦努力型优生而言，只需要掌握所有的基础知识和基本技能即可。而对于其他两种类型优生来说，他们的思维更加敏捷和开阔，因此对这两种类型学生的要求也更高，以便更好的激发这部分学生的学习兴趣。第二是提问方面，在对刻苦努力型优生提问时要更多的联系生活实际，让他们感受到数学知识的作用和意义，从而激发这部分学生的学习兴趣。对于其他两种类型的优生而言，提问的问题最好以发散型和创新型为主，以拓展这部分学生的思维。第三是课堂练习方面，教师在选择课堂练习题目时就要做到心中有数，理清哪一层次的学生适合哪一类型的题目，尽量选择有梯度的练习以适应所有学生。当然，教师也可以选择几道思考题或附加题，满足优生练习的需求。为了丰富教学方法，教师可以让优生上台进行知识讲解，让优生在讲解的过程中加深对知识的感悟和理解，同时还能增强优生的学习兴趣。

3结束语

教师作为教学的重要主体，在整个教学活动中占有重要地位。初中数学优生作为一个特殊的群体，教师需要加大关注力度，从数学优生的需求出发开展针对性的教学活动。教师应从教学的每一个环节出发，真正落实因材施教，全面提高初中数学优生的学习效率，促进优生全面发展。

参考文献：

[1]陈巧云.如何辅导初中数学“学优生”[J].语数外学习（初中版・上旬刊），2014，（2）：76.

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    科学合理的分类将有助于我们了解初中数学实验的基本形态,有助于我们设计适合学生的、具有可操作性的数学实验,也有助于我们顺利实现教学目标.

    一、关于初中数学实验类型划分的概述

    初中数学实验,由于其实验的内容、目的以及实验所采取的工具等因素不尽相同,分类的方法与标准也呈现各自的特点.当下,关于数学实验的分类大致有以下几种.

    (一)按照数学知识素材来划分

    初中数学实验可分为数与代数实验、图形与几何实验、统计与概率实验、综合与实践实验等等.甚至可以根据更为具体的知识素材来分类.例如:有理数实验、代数式实验、图形的运动实验、特殊角的实验等等.此种分类方法的特点是,通过实验课题,我们便可了解实验的大概内容,适合作为章节实验,但对于实验的目的、实验的手段等其他信息则体现较少.

    (二)按照实验的目的来划分

    初中数学实验可分为验证性实验和探究性实验.验证性实验是通过实验操作、观察、记录、分析等手段检验一个数学判断或结论真伪的实验.探究性实验是通过实验来探索、回答一个对学生来说尚不知道答案的数学问题,一般只提供实验的课题.这两种实验有显着的区别:(1)验证性实验在学习完概念、原理之后,是对概念原理的分析和讨论,耗时一般较少;探究性实验则安排在概念原理的学习之前,为发现、提出概念原理埋下种子,用时一般较多;(2)验证性实验一般用于验证所给结论,实验在一定程度上是结论的附庸;探究性实验一般开始于一个有刺激性和探索性的问题,实验的过程受未知探索结果的吸引,对学生的兴趣和积极性要求一般比较高,有利于培养学生的数学情感和数学态度;(3)验证性实验中,教师往往是引导者、评论者;探究性实验中,教师往往是倾听者和提问者,教师和学生在探究性实验中遇到的挑战较验证性实验多.

    此种分类的特点是,操作者对于实验的性质比较明确,在实验实施的过程中目标清晰,能更好地掌控课堂,做到收放自如.

    (三)按照数学实验的实施场所来划分

    初中数学实验可分为随堂实验、实验室实验和课外实验等.随堂实验是指穿插在课堂教学过程中的数学实验.随堂实验的特点是内容短小,使用的工具比较简单,学生能在较短时间内完成,直接为随后的数学主题服务.随堂数学实验设计的主体一般是教师,学生和教师都可以成为实施主体;实验室实验一般是指围绕一个数学主题,需要在专门配置的“数学实验室”组织的实验.实验室实验一般内容较丰富、过程比较长,具有一定的思考性和探索性.一般需要制定实验计划,在实验室借助专门的工具和材料或者计算机及专用数学软件进行操作实验,要求学生观察现象或记录数据,分组讨论实验中所出现的现象或对数据进行分析处理,得出一个结论,并给出合理的数学解释,最后写出完整的实验报告.实验室实验的设计主体可以是教师,也可以是学生,但实验的主体一定是学生;课外实验是指学生在校外借助社会场所、资源、工具等开展的数学实验.这类实验的特点一般具有开放性、探索性、生成性.实验的内容可大可小,实施的时间可长可短.课外实验的设计主体原则上是学生,实施的主体则一定是学生.

    此种分类方法的特点是,有助于教师认清数学实验的外部环境特点和实施的主体,能根据实验内容的大小和时间的长短、实验所需的场所和工具,来设计和选择恰当的数学教学形式开展数学实验.但这种分类方法也适用于其他学科,不具备数学学科的特殊性.

    (四)按照实验工具来划分

    初中数学实验的显着特征是实验工具的多样性,概括起来有两大类:实物直观和计算机.实物直观又包括很多,比如纸、三角板、扑克牌等.因此,依据数学实验所使用的工具来区分,可以分为计算机实验、折纸实验、火柴棒实验、三角板实验和骰子实验等等.

    此种分类方法的特点是,对于实验所需要的工具一目了然,但分类过于宽泛、笼统,对于实验的内容、实验的目的往往不够明确.比如借助计算机来实现的实验内容非常多,有图形的运动、图形的平移、圆周角的性质、一次函数的性质等等.此外,在一个实验中,往往所选用的实验工具不止一种,而被划分为不同的实验类型,也缺乏合理性.

    (五)按照实验手段来划分

    初中数学实验可分为手工操作型、软件运用型、数学建模型和思维活动型.(1)手工操作型实验.通过动手操作,在教师指导下对数学的定义、定理、公式、法则等进行验证或发现的小型实验.这种实验一般易于操作,器材容易准备,占用时间不多,可以在课堂上或课外随时进行.比如学生只要用一个纸质等腰三角形,动手通过对折就可以得出等腰三角形的性质,也可以用一些硬纸皮做立方体的表面,然后沿某些棱剪开平铺,从而探究立方体图形的展开图等等.(2)软件运用型实验.该类型的实验主要是借助计算机,利用数学软件来实现的,如可以利用“几何画板”的画图功能,来探究函数、几何图形的性质,也可以借助计算机完成数值计算等.(3)数学建模型实验.数学建模是数学实验的一个重要组成部分.此类实验更多的是解决生活中的实际问题,将生活问题利用数学建模,抽象成数学问题,这种实验可以是课内实验,也可是课外实验,对学生的要求较高,需要学生有较扎实的数学功底和较强的实践能力.(4)思维活动型实验.思维活动型(思维实验)是指不借助实物工具,只在头脑中模拟实验的全过程,并通过思维活动检验实验的可行性,从而得出结论的思维活动.思维活动型实验还包括对实验对象或条件的理想化实验,这类实验一般适用于对问题的定性分析或对某一实验操作过程的思维重现.

    此种分类方法的特点是,概括较为全面,但分类中有交叉,比如在数学建模型的实验中,既有手工操作的案例,又有一些是软件运用型实验,范围界定不够清晰.

    二、初中数学实验的基本类型及其分析

    数学实验最重要的两个因素是实验目的与实验工具.实验的目的是实验要完成的教学目标,是实验的最终归宿.而实验的工具是实现实验目的的有效手段,是实现教学目标的有力保障.因此,本文将从实验目的和实验所采用的工具两个维度来划分初中数学实验的类型.实验目的概括起来有三种:验证、理解和探索.初中数学实验具有工具多样性这一特点,为方便讨论,本文将数学实验工具概括为两类:实物模拟和计算机模拟.于是初中数学实验可以分为六种基本类型,即实物验证型、实物理解型、实物探索型、计算机验证型、计算机理解型以及计算机探索型.

    (一)实物验证型

    实物验证型实验,顾名思义是建立在实物直观上的验证型实验.该类数学实验,可以帮助学生通过实验检测、验证已得结论或猜想的正确性,从而在实物直观的基础上获得数学知识的理解.其一般步骤为:提出问题——动手操作——观察分析——验证结论.

    观察是思维的入口,感性认识的开端,人们认识客观事物总是从观察开始.首先观察数学现象,得到一些感性材料,再经过分析概括,演绎推理等对这些材料进行加工处理,从而上升到理性认识的高度.由于中学数学教学内容大部分是初等数学,许多数学概念、命题都有其产生的直观背景,因此,它仍是中学数学实验教学的一种主要实验形式.利用实物或数学教具进行实践操作,在真实环境中进行数学实验,是一种有效的学习方式.

    实物验证型实验的特点是:直观,思维起点低,操作简单.

    例1 “平方差公式”的验证.

    实验目的:验证“平方差公式”.

    实验工具:如下页图1所示形状的纸片一张,剪刀.

    实验步骤:

    (1)给学生分组,小组合作求图形的面积;

    (2)小组代表发言,学生的方法概括起来以下有两种:

    ①整体法:大正方形的面积减去小正方形的面积,得到式子.

    ②割补法:将图形剪裁后再拼接,得到矩形(如图2),进而求得面积(a+b)(a-b).

    (3)由同一图形的面积相等得到公式(a+b)(a-b)=.

    (二)实物理解型

    实物理解型实验,是借助实物直观,以学生理解数学概念、定理等数学知识为目的的数学实验.此类数学实验通常是在人为干预实验对象的条件下进行的.借助对实物直观的操作,深刻理解数学概念、原理等.这类实验在初中数学实验中占有相当大的比例.它主要通过学生对实验材料的“数学化”操作来实现对数学概念、原理和事实的接受和理解.

    实物理解型实验的特点是:实验情境贴近生活,实验过程操作简单,便于学生理解.

    例2 “摸棋子”实验.

    实验目的:通过“摸棋子”实验深刻认识、理解概率.

    实验工具:围棋、不透明的布袋(分为大小两种)、计算器、作图工具、纸、笔等.

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【关键词】小学数学；应用题；教学；教师

一、强化基础训练，掌握数量关系

基本的数量关系是指加、减、乘、除法的基本应用，比如：求两个数量相差多少，用减法解答；求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答；求一个数的几倍是多少，用乘法解答等。任何一道复合应用题都是由几道有联系的一步应用题组合而成的。因此，基本的数量关系是解答应用题的基础。在复习时，我特意安排了一些补充条件的问题和练习，目的是强化学生的基础知识。使学生看到问题立刻想到解决问题所必需的两个条件；看到两个条件能迅速想到可以解决什么问题。在此基础上再出些有助于训练发散性思维的练习题。如给出两个条件：甲数是10，乙数是8，要求学生尽可能地多提出些问题。练习时，先要求学生提出用一步解答的问题，如“甲数比乙数多多少”、“乙数比甲数少多少”、“乙数占甲数的几分之几”等。然后再要求学生提出用两步解答的问题，如“甲数比乙数多几分之几”、“乙数比甲数少几分之几”、“乙数占两数和的几分之几”等。对于常用的数量关系，复习时我还采用给名称让学生编题的练习形式。如已知渭酆妥芗郏编求数量的题目；已知路程和时间，编求速度的题目等。通过这种形式的训练，使学生进一步牢固掌握基本的数量关系。为解答较复杂的应用题打下良好基础。在编题训练的过程中，还要注意指导学生对数学术语的准确理解和运用。只有准确理解，才能正确运用。如增加、增加到、增加了，提高、提高到、提高了，扩大，缩小等。发现错误，及时纠正。对易混的术语，如减少了和减少到等要让学生区别清楚。

二、综合运用知识，拓宽解题思路

能够正确解答应用题，是学生能综合运用所学知识的具体表现。应用题的解答一般采用综合法和分析法。我们在复习时侧重教给分析法。例如：李师傅计划做820个零件，已经做了4天，平均每天做50个，其余的6天做完，平均每天要做多少个？分析方法是从问题入手，寻找解决问题的条件。即：①要求平均每天做多少个，必须知道余下的个数和工作的天数（6天）这两个条件。②要求余下多少个，就要知道计划生产多少个（820个）和已经生产了多少个。③要求已经生产了多少个，需要知道已经做的天数（4天）和平均每天做的个数（50个）。在复习过程中，我注重要求学生把分析思考的过程用语言表述出来。学生能说清楚，就证明他的思维是理顺的。既要重视学生的计算结果，更要重视学生表述的分析过程。

三、系统整理归纳，形成知识网络

在应用题复习中，一题多解是沟通知识之间内在联系的一种行之有效的练习形式。它不但有助于学生牢固地掌握数量关系，而且可以开阔解题思路，提高学生多角度地分析问题的能力。例如：一个修路队，原计划每天修80米，实际每天比原计划多修20%，结果用12.5天就完成任务。原计划多少天完成任务？可有下列解法：①80×（1+20%）×12.5÷8=15（天）②12.5×（1+20%）=15（天）③设计划用x天完成。80x=80×（1+20%）×12.5x=15④设原计划用x天完成。80∶80×（1+20%）=12.5∶xx=15

四、进行同类题型归类，并有针对性的进行训练

小学的数学应用题可以分为若干种类型，比如鸡兔同笼问题等。如果教师能够对这些应用题进行同一类型的归类，并针对一个类型进行反复的习题训练，那么学生就会对此类型题有一个全面深刻的认知。当然我们这里所说的有针对性的训练并不等于题海战术，题海战术主要指对学生进行习题的量的训练，使得学生形成思维定式，从而提高答题的正确率，这种教法不能够适应目前的素质教育，相反学生在反复的练习中会失去对学习的兴趣，最终出现逆反心理，教育就会事倍功半。而同类型题的归类，则是让学生对同一类型数学应用题形成了一个全面系统的认识。小学生的理解能力比较低，教师适当的进行同类题型的归类，既有助于学生解决数学应用题，同时也有利于培养学生的归类思想。有助于以后的各科学习。

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关键词：地理教学；简单数学思维模式；地理逻辑思维能力

在中学地理教学中，地球运动、等值线地图等教学难点常常是老师费尽九牛二虎之力，效果却总是不尽人意，而且这些难点不同老师处理方式不同，学生掌握起来难易也明显不同，本人长期在教学第一线，并听取了同行的大量公开课、竞教课、考调课，总结出了“巧用简单数学逻辑思维模式轻松突破中学地理教学难点”的心得，也可理解为用地理逻辑思维轻松突破，并在长期的教学实践中不断验证和完善，效果良好，现阐述如下：

一、简单数学逻辑思维模式原理

有的同学看到数学逻辑思维模式，就被吓着了，其实我们这里说的数学逻辑思维模式非常简单，就是连小学生都会的简单逻辑推理，常见形式表达如下：

（一）逻辑Ⅰ（最简单）：

如：中国首都北京（40°N，116°E）

（二）逻辑Ⅱ（最灵活）：

如： 3+2=？ ，3+？=5； ？+2=5

实质：三个条件，任意已知两个，求第三个

推广：四个条件，任知三个，求第四个

二、巧用简单数学逻辑思维模式轻松突破地理教学难点运用实例

（一）逻辑Ⅰ数学思维模式在地理教学中的运用

逻辑Ⅰ其难点主要体现在地理知识的综合性，不同地理要素间联系十分密切，关键是在平常的学习中要理清各知识间的逻辑联系，才能做到一环套一环的推导，推出需要的条件，从而完成题目。逻辑Ⅰ在区域地理中的运用就能充分说明：考题中最常见的就是定位，位置一定，一系列的自然特征和人文特征就逐一推导出来了。

（二）逻辑Ⅱ数学思维模式在地理教学中的运用实例

若在地理教学中能很好地运用逻辑Ⅱ数学思维模式，地理教学的很多难点将会迎忍而解，地理教学中有很多难点知识的实质就是逻辑Ⅱ的思维模式，可惜很多老师都没能把这些难点转化为逻辑Ⅱ的思维模式去教，更不要说学生了，于是就导致学生常常学一类型，就只会这一类型，稍一变化就又做不来了，学生总感觉变化无穷一样，而逻辑Ⅱ数学思维模式才是真正把握了这些难点的实质，掌握了这种思维方式，一切变化就在掌握之中，就能触类旁通、灵活运用。本人在长期的一线教学中分析了大量地理难点的实质，很多都能转化为逻辑Ⅱ数学思维模式，既把握住了实质，又能灵活运用，收到事倍功半的良好效果，受到学生的高度认可。逻辑Ⅰ与逻辑Ⅱ的联用又使很多难题变得更加灵活，现举两个典型的实例运用加以说明。

1、用逻辑Ⅱ数学思维模式轻松突破地球自转意义和公转意义。

（1）昼夜更替：昼夜更替看似自转三个意义中最好理解的，最简单的，其实变化是最灵活的，充分体现了越简单越灵活的特点，很多老师都没把昼夜更替讲透，导致学生不会做日照图的题，或学一类型，就只会这一类型，更谈不上灵活变化了。如果按逻辑Ⅱ数学思维模式来讲解，将会取得意想不到的效果。从逻辑Ⅱ的思维模式理解为：三个条件，任知两个，可推出第三个，如下图。

我们这里暂时把这三个条件自命名为日照图三要素：自转方向、光照方向、晨线（昏线），尽管日照图有正侧视、正俯视，侧俯视、示意图等各种变化，但都离不开这三要素，奥妙就在于三个条件，任知两个，可推出第三个的变化。

（2）时差：由于地球的自转，全球产生了时间差异，对于时间的计算，也常常是教学的难点，从逻辑Ⅰ的思维方式理解为：已知一个地点的时间全球任何地点的时间（遇到算时间的题，只要能找到一个已知地点的时间即能完成）

从逻辑Ⅱ的思维模式理解为：

两个地点（经度），两个对应的时刻，四个条件，任知三个，可求第四个（方法是画数轴，东+西-）

（3）地球上水平运动物体的偏移

逻辑Ⅱ的思维模式理解：

（4）用逻辑Ⅱ数学思维模式轻松突破地球公转意义――正午太阳高度的计算的变化（上图）

2、用逻辑Ⅱ数学思维模式轻松突破等值线的灵活变化。

逻辑Ⅱ数学思维模式，将使等值线的灵活变化变得易如反掌，如下图，限于篇幅，不再赘述。

参考文献：

[1]王树声主编：《中学地理教材教法》，高等教育出版社，1995版.

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“数学综合训练”是高考冲刺阶段的一个重要环节，有时我们会发现学生做了很多模拟练习，而且每次老师都认真批改、评讲，可是学生解题能力却没有大大提高，问题出在什么地方？如何上好高三数学评卷课呢？

评卷课，顾名思义就是指对试卷进行讲评的课，因此改进评卷课的教学方法十分必要。首先，必须明确评卷课的特点，如果说新授课是以课本上的知识作为主要的教学资源的话，那么评卷课就应该以学生在答卷中反映出来的问题作为主要的教学资源。换言之，如果说新授课是老师带着知识走向学生的话，那么评卷课就应该是老师带着答卷中暴露出来的问题走向学生。换言之，如果说新授课是“以本为本”的话，那么评卷课就应该是“以人为本”，这就是二者最主要的区别。

二

要上好高三数学评卷课，必须做好以下充分的准备工作：

1.剖析试卷：剖析试卷就是要对试卷作全面系统的分析，分析试卷的结构，考查的范围，知识点的分布状况，考查的重点、难点，对数学方法、数学能力的要求，等等，并对自己班上的学生的答卷情况作出预测，哪些知识、方法、能力掌握得比较好，哪些方面存在较大的问题，哪些需要在后期进一步巩固、充实、完善，等等。

2.分析答卷：学生答卷的反馈信息是了解学生数学水平和教师教学成效的重要依据，学生答卷中存在的问题从一定程度上折射出教学中存在的问题。对学生答卷的全面系统分析包括：数据统计分析、错误类型分析、解题新法分析。

（1）数据统计分析：对学生答卷的数据分析，就是对全卷的平均分、得分率、合格率、优生率、低分率、各分数段人数、各题的平均分、得分率等进行统计分析，同时，还应该对各章节知识得失分情况进行统计分析，对重要数学方法得失分的情况进行统计分析。

（2）错误类型分析：对学生答卷中的典型错误进行分析整理，正确诊断病因，找出问题的症结。在错误类型分析中，还应该引导学生作自我诊断，统计得失分情况，剖析错因，明确纠正措施。

（3）解题新法分析：在学生的答卷中，常常有很多不同于标准答案的新解法，对这些解法的剖析和研究，有助于我们把握学生思维的脉搏。其中，也不乏一些新颖、优美的解法，这些解法是学生聪明才智的表现，是学生创新思维的火花。

要上出精彩的评卷课，课堂上必须做到：

1.分析情况，展示目标。前面准备工作中已对试卷进行了阅卷分析，并掌握了具体情况。上课时要简单地向学生通报试卷的情况，并将就此制定出的教学目标予以展示，让学生了解本节课应该重点掌握的内容。

2.高三数学试卷的讲评，一般需要2至3节课，因此，必须对试卷内容作适当的总结归类，划分课题。归类可从以下三方面进行：（1）按章节知识归类：将同一章节的知识归结在一起，分析对该章节知识考查的重点、难点，以及对数学方法、能力的要求；（2）按解题方法归类：将试卷中涉及的常用数学方法、数学思想的内容归结在一起，剖析试卷对常用数学方法、数学思想的考查要求；（3）按错误类型归类：划分课题就是将讲评内容划分成若干个专题，确定每一节课的中心内容，突出重点。

数学评卷课切记三忌：一忌就题论题，要注意特殊情况与一般情况的区别与联系，特别重视条件变更下方法的变更；二忌按序讲评；三忌难易集中，一节课讲起来轻松，学生听起来就乏味，一节课讲起来困难，学生听起来就头痛。讲评课要对一次测试的题目优化重组，使每一节讲评课都成为一节完整的课，难易分散适中，重点突出，照顾学生的接受水平，从而达到良好的效果。

3.处理好易错问题、典型问题。

对于试卷中暴露出的学生易于出错的题目要挖掘错误的根源，解决知识和思维上的问题，指出解决的措施。要针对学生的“卡壳处”，寻找教材的知识点，让学生重新领悟教材的内容，从根本上让学生切实掌握易错问题中的易忘、易混知识点；掌握此类题目的解题思路、解题技巧，针对易错问题有针对性地选择一些类型相似、考查内容相近的题目让学生当堂完成，深入理解易错问题，掌握此类题型。

典型问题要重点讲解，从知识、思想方法、解题规律等方面进行剖析和总结，引导学生从正确地审题开始，快速准确地形成解题思路。要指导学生处理好解题过程中出现的细节问题，使学生在典型问题解题规律的掌握上有所突破。

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DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.30.081

一、引言

应用题在小学数学教学和学习中，占有十分重要的地位，同时它也是培养和提升学生运用数学知识来分析问题和借鉴问题的重要途径。因此，在小学数学的教学实践中，应用题的比重也在不断增加。题目的新颖度、实用性和知识的应用性都在不断提升。但是万变不离其宗，其教学和解题思路还是有着严格的规律，在教学中要培养学生分析应用题和解答应用题的能力。应用题的解答不仅需要学生对课本的基础知识有熟练的把握和应用，还要求学生有着相应的分析、判断和推理的能力。这些数学思维和能力是需要按照一定的思路和策略进行培养的，本文对这一系列方法进行了总结，按照审题、解题、答题的思路进行了相应的阐述。

二、数学应用题教学思路探究

（一）精准锁定题目类型

要想进行应用题的解答，首先要确定题目的类型，并根据题目的类型锁定相应的知识点。在苏教版小学数学的教材中，应用题的题型非常多，既有图文结合的，又有对话式的还有表格式的，而且应用题的信息量普遍比较大，有时候在综合考核中甚至包含几道应用题。因此，在解题上必须要会审题，要锁定题目的类型。尤其是对低年级的学生而言，审题就显得尤为重要了。要从题目的大意中判断题目的考查点，小学应用题的类型非常多，有行程类的、有工程类的、销售类的，还有几何问题的，面积类的、周长类的等等。当然根据知识点分类也可以分为多种类型，单位一的问题、百分数的问题等等。当然，类别非常多，需要的知识点也非常多。尤其是数学广角问题中所蕴涵的数学应用题的知识点更是非常多，学生必须会根据题目中的语言进行应用题类型的归纳，这是应用题解题的第一步。

（二）有效分析关键句

大致分析并确定了题目所归属的类型才能更好地展开思考，根据知识点和相关例题去分析题目中的关键句，从关键句中提炼出有效的数学语言。

例如，妈妈买了3千克桔子和4千克苹果，共花了23.4元。每千克苹果的价钱是桔子的1.5倍。每千克苹果和桔子各多少元？

上面这道题明显是属于单价、数量和总价的问题类别，属于求单价的问题，这道题中的关键句就是3千克橘子和4千克苹果共花了23.4元，其中苹果的单价是橘子的1.5倍。我们可以根据方程中，是谁的设谁为未知数的原则设橘子的单价为x，那么苹果的单价就是1.5x，这样数学语言一下子就明确了，所有的已知条件也被应用了，解题的思路也就明确了。

因此，在解题的时候要根据具体的题型找出题目中的关键句，然后根据关键句提炼出其中所包含的数学语言，根据数学语言为之后的等量关系的确定做好充分的准备。

（三）迅速确立等量关系

在应用题的解答中，确立等量关系是教学过程中的重中之重，等量关系的确定首先考评的是学生对于知识点的掌握，然后是对题目类型的分析能力和对题目材料的提炼能力。在新课的教授过程中，等量关系的确立相对比较简单，因此，题目的类型在刚刚学过的课程当中，根据例题能够比较好地找到相应的题型解答思路，也能找到相应的等量关系。但是，在处理一些综合题目的时候，找题目的等量关系就相对来说比较难了。根据上文提到的关键句找到题目中形成等量关系的关键词，例如，“是”“比”“多”“少”“提前”“共”这样明显蕴涵等量关系的字眼，然后根据字眼来确定方程或算式中的等量关系式。数学语言中这些重要的字眼要及时总结，让学生见到这些字眼形成敏感性，知道这些字眼背后的等量关系。除此之外，还要明确常见的等量关系式，如速度、时间、路程问题，工作总量、工作时间和工作效率问题。在单位一的应用题解答中，如果单位一明确已知，那么一般采用乘法进行解答，如果单位一未知，一般用方程或者除法进行解答。把这些思路结合具体的题目进行教授，让学生形成明确的解题思路对于应用题的解答会产生事半功倍的作用。

（四）根据需求进行列式计算

找到等量关系式是应用题能够解答的基础和前提，但是根据需求的列式以及已经列式之后的计算也是很多学生出现错误的一个集中点。在列式的时候要求学过方程的学生尽量用方程进行解答。在解答的时候要注意计算，计算结果是可以自我检查的，不合逻辑的答案、大数额的计算都是有可能出现错误的。苏教版的数学教学中，主要以考查学生的学习能力为主，不会注重学生的计算能力。所以要和学生明确，一旦出现答案的“怪异性”一定要进行追根溯源的检查核算。当然，在计算的过程中也要强调学生列式合理，根据等量关系进行列式，同时，还要严格按照步骤进行解题，即使步骤不能一一体现在考卷中，也要在演算中注意步骤的严谨性，尽量不要跳跃，避免不该有的错误。

篇12

[关键词]中小学；数学；解题教学

美国数学家哈尔莫斯(P.P.Halmos)说：“数学的真正组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏。”美籍匈牙利数学家、数学教育家G·波利亚(ceorgePolya)称：“掌握数学就意味着善于解题。”罗增儒先生认为：“数学学习中真正发生数学的地方都一无例外地充满着数学解题活动。”张乃达先生指出，“数学教育应该以解题为中心”“解题教学正是达到教学目的的最好手段”。可见，在数学家、数学教育家眼里，解题和解题教学具有举足轻重的地位。的确，在数学教育中，无论是概念的形成，定理、公式、结论的推导，还是过程、方法的探索都离不开解题教学。解题教学之所以重要与其教学功能有着极大的关系。由于解题的每一步都离不开所学的数学知识和技能，因此，解题既是对原有知识和技能的应用，又可保持并巩固相应知识的记忆，提高相应技能的熟练程度；通过解题教学还可使学生提高和发展推理能力、化归能力、形式化处理问题的能力、分析和解决问题的能力，因此，数学教育中解题教学几乎成了实现数学教学目的的必不可少的手段。

一、解题教学是我国数学教育的重要组成部分

中国数学教学大纲、教材和课堂教学多年来都注重基础知识与基本技能的掌握，因此也都强调解题的训练，数学教材中提供了解题教学的例题、课堂练习和课后习题，课堂内外都充满了解题教学和解题训练，中国因而常常被称为“解题大国”。

1952年教育部颁发的《中学暂行规程(草案)》中，提出了中学的教育目标之一是使学生获得“现代科学的基础知识和技能”，这是我国首次明确提出数学“双基”的教学。之后，在历次教学大纲和教材编写指导思想中都十分注重强调“双基”的教学。1963年教育部颁布的《全日制中学数学教学大纲(草案)》明确指出：为了保证学生牢固地掌握基础知识，具有正确而迅速的计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和空间观念，并且能够灵活运用，必须切实地加强练习。事实上，小学数学大纲和中学数学大纲一样。同样提出了“双基”和加强练习的要求，重视解题教学。为了切实掌握和巩固“双基”，培养学生的三大能力，尤其是正确迅速的运算能力，教学大纲要求必须切实加强练习。因此，教学中教师大量讲解例题，学生的课内外作业几乎都是解题训练，解题教学成为学生理解和深化数学知识，培养学生技能技巧，学会数学思维方式的重要教学活动和手段，也成为了我国数学教育的重要组成部分，甚至成为我国中小学数学教育的优势和特色。在数学课程加强逻辑系统性，教学内容崇尚逻辑严密的年代，中国数学教育工作者通过习题训练的分析研究，总结出了“讲深讲透”“精讲多练”等提高解题教学水平的方法，“变式教学”则是所谓“精讲多练”方法之精髓所在。扎扎实实的解题教学尤其是针对英才的解题教学还使我国在国际数学奥林匹克竞赛上自1986年以来连续15次取得了令国际瞩目的佳绩。由此，数学解题教学在我国数学教育中的重要地位更加明显。

二、解题教学的一些主要问题争鸣与反思

建国以来，我国一直重视数学解题教学。1977年之后，由于出现了“千军万马过独木桥”的趋势，应试教育开始加剧，富有中国特色的数学解题教学被异化，精讲多练发展成“题海战术”，解题思维教学变成解题模仿教学。人们在数学解题教学的实践中出现了不同的倾向，认识上产生了分歧，我们把这些都作为数学解题教学中的争鸣问题予以讨论。

(一)解题教学是模仿教学，还是思维教学在我国数学教学实践中，对解题教学的认识并不一致，引起了解题教学行为的不同倾向：解题教学是教学生学会模仿做题?还是教学生学会思维、学会思考?这也是一直有争议的问题。众所周知，行为主义、认知主义和建构主义教学理论对数学等学科教学产生了很大影响。就数学解题教学而言，这些学派的教学理论影响着我国中小学数学课堂教学实践，广大教师对解题教学的认识也常常出现观念上的不同，从而引起实际教学行为的差异，出现解题教学的不同倾向。那么，解题教学究竟应该属于模仿教学，还是属于思维教学呢?一种倾向：解题教学是模仿教学。模仿教学，简单地说，就是解题教学以教师课堂解例题为示范，学生课后模仿练习为主，把教学建立在学生的模仿性、被动性和依赖性上，实质是一种接受学习。追溯模仿教学的起源，在教学论发展史上可以溯源到17世纪捷克教育家夸美纽斯倡导的“自然适应”的直观性和巩固性教学原则，强调观察、“模仿+记忆”的方法对学习的作用。美国心理学家奥苏贝尔对接受学习有系统论述。“模仿教学”以行为主义学习理论为基础，认为解题教学就是解题教学行为上“刺激一反应”的变化。模仿教学对数学等学科教学实践有很大影响，许多教师认为解题教学就是教师例题示范，学生练习模仿，课堂教学就是给学生讲清解题思路与步骤，学生解题时模仿效法。持这种观点的人们认为，中小学生具有较大的可塑性，模仿能力强，在解题教学中，不需要向学生解释过多的道理，只要认真做好解题步骤、思路和解法等方面的示范，让学生进行模仿，就可以巩固数学知识，掌握解题方法，实现解题教学的目的。特别是对低年级学生来说，由于智力发展尚未成熟，模仿是一种不可替代的解题教学方法。这里要说明的是，模仿不是生搬硬套的仿效，而是一种有意义的接受学习，模仿使学生逐渐获得解题的基本思路、方法和技能，渐渐地由生变熟，直到驾轻就熟，达到提高解题能力的目的。因此认为，模仿是学生学会解题的一种基本方法，解题教学属于模仿教学。另一种倾向：解题教学是思维教学。思维教学，是指解题教学不仅在于解题基本活动形式本身，更重要的是解题认知活动思维的产生，实质上是一种发现式学习。思维教学最早可以追溯到苏格拉底的“产婆术”，18世纪法国启蒙运动思想家、教育家卢梭曾倡导发现教学，现代美国教育心理学家布鲁纳则对发现学习有过精辟的论述。思维教学是建立在以建构主义为基础的认知心理学的基础之上的，认为解题教学就是解题思维认知结构的变化。坚持解题教学是思维教学的人认为，解题教学的本质是思维教学。第一，解题教学是解题活动的教学，而活动的本质属性是解题思维的活动。因此，解题教学就其本质来说，是对解题思路的分析活动，是对解题方法的感悟与思考，是对学生解题思维活动的调动与展开，从而达到对学生理解及概括水平的培养。第二，解题教学是学生解题思维认知结构建构的过程教学。奥加涅相在《中小学数学教学法》中曾指出：“思维和解题过程的密切联系是公认的。著名心理学家O.K.吉霍米诺夫也具体地阐述过这种联系：‘在心理中，思维被看作是解题活动。’虽然思维并非总等同于解题过程，但是有理由断言，思维形成最有效的办法是通过解题来实现。”因此，解题教学不仅要向学生暴露“怎样解题”的思维过程，还要向他们展示“为什么这样解”以及“怎样学会解”的解题认知结构建构的思维方法，教师应尽量让学生的解题思维活动显性化，也就是多让学生进行交流思考，使学生清晰地认识到自己解决问题的依据、步骤、原因和所产生的思维障碍。换言之，解题教学的金科玉律是达到对学生思维训练的目的，因而，解题教学本质上应该是一种思维教学。模仿教学在一线教学中较为普遍，尤其在小学和初中阶段更普遍，这种解题教学的直接结果就是学生听得懂但并不真正会解题，因为学生并没理解为什么要这样做，即学生不能理解解题活动的本质，例如，当让学生对x2+px+q进行配方时，学生却当作方程来解或对其进行因式分解，“只能就题论题地掌握某具体活动的外部操作方式”。模仿教学长此以往将会削弱学生学习技能内化的质量，阻碍学生思维品质的提高，究其缘由是对解题教学的本质与功能缺乏深刻认识所致。“模仿+记忆”的套路式的解题教学适应于学习的初始阶段，尽管模仿教学能适应考试，但模仿教学是一种机械学习，不能创新，不能作为一种模式持久下去。

在素质教育观下解题更应有解题理解，获得对数学解题认知思维结构的认识，获得对解题思想方法的元认知认识，如解题思维过程：用什么方法去做?为什么要用这个方法?是否还有更好的方法?哪一种方法最优?等等。这实际是获得对解题认知活动的元认知。“数学是思维的体操”，解题教学应当教会学生数学思考，培养学生自主、合作、探究的学习方法，这才是解题教学的根本目的。

(二)解题教学是坚持“题海战术”，还是倡导“精讲精练”解题教学方法是指数学解题教学活动的具体实现方式，“题海战术”与“精讲精练”是实施解题活动的两种基本对立的形式。从方法论的角度来看，两种方法的不同不仅在于解题量的“多”与“少”的问题，而且反映两种不同的数学教育观、解题教学观和解题观的问题，实质反映了数学解题教学的一个根本性的有争鸣的认识问题：数学解题教学是要做大量的题，还是只需做少量的题?

一种倾向：解题教学应当坚持“题海战术”。

题海是客观存在的课程资源，题海战术就是让学生做大量的题，熟悉各种题型及其解法。坚持解题教学是“题海战术”的教师认为：“题海战术”对提高学生的能力有一定的积极作用。“题海战术”既是我国传统文化的传承，更是我国解题教学的法宝。我国古代提倡的“熟能生巧”“拳不离手，曲不离口”“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟”的古训都显示了大量训练对学习的重要性。我国学生多次在国际性评估中成绩名列前茅的事实，从正面肯定了我们的传统做法：大量数学习题训练和经常性测验考试，是提高成绩的有效途径。不少教学质量较高的学校，尤其是高考升学率高的学校，成绩优秀的学生，甚至多届全国高考状元，在谈到成功的经验时，都对“题海战术”抱以肯定的态度。根据行为主义理论，人类的学习行为是操作性条件反射的结果，是教学环境的刺激和学习行为反应之间的联接，它随练习次数的增多而加强。因此，在解题教学中，学生不涉入“题海”，不经过足够的训练，是不可能真正掌握解题方法和解题思路的，解题能力也是难以提高的。大多数一线教师在教学实践中感触颇深，学生只有通过大量的做题训练，才能加深对数学知识的理解和掌握，才能提高解题技巧和答题速度。因此认为，“题海战术”对于解题教学，是非常必要的，应该坚持。

另一种倾向：解题教学应当倡导“精讲精练”。

“精讲精练”与“题海战术”相对立，“精讲”在德国教育家瓦根舍因“范例教学”的教学论思想中也有体现，意指教师在解题教学中要选择真正基础的本质的知识作为解题教学内容，通过“范例”内容的讲授，使学生达到举一反三掌握同一类知识规律的方法。“精练”的含义与“精讲”相得益彰，坚持解题教学应当“精讲精练”，符合波利亚数学解题思想。波利亚反对让学生做大量的题，认为一个数学教师，“如果把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展……”。换言之，与其让学生做大量的反复性的题目，还不如选择一个体现多种思想方法功能的又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，使学生通过这道题目，获得对数学解题思想与方法的认识。“精讲”的目的在于促使学生独立学习，而不是要学生被“填鸭式”地灌输知识，要使学生所学的知识能够迁移到其他方面，进一步发展新的学习知识。同时“精练”也不是“不练”，而是“练”要有尺度，体现度和量的有机统一。因此，解题教学应当倡导“精讲精练”。我国数学解题教学长期倡导“精讲多练”，但“多练”的度难以把握，在应试教育的氛围下，多练常被异化为“题海战术”。“题海战术”的本质是要做大量的题，以达到“熟能生巧”的目的。“题海战术”是应试教育的产物，目前，在片面追求升学率的影响下，扎扎实实地进行着“题海战术”式的强化训练在中小学常见，表现为，为应付各类考试，教师们让学生进行着大量反复的题型、题组训练，以期从量变到质变，达到考试得高分的目的。考试试题是“题海战术”的风向标，由于中考、高考中时有偏题、怪题出现，数学教学实践中，忽视传统题常规题的典范作用及“双基”的训练，忽视思维过程的教学，而一味追求解题的新、奇、巧，追求偏题怪题的现象普遍存在。这样，师生在题海中越陷越深，“题海战术”越演越烈，最终导致在课堂上数学教学演变为纯解题教学，解题教学则被异化为“题海战术”。

“题海战术”是与应试教育相伴而生的一种教育现象，“题海战术”从出现至今就一直存在争议，其根源在于教育考试制度的弊端。“题海战术”加重学生的学习负担，不利于学生创新能力培养，并且损害学生身心健康，这是与数学素质教育背道而驰的。我们应当清醒地认识其危害性，积极转进行解题教学改革，提高解题教学效益，应当倡导数学解题教学素质教育教学目标，在解题教学中大力推进实施“精讲精练”，把学生和教师从题海里解放出来，使数学素质教育得到真正落实。从多练到精练不仅有认识观点上的激烈碰撞，还有教学方法的重大改革，还需进行积极探索。

(三)解题教学中应用题教学是否应当划分问题类型

建国以来，应用题一直是我国中小学数学的重要教学内容，在教材中具有极其重要的位置。解放初期，我国各行业百废待兴，“向苏联学习”成为当时的重要选择。1952年颁布的建国后第一个教学大纲，遵循了“对苏联大纲的内容和体系一般不做大的改动”“先搬过来后中国化”的指导思想，以当时苏联初等学校教学大纲为蓝本编制而成，对应用题划分类型的做法随之从苏联传入我国。在1956年修订大纲中，应用题类型名称又被一一列出，如归一问题、倍比问题、相遇问题、植树问题、工程问题、行程问题等。

自应用题类型名称在我国出现后，围绕这个问题的争鸣便没有间断过，特别是20世纪80年代曾开展过大讨论，并出现了截然不同，甚至是完全对立的观点。

一种倾向：应用题教学不应划分问题类型。

坚持应用题教学不应划分问题类型的教师认为：教师在教学中，把各种应用题划分为不同的问题类型，致使应用题教学“模式化”。学生把学习的重点放在死记硬背问题类型、生搬硬套解题程序上。学生做题时，往往是首先辨别问题类型，然后模仿解题套路，而较少对其中的算理进行深入思考。长此以往，将会严重阻碍学生思维的发展和创新能力的培养。特别是，在应试教育的影响下，教师为了让学生牢固掌握各种类型的应用题，常会采用“题海战术”的做法，布置大量的不同类型的应用题，不仅加重学生的学业负担，更易导致学生产生厌学情绪，更何况有些应用题是根本不能划分类型的。因此，应用题教学不需要划分问题题型。

另一种倾向：应用题教学应该划分问题类型。

坚持应用题教学应该划分问题类型的教师认为：数学本来就是一门关于模式的科学。把应用题分为不同的问题类型，可以让学生从总体上把握应用题的概貌，辨析各类应用题的结构特征，把握各种题型的解题方法。对应用题划分不同类型，不仅有利于发展学生的抽象概括能力，而且可以提高解题速度。再者，典型类型的应用题是各种较复杂应用题的组成部分。只有掌握了典型类型的应用题，才能更好地解决各种不同的应用题。总之，把应用题划分为不同问题类型，对于教师的教和学生的学都是非常有益的。我们何乐而不为呢!

在应用题教学中，把应用题划分为不同问题类型，既有利，也有弊。我们认为，应用题教学的目的不仅仅是让学生巩固数学知识和解决特定类型的应用题，重点是培养学生独立的分析问题、解决问题的能力。在现实生活中，有些实际问题难以划归为哪种问题类型，要解决这样的问题，学生只能认真分析题意，挖掘题目中隐含的数量关系，寻找解题思路，从而得到问题的答案。如果教师在教学中过于重视应用题分类教学，那么学生对难以说清属于哪类问题类型的题目将很不适应，甚至是束手无策。所以，对于应用题教学，我们的观点是，应用题教学可以作为让学生了解介绍一点应用题的问题类型，但是不应过于关注应用题的问题类型。应用题解题教学时要通过认真分析题意，探寻题目中隐含的数量关系，重点放在学生分析问题和解决问题的能力培养上。

(四)解题教学中“问题解决”是否应该替代传统解题教学

在国际数学问题解决潮流进入我国之后，国内数学教育方面的专家学者为了让我国数学解题教学摆脱“题海战术”的困境，大力提倡“问题解决”。随着素质教育的推进，特别是在新课程改革背景下，数学教育的观念、教学内容和教育方法都发生了深刻的变化，传统解题教学更是成为众矢之的，遭到许多人的指责，“问题解决”教学大有替代传统的解题教学之势。在这一背景下，对于“问题解决”是否应该替代传统解题教学出现了不同的看法。

一种倾向：“问题解决”教学应该替代传统解题教学。

传统解题教学中面对的题目往往是一些人为编造的、属于特定类型的题目，它们具有接受性、封闭性和确定性等特征，其结构是常规的，答案确定、条件不多不少，解题的过程只是套题型之后的“算法化”。传统解题教学的题目更多的是培养学生学习程序化的规律性的东西，对学生思维的训练作用大打折扣。社会的进步要求人们具有现代化的数学修养，具有发现、提取、分析和处理信息的能力。从这个角度来看，原来的传统解题教学极不适应现代社会所必需的收集处理信息数据、发现和提出问题、合情推理以及估计意识、应用意识、运筹和优化意识、创新意识等各种能力要求，极不利于国家创新型人才的培养。因此一些人认为，问题解决教学应该替代传统解题教学。

另一种倾向：“问题解决”教学不应替代传统解题教学。

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一、找出初高中数学教材的“脱节”点，确定内容的最近发展区，这是实现初高中数学教学衔接的基础

初高中数学教材的内容存在许多的“脱节”点.教师在高一开学初期，要认真分析并归纳总结初高中数学教学内容的“脱节”点，具体来说主要有两种类型.一种是初中教材不要求，但高中教材要求的内容.另一种是初中教材要求低，但高中教材要求更高的内容.

针对两种不同类型的“脱节”点，教师要善于寻找内容衔接的最近发展区，采取措施，查漏补缺，帮助学生衔接好初高中教材内容的学习.

对于第一种类型知识“脱节”点，教师在授课时，应注意加以补充，避免让学生出现知识的空白点.

对于第二种类型知识“脱节”点，教师在授课时，需要对初中的某些基本理论知识进行加深和完善.

二、找准初高中学生思维的“突破”点，确定思维的最近发展区，这是实现初高中数学教学衔接的关键条件

从思维发展特征看，初中学生处在以形象思维为主逐步向经验型抽象思维过渡的阶段，而高中学生则处在以经验型为主的抽象思维向理论型抽象思维过渡，并初步形成辩证思维的阶段.从初中升人高中，不适应这种思维要求变化的学生不在少数，思维呈现较强的定势，极易造成学生高中数学学习思维的障碍.因此教师要找准初高中学生思维衔接的“突破”点，根据高一新生思维和高中数学学科的特点，确定学生数学学习思维跳跃的最近发展区，设计好教学程序，使教学既要符合学生思维结构所具有的水平，又要有一定强度和适当难度，使学生“跳一跳，能摘下桃子”.

三、找准初高中学生学习方法的“转换”点，确定学习方法的最近发展区，这是实现初高中数学教学衔接的重要条件

对于学习来说，成功有三要素：学习成功=心理素质+学习方法+智能素质.是否掌握科学的学习方法，是学生学好高中数学的重要条件.在初中数学学习中，学生只要记忆概念、公式及例题类型，不需要独立思考和对规律进行归纳总结，一般都可以取得较好的成绩；而高中数学学习要求学生勤于思考，善于归纳总结规律，注意应用，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通.由于学生现有的初中数学学习方法跟不上高中新课程的要求，从而造成了高中学生数学学习的困难.因此，教师要认真分析学生现有的初中数学的学习方法与高中新课程应具备的学习方法之间存在的差距，确定学习方法完善的最近发展区，实现高中数学学习方法的最优化.为此，教师要注重培养学生良好的学习方法和习惯.良好的学习方法和习惯包括制订计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面.

四、找准初高中学生学习心理的“落差”点，确定学习心理的最近发展区，这是实现初高中数学教学衔接的思想保证

刚进入高中学习时，学生对高中的生活充满自信，对高中的学习都有很高的期望，一段时间的学习后，发现自身的学习期望与现实的学习成绩之间存在很大的差距，于是出现了心理的落差.高中数学的学习也不例外.有的学生升入高一后，数学成绩出现了严重的滑坡，其中也包括中考的数学尖子生，他们认为：“我对数学投入了大量的精力和时间，但成绩还是不理想，高中数学太难了！”导致对高中数学的学习失去信心，产生自卑心理、学习被动、意志薄弱的现象，这些都制约着高中学生对数学的学习.因此，教师要找准学生原有的学习期望和现实的学习成绩的落差心理，确定心理衔接的最近发展区，通过多种渠道帮助学生实现初高中数学学习心理的衔接.

1.明确差异，引起重视.教师在开学初期要向学生讲明初高中数学教学在学习内容上的差异性，对学生学习思维、学习方法和学习成绩要求上的差异性，使学生对初高中数学学习的不同点有足够的认识，从而减轻学习期望和现实学习成绩的差距所引起的落差心理.

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【关键词】 数学；开放型题；提高解题能力；学法指导

课程改革以来，数学开放题逐渐成为中考的热点，各地每年都有不同程度地出现这种类型题。从学生答题情况看，开放题得分率普遍较低。所以教师在教学活动中，要加强学法指导，加强针对性训练，尽可能提高学生解答此类题目的能力。

一、开放型问题分类及特点

纵观数学开放题，常见的有条件开放型，结论开放型，策略开放型，综合开放型等四种不同类型的问题。

（1）条件开放型：条件开放题主要特点是条件不充分，一般采用"执果索因"的方法，需要学生根据所掌握的知识进行逆向思维。解题思路一般是，由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式，这类开放题在中考试卷中较多出现在填空题。

例1．如图，∠DAB=∠CAD，请添加一个条件： ，便得ΔDAB≌ΔCAB。

解：AD=AC，可用边角边证全等；∠ADB=∠ACB，可用角角边证全等；∠ABD=ABC，可用角边角证全等。

（2）结论开放型：结论开放型的解题方法是充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维，这类开放题在中考试卷中，一般出现在解答题型中。

例2．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，为该图象的对称轴，根据这个图象，你能得到关于该函数的哪些性质和结论？写出四个即可。

解:①顶点在第四象限；②与x轴有两个交点；③a>0；④与y轴交于负半轴；⑤-1

例3．如图O的弦AB、CD的延长线相交于点E.请你根据上述条件，写出一个结论（不准添加新的线段及标注其他字母）并给出证明。(证明时允许自行添加辅助线)

解： ①连结AD、BC，证ΔADE～ΔCBD

证明：连结AD、BC，∠EAD=∠ECB，∠E=∠E

ΔADE～ΔCBD

②连结AC、BD，证ΔACE～ΔDBE

③AE×BE=CE×DE

（3）策略开放型：策略开放题只给出一定的问题情景，条件，解题策略，结论中的两个或全部都要求学生在情景中自行设定和寻找。策略开放型也称设计方案型，这类型的开放性试题的处理方法一般需要模仿、类比、试验，创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决。这是一种综合性思维，这种类型的开放题在中考试卷中一般出现在阅读题、作图题和应用题中。

例4．如图，在ΔABE和ΔACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE；③AM=AN；④ADDC，AEEB.以其中三个论断为题设，填入下面的"已知"栏中，一个论断为结论，填入下面的"求证"栏中，使之组成一个真命题。

已知：如图，在ΔABE和ΔACD中， 。求证： 。

分析：对此题，必须先引导学生找出三组全等形，即ΔADC≌ΔAEB，ΔAMC≌ΔANB，ΔADM≌ΔAEN，再恰当运用三角形全等的判定和性质定理进行创造性思维，才能得出正确解答。

解：

①已知：如图，在在ΔABE和ΔACD中，AD=AE，AM=AN，ADDC，AEEB

求证：AB=AC

②已知：如图，在在ΔABE和ΔACD中，AB=AC，AD=AE，ADDC，AEEB

求证：AM=AN

③已知：如图，在在ΔABE和ΔACD中，AB=AC，AM=AN，ADDC，AEEB

求证：AD=AE

二、开放型题解题策略，思想方法

解题时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜想出结论或条件，然后严格证明，同时，通常要结合以下数学思想方法，分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建模型等。

1.转化与化归思想:是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想。数学中新知识的学习过程,就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程。因此,化归思想在数学中无处不在，化归思想在解题教学中的的运用可概括为:化未知为已知,化难为易,化繁为简。从而达到知识迁移使问题获得解决。

2.分类与整合思想:是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时,而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解,并综合得出答案的一种基本数学思想。但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥,不重复,不遗漏,最简洁的要求，在解题教学中常用的划分标准有：按定义划分；按公式或定理的适用范围划分；按运算法则的适用条件范围划分；按函数性质划分；按图形的位置和形状的变化划分；按结论可能出现的不同情况划分等。

3.函数与方程思想:就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系,抽象其数量特征,建立函数关系式,利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想。

4.数形结合思想:将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质(或位置关系)；或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系,使抽象思维与形象思维结合起来,实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化,从而使隐蔽的条件明朗化,是化难为易,探索解题思维途径的重要的基本数学思想。

总之，开放型题应分类型教学，让学生清楚解题思路，所用思想方法。要有针对性的学法教育，要有针对性的训练。

参考文献

[1]赵国菊.数学开放型问题解法探析[J]

[2]谢雅礼.对构建数学"探究式"课堂教学模式的实践与认识[J]